Другие статьи

 

Что может быть проще окружности?

 

Ноябрь 2007

 

( по материалам сайта: ustierechi.narod.ru )

 

 

 

Золотая пропорция и число Пи

 

Число Пи имеет прямое отношение к угловым величинам, и в первую очередь, число Пи – это окружность (360° = 2π).

Окружность в свою очередь, не просто геометрическая фигура, это ещё и круг, траектория, это движение Земли вокруг солнца, это перемещение звезд на небе, это цикличность всех процессов происходящих в мире. Кроме того, окружность в виде сферы – самая распространенная форма во Вселенной. Если бы необходимо было бы выбрать форму, наиболее точно передающую устройство мира, то это была бы окружность.

 

Если окружность – идеальная геометрическая фигура для описания того, что есть в мире, то Золотая пропорция, это то, что волшебным образом связывает всё то, что есть в мире в единую сущность, и является идеальным описанием гармоничности и целостности Вселенной.

 

Было бы странно, если бы число Пи и Золотая пропорция, не оказались бы связаны между собой. Забегая вперёд, скажем, что тождественность этих двух величин, является доказанным фактом. Кроме того, известно, что число Пи и Золотая пропорция - иррациональные числа, т.е. числа с бесконечной дробной частью, и тем удивительнее, что их тождественность оказалась абсолютной, т.е. до последнего знака после запятой, даже с учетом тех знаков, которые ещё не вычислены математиками.

 

Число Пи – угловая величина, а Золотая пропорция – мера деления отрезка (линейная величина), поэтому взаимосвязь этих величин необходимо искать через тригонометрические и обратные им функции (sin, cos, arcsin и т.д).

 

1)  Рассмотрим график какого-либо процесса, в ходе которого взаимосвязано изменяются величины x и y, и графически это - окружность. Точка A – мгновенное значение, на этом графике, может быть задана определенными значениями x и y, а также либо углом α и заданным радиусом окружности, либо углом β и заданным радиусом. Для упрощения задачи, приравняем радиус к единице:

 

 

 

Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, косинус – отношение прилежащего катета к гипотенузе. Т.к. гипотенуза – это радиус окружности, и он равен единице, то синус, в этом случае, будет равен противолежащему катету, а косинус – прилежащему катету.

 

Очевидно, что:

 

y = sin(α) = cos(β)

 

x = cos(α) = sin(β)

 

α + β = 90° (π/2)

 

Некоторым положениям точки A на окружности, будет соответствовать ситуация, когда значения x и y, связаны Золотой пропорцией, т.е.:

 

y / x =  0,61803398875… = φ

 

x / y =  1,61803398875… = Φ

 

y / x =  sin(α) / cos(α) = tg(α) = 0,61803398875…= φ

 

x / y = sin(β) / cos(β) = tg(β) = 1,61803398875…= Φ

 

Отсюда получим:

 

α + β  = arctg(φ) + arctg(Φ)

 

α = 1,01722196790…рад = 58,28…°

β = 0,55357435890…рад = 31,72…°

 

π/2 = arctan (Φ) + arctan (φ)

 

 

2) Число Пи и Золотая пропорция взаимосвязаны для углов, кратных 18°:

 

φ / 2 = sin (1π / 10) = sin (9π / 10) = cos (4π / 10) = - cos (6π / 10)

 

Φ / 2 = sin (3π / 10) = sin (7π / 10) = cos (2π / 10) = - cos (8π / 10)

 

Эти равенства абсолютны, т.е. число Пи и Золотая пропорция в этих равенствах равны без округлений, с точностью до последнего знака после запятой.

 

Взаимосвязь числа Пи и Золотой пропорции настолько велика, что не остается сомнений в их тождественности, и можно говорить о том, что число Пи и Золотая пропорция – это одна и та же математическая сущность.

 

 

3) Решением квадратного уравнения:

 

x2 + x – 1 = 0

 

Будут два корня:

 

x1 = 0,618033988749895…= φ

x2 = - 1,618033988749895…= - Φ

 

Это уравнение можно записать, также в виде:

 

x2 + x = 1

 

Нетрудно заметить, что это уравнение – частный случай уравнения окружности,  при r = 1, и x = y2:

 

x2 + y2 = r2

 

x = y2 – это уравнение параболы.

 

 

 

 

На графике видно, что один из корней ( x2 = - 1,618033988749895… ) не имеет общих точек с графиком окружности.

Другой корень ( x1 = φ = 0,618033988749895…), пересекает график окружности, и в точках пересечения, пересекает также график параболы.

 

Найдем значения y для точек пересечения:

 

y1 = 0,786151377757423…

y2 = - 0,786151377757423…

 

Чем же примечательно это число?

 

Оказывается y1 = 0,786151377757423… = √φ

 

Но это еще не всё:

 

Угол α = arccos (φ) = 51,83…°, и это угол наклона граней пирамид в Гизе. И это также отражает математическую взаимосвязь числа Пи (π) и Золотой пропорции (φ ):

 

 

π/2 = arcsin (φ) + arccos (φ) = 38,17…° + 51,83…°

 

 

 

Следует признать, что Золотая пропорция, есть частный случай уравнения окружности x2 + y2 = r2.  

Иными словами, если есть два параметра, числа или явления, связанные между собой Золотой пропорцией, то это говорит о том, что есть и уравнение окружности, связывающее эти параметры.

 

 

 

Теорема Пифагора и Окружность

 

 

 

Уравнение окружности задано уравнением:

 

x2 + y2 = r2

 

Рассмотрим треугольник ABC:

 

Т.к. величина CB равна значению x  для точки A, и величина AC  равна значению y для точки A, а радиус окружности равен AB, то уравнение окружности  x2 + y2 = r2 можно записать в виде:

 

(CB)2 + (AC)2 = (AB)2

 

 

А это ничто иное, как уравнение прямоугольного треугольника ABC, с катетами AC, CB, и гипотенузой AB (Теорема Пифагора):

 

 

Поэтому, график взаимосвязи x и y, представляет собой, также множество всех точек A прямоугольного треугольника ABC, при изменяемых величинах катетов  AC, CB и постоянной величине гипотенузы AB  ( r = const ).

 

 

 

 

Теорема Пифагора и числа Фибоначчи

 

 

Числа Фибоначчи — последовательность целых чисел, заданная с помощью рекуррентного соотношения:

 

F0 = 0,  F1 = 1,  F(n+1) = Fn + F(n-1)

 

Последовательность чисел Фибоначчи начинается так:

 

1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

 

Последовательность чисел Фибоначчи является частным случаем возвратной последовательности, её характеристический многочлен x2 - x - 1 имеет корни φ и -1/ φ., поэтому числа Фибоначчи имеют непосредственное отношение к золотой пропорции φ.

 

Последние цифры чисел Фибоначчи образуют периодическую последовательность с периодом 60. Если от каждого числа брать по две последние цифры, то они образуют последовательность с периодом, равным 300. Если брать по три последние цифры — с периодом 1500, и т.д.

 

 

 

Как известно, «Теорема Пифагора» является едва ли не самой знаменитой теоремой геометрии, которую помнит каждый человек, который когда-либо учился в средней школе и, возможно, сумел «начисто забыть» всю математику. Суть этой теоремы чрезвычайно проста. Теорема утверждает, что в прямоугольном треугольнике катеты a и b связаны с гипотенузой с следующим простым соотношением:

 

a2 + b2 = c2

 

Несмотря на ее предельную простоту, теорема Пифагора, по мнению многих математиков, относится к разряду наиболее выдающихся математических теорем за всю историю математики.

 

Особый интерес всегда вызывали так называемые «пифагоровы треугольники», стороны которых являются целыми числами. Несомненно, «пифагоровы треугольники» также относятся к разряду «сокровищ геометрии», а поиски таких треугольников представляют одну из из интереснейших страниц в истории математики. Наиболее широко известным из них является прямоугольный треугольник со сторонами 4, 3 и 5. Он назывался также «священным» или «египетским», так как он широко использовался в египетской культуре.

 

Существует способ нахождения «пифагоровых треугольников» с использованием чисел Фибоначчи. Для этого стороны прямоугольного треугольника рассчитываются с использованием 4 любых подряд идущих числа Фибоначчи F(n):

 

b = F(n) * F(n+3),

a = F(n+1) * [ F(n) + F(n+1) + F(n+2) ],

c = F2(n+1) + F2(n+2), и всегда равна некоторому числу Фибоначчи (5, 13, 34, 89, 610,...).

 

 

Числа Фибоначи

Стороны прямоугольного треугольника

F(n)

F(n+1)

F(n+2)

F(n+3)

a

b

c

1

1

2

3

4

3

5

1

2

3

5

12

5

13

2

3

5

8

30

16

34

3

5

8

13

80

39

89

8

13

21

34

546

272

610

13

21

34

55

1428

715

1597

21

34

55

89

3740

1869

4181

34

55

89

144

9790

4869

10946

 

 

 

 

Итак, что такое окружность?

 

·        Геометрическая фигура.

·        Траектория движения, орбита.

·        Цикличность всех процессов происходящих в мире.

·        Прямая линия, это крайний случай дуги окружности с бесконечным радиусом. Так как этот случай один из бесконечного числа вариантов, и окружность с бесконечным радиусов в пределах нашей конечной по размерам Вселенной существовать не может, то можно утверждать, что в мире нет прямых линий, также, как и нет прямолинейного движения.

·        Уравнение окружности можно представить в виде уравнений синуса и косинуса, поэтому все изменяющиеся синусоидально процессы (а это все электромагнитные излучения, свет, звук и т.д. т.е. все или почти все процессы во Вселенной), являются частью процессов, изменяющихся по уравнению окружности.

·        Уравнение, связывающее катеты и гипотенузу прямоугольного треугольника (Теорема Пифагора), есть ни что иное, как уравнение окружности.

·        Уравнение окружности содержит в себе Золотую пропорцию, и это позволяет связать гармонию и целостность Вселенной, с окружностью.

·        Окружность в виде сферы – самая распространенная форма во Вселенной.