ПЕРЕЙТИ К ОГЛАВЛЕНИЮ

ПЕРЕЙТИ ВЫШЕ

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Расчёт величины, именуемой импульсом стационарных полей, для точечного заряда и точечного магнитного диполя

        Формулы даны в Гауссовой системе единиц измерения.

        Электрический заряд q (см. рис) находится на расстоянии а по оси z от токового магнитного диполя с магнитным моментом m, направленным, вдоль оси х. В качестве токового магнитного диполя возьмём равномерно намагниченный шар радиуса R, из непроводящего магнитного материала, относительную диэлектрическую проницаемость которого примем за 1 или вращающуюся вокруг оси х сферу, поверхность которой равномерно заряжена. Размеры частиц будем считать малыми по сравнению с расстоянием между ними. Найти , где , dV =dxdydz, ( G - импульсный потенциал).

82


        Сначала будем интегрировать по внешней, по отношению к намагниченной сфере области, затем по внутренней, после чего просуммируем результаты.

        Равномерно намагниченный шар в наружной области (r > R) создаёт магнитное поле, эквивалентное точечному диполю с магнитным моментом . В области R < r , магнитное поле однородно и равно

        Решение в области r > R:

, где I - единичный вектор вдоль направления m. Учитывая, что ; , получим: .

        Так как , где - расстояние, отсчитываемое от заряда, то

, где , - напряжённость электрического поля единичного заряда, - магнитная индукция магнитного диполя с единичным магнитным моментом.

        Распишем и по компонентам:

; ; ;

; ;

Так как нечётно по y, а нечётно по x, y, то и .

83


 

        Переходим к сферическим координатам:

        Делаем замену переменных: ,

        Обозначим: , где ,

84


 

        Обозначим:

        Ищем решение в области :

85


 

86


        Таким образом, в области , .

        Ищем решение в области :

        Так как , то результат для внешней, по отношению к сфере области имеет вид: .

        Перейдём теперь к внутренней области сферы . Так как по условию , то электрическое поле внутри сферы можно считать постоянным.

        Очевидно , где - объём сферы. Подставляя , , получим

        Следует отметить, что полученный результат остаётся справедливым, даже если радиус сферы не является малым , по сравнению с расстоянием от центра сферы до заряда.

        Складывая результаты для внутренней и внешней областей получим

87


        Выпишем все компоненты вектора : , Учитывая, что при продольной ориентации магнитного диполя (а не поперечной как в рассмотренном случае) =0, можно записать: , где - напряжённость электрического поля, создаваемого зарядом в точке нахождения магнитного диполя, - расстояние, отсчитываемое от заряда.

        Полученная формула справедлива для обоих вариантов магнитного диполя, оговоренных в условии задачи т.е. шар из равномерно намагниченного непроводящего магнитного материала (=1) или непроводящая равномерно заряженная вращающаяся сфера т. к. индукции магнитных полей в обоих случаях одинаковы. Мало того, результат вообще не зависит от формы магнита, т. к. любой объём можно представить в виде суммы сферических составляющих (главное чтобы выполнялось условие малости размеров элементов по сравнению с расстоянием между ними).

        Формула для G путём интегрирования допускает распространение на системы, содержащие так же и протяжённые заряженные и магнитные элементы. Например,

фактор G для намагниченной пластины малой толщины, объёмом V, по величине будет равным G = EMV/c2 , где M - величина вектора намагниченности, направленного вдоль длины или ширины пластины, Е - величина электрического поля внутри пластины, направленного вдоль её толщины. В частном случае, если магнитный элемент состоит из проводящего материала или окружён проводящей оболочкой, то G = 0, т. к. внутри такого магнита E = 0.

        Полученный путём прямых вычислений результат противоречит мнению авторов ряда работ (см. И.Е.Тамм. Основы теории электричества. Издательство технико-теоретической литературы, М.,”НАУКА”, 1989, с. 404 ; Фейнман, Лейтон, Сэндс. Фейнмановские лекции по физике, т.6, изд-во “Мир”, 1977, стр. 59, 304; Физическая энциклопедия под ред. А. М. Прохорова, М., 1998, т.2 , с.131), основанном не на подобных вычислениях, 

88


а на общих соображениях, в связи с чем концепция импульса и энергии (вектор Пойнтинга) стационарных электромагнитных полей становится беспочвенной, а результаты эффектов, связанных с такими полями имеют иное объяснение (см. настоящий сайт).

89

ПЕРЕЙТИ К СЛЕДУЮЩЕЙ СТРАНИЦЕ