УДК 573.22+599

Учение о золотом сечении возникло в результате тщательного исследования природы чисел. Считается, что деление отрезка в среднем и крайнем отношении впервые было осуществлено 2500 лет назад великим философом и геометром древней Греции Пифагором. Он показал, что отрезок единичной длины AB можно разделить на две части точкой С так, что отношение большей части (CB=x) к меньшей (AC=1-x) будет равняться отношению всего отрезка (AB=1) к большей части (CB): CB/AC=(AC+CB)/CB, или x/(1-x)=1/x. Отсюда следует алгебраическое выражение x² + x – 1 = 0. Положительным корнем этого уравнения является (-1+ 5)/2, так что отношения в рассматриваемой пропорции равны: 1/x = 1,61803...Число 1,618 в честь древнегреческого скульптора Фидия обозначается буквой Ф. В соответствии с величиной Ф единичный отрезок точкой С делится в отношении - 0,382+0,618=1, что соответствует пропорции

1:0,618 = 0,618:0,382 = 1,618.

Такое отношение принято называть золотой пропорцией, а соответствующее деление отрезка - золотым сечением. Естественно, что сущность этой пропорции не меняется от умножения (или деления) ее членов на любое число (за исключением нуля). Письменные свидетельства, известные человечеству, о золотой пропорции впервые приводятся в “Началах” Эвклида (3 в. до н.э.). Однако имеются факты, которые говорят о том, что о золотой пропорции знали задолго до Пифагора [26]. В 1202 г. вышло в свет сочинение "Liber abacci" итальянского математика Леонардо Пизанского (1180-1240 г.г.), известного, однако, больше как Фибоначчи. В книге было представлено решение задачи о размножении пары кроликов в течение года (12 месяцев). В результате получился рекуррентный ряд чисел - 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21; 34; 55; 89; 144 и т.д., где каждое число равно сумме двух предыдущих; эта последовательность чисел получила название ряда чисел Фибоначчи. Очевидно, что последовательность чисел Фибоначчи можно представить формулой

f_n+2 = f_n +f_n+1,

где n - порядковый номер числа Фибоначчи. Позднее было установлено, что не только классический ряд Фибоначчи, но и любой ряд с таким же рекуррентным свойством {f_n+2 = f_n +f_n+1}, но с другими начальными членами a, b порождает последовательность a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b, 5a+8b и т.д., отношение соседних членов которой по мере удаления от начала стремится к величине Ф=1,618. Примером такой последовательности может служить ряд Люка - 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 и т.д.

С золотым сечением и числами Фибоначчи связаны целые области в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших дней. Золотая, или божественная, пропорция, являясь чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях скульпторов и архитектуре Древней Греции. Египетские архитектурные памятники также в ряде случаев построены на основе пропорции золотого сечения и чисел Фибоначчи. Влечение к “божественному сечению” (sectio divina) резко возросло в эпоху Ренессанса. Особенно большой интерес к золотой пропорции проявили ученые, зодчие и художники 15-16 веков. Этот интерес сохраняется и в наши дни. В нашу задачу входит показать значение золотого сечения и чисел Фибоначчи в другой сфере - организации систем живой природы. Эта проблема имеет свою историю.

Первые работы, посвященные проявлениям золотого сечения во многих явлениях и закономерностях биологических объектов, появились в конце 18 - начале 19 в.в. Среди них видное место занимают труды А. Цейзинга [36, 37]. Цейзинг рассматривал золотое сечение как основной морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон проявляется в пропорциях тела человека и в телах красивых животных. Г. Т. Фехнером [32] была установлена связь между психофизическим восприятием человека и “золотыми” формами предметов. Т. Кук [7] уделяет большое внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со спиралями золотого сечения. О значении золотой пропорции в природе и искусстве пишут Г. Тимеринг [25], М. Гика [7] и Г. Д. Грим [8], которые приводят многочисленные примеры проявлений золотого сечения в явлениях природы и различных прикладных искусствах. После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в середине нынешнего столетия во второй его половине наметилась тенденция более серьезного к нему отношения со стороны ученых-специалистов в различных отраслях знаний, в том числе и в биологии. Настоящий “взрыв” исследований по проблеме золотого сечения приходится на последние 10-15 лет. В эти годы в СССР и странах СНГ появились крупные работы в различных отраслях знаний, где золотая пропорция и ее закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий в основ анализа самоорганизующихся природных и технических систем, их структурной гармонии.

А. П. Стахов [4] развивает направление по приложению обобщенных золотых сечений и p-чисел Фибоначчи к решению задач математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории кодирования информации. Геометрическая интерпретация рекуррентного соотношения для р-чисел Фибоначчи может быть получена, если разделить отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы AB/CB=x, а CB/A^р=х^р Значение искомого отношения АВ/СВ сводится к решению алгебраического уравнения

х^р+1+х-1=0

где приведены приближенные значения золотых р-пропорций, соответствующих значениям р: При р=1 это уравнение принимает классический "золотой" вид x² + х –1 = 0. Корень данного уравнения есть знаменитое число (-1+ 5)/2=0,618, которое Л. да Винчи назвал золотым сечением. По аналогии с золотой пропорцией положительный р-корень уравнения называется обобщенной золотой пропорцией или р-пропорцией, а соответствующее деление отрезка - золотым р-сечением. Группа ученых во главе с А. П. Стаховым предложила также новый вид тригонометрических (гиперболических) функций (sFx - фибоначчиев синус, cFx - фибоначчиев косинус и т.д.), изучили их свойства и разработала теоретические основы их применения (дифференцирование, интегрирование и т.п.). Значительный интерес к золотым р-сечениям был в философской науке. Э. М. Сороко [22] их в ранг "закона структурной гармонии систем". Золотые р-сечения по к нормированию противоположностей к единице своего рода интерференционную решетку ("узлы") - 0,275+0,725; 0,318=0,682; 0,382=0,618; 0,725+0,275 и т.д. Их разделяют "пучности" - 0,295+0,705; 0,346+0,654; 0,430+0,570; 0,654+0,346; 0,705+0,295 и т. д. "Узлы" зоны, устойчивости, а следовательно, и гармонии самоорганизующихся систем (в том числе и живых), а "пучности" - зоны неустойчивости и дисгармонии.

М. А. Марутаевым [12] создана оригинальная теория "качественной" симметрии чисел. Согласно этой симметрии золотое сечение может быть представлено не только числом 1,618 (как принято), но и следующими числами:

7 6 5 4 3 2 1

-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7

Представленные числа являются результатом зеркального числа 1,618 относительно интервалов ( 2)ⁿ , где n=...,-7, -6,...+6, +7,...Символ ^ означает зеркальную симметрию соседних чисел относительно (2)ⁿ.

А. В. Жирмунский и В. И. Кузьмин [9], анализируя критические уровни в развитии биологических систем (зачатие, рождение, половая зрелость), установили, что отношение некоторых важнейших параметров на соседних уровнях характеризуется числом е^е = 15,15...C точки зрения преобразований качественной симметрии здесь имеет место золотое сечение. Число e^е является инвариантом преобразований в процессе развития организма. М. А. Марутаевым [12] была показана также связь числа Ф с числом b =137. Число 137 выводится из фундаментальных констант природы - заряда электрона (q), постоянной Планка (h) и скорости света (c). Безразмерное число 137 связано с целостностью мироздания, поскольку является отношением фундаментальных констант.

Закономерности золотой пропорции установлены также в явлениях самоорганизации планет Солнечной системы. К. Б. Бутусов [4] установил, что периоды обращения соседних планет Солнечной системы и их основных волн биений соотносятся между собою как золотое сечение или квадрат золотого сечения.

С. В. Петухов [17] занимаясь проблемами биосимметрий высших порядков (конформными преобразованиями), установил, что двойное отношение длин трехзвенных конечностей млекопитающих и человека, птиц и насекомых приблизительно равно одной и той же - 1,309. Двойное отношение четырех точек линии ABCD W=(ACЧ BD)/(BCЧ AD) может иметь значения от 1 до . Величина 1,309 для трехзвенной линии ABCD связана с числом 1,618 через выражение W=Ф²/2=1,309, если AB=Ф, BC=Ф² , CD=Ф³ ; эта величина получила обозначение золотого вурфа. Золотой вурф является также инвариантом по отношению к конформным преобразованиям длины блоков тела человека в ходе развития организма.

М. С. Радюк [18] установил проявления золотой пропорции при изучении скорости осаждения хлоропластов при денатурации гемогената высших растений.

И. Н. Степанов [24] обнаружил многочисленные проявления золотого сечения и чисел Фибоначчи в структуре почвенного покрова, вещественного состава почв и их продуктивности.

П. Ф. Шапоренко и В. А. Лужецкий [31] провели большое количество измерений скелетов человека и других животных, в том числе и ископаемых, прослеживая эволюционные изменения основных системообразующих элементов. Он убедительно показал, что гармоническая соразмерность частей тела человека связана с обобщенными золотыми p-пропорциями.

В. И. Коробко [11] обнаружил многочисленные, ранее неизвестные проявления золотой пропорции в деятельности организма человека: его физиологических ритмах, эргономических параметрах "вхождения" в окружающую среду.

О. Я. Боднар [2] установил закон преобразования спиральных симметрий, раскрывающий механизм роста и формирования в живой природе. Рост филлотаксисных форм сопровождается изменением симметрии пересекающихся спиралей, количество которых выражается парами чисел - 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 и т.д. Последовательная смена порядка спиральной симметрии характеризуется гиперболическим поворотом.

В. Д. Цветков [29, 30] показал, что деятельность сердца человека и млекопитающих во многом связана с золотым сечением и числами Фибоначчи. Золотые числа составляют основу законов оптимальной композиции структур сердечного цикла. В результате симметрийных преобразований происходит "тиражирование" золотых отношений от одного вида млекопитающих к другому.

В. В. Очинский [16] исследовал музыкальную гамму с позиций золотого сечения, привнеся принципиально новый взгляд на эту проблему.

Необходимо отметить в связи с вышеизложенным, что центр научного поиска "приложений" золотого сечения в научных исследованиях во все большей степени смещается к проблемам биологии. С этим связан все возрастающий интерес к Форме и Числу ученых, занимающихся проблемами организации живых систем [3, 9, 12, 17, 19, 20, 22, 30, 34, 35 и др.].

В. И. Вернадский писал, что "между симметрией косных естественных тел и явлений и симметрией живого вещества, т.е. живых организмов, существует резкое различие, без всяких переходов и исключений". Особенность симметрии жизни иллюстрировалась им, в частности, таким фактом: "Ось симметрии 5-го порядка, неразрывно связанная с золотым сечением...Эта ось, играющая заметную роль в морфологии форм жизни, в кристаллографии невозможна" [9]. В мире кристаллов возможна только поворотная симметрия порядков 2, 3, 4, и 6. Считается, что пятерная ось у мелких организмов является своеобразным инструментом борьбы за существование, страховкой против кристаллизации, первым шагом которой была бы их "поимка" решеткой. Поворотная симметрия пятого порядка часто встречается в живой природе (например, морские звезды, цветы). Эта симметрия свойственна икосаэдру. А. Г. Волохонский [6] установил соответствие общей структуры генетического кода, ряда биноминального разложения 2 и икосаэдра. Установлено также, что вирусы, состоящие из РНК и белка, представляют собой правильные икосаэдры. На этих примеров можно утверждать, что икосаэндральная форма и L -симметрия являются фундаментальными в организации живого вещества. Очевидно, что золотая пропорция "представляет" симметрию во многих явлениях окружающего нас мира, что она действительно связана с фундаментальными проблемами современной науки. Неравенство сопрягающихся элементов целого, соединенных законом подобия, отражает заключенную в золотом сечении меру симметрии и асимметрии. Его особые свойства позволяют возвести это, говоря словами Кеплера, математическое сокровище в разряд инвариантных сущностей гармонии. Ниже нами будет показано "проявление" сечения и чисел Фибоначчи в обеспечении гармонии и "симметрийной" организации сердца человека и млекопитающих.

Деятельность сердца связана с периодической сменой двух противоположных, функционально дополняющих друг друга состояний сердечной мышцы - систолы (напряжения) и диастолы (расслабления). Для всякого сердечного параметра структура сердечного цикла (ССЦ) включает в себя систолическое и диастолическое значения рассматриваемого параметра и их сумму. Эту совокупность функционально связанных величин можно представить в виде объекта-системы. Согласно варианту общей теории систем (ОТС), разработанной Ю. А. Урманцевым [27] во всех объектах-системах необходимо выделить следующие аспекты: 1) первичные элементы, рассматриваемые на данном уровне исследования как неделимые; 2) отношения единства между этими элементами и 3) законы композиции, определяющие границы этих отношений. На основе пунктов 1)-3) нами были построены системы - ССЦ, представляющие наиболее значительные параметры сердечной деятельности, - временная, объемная, механическая и кровотоковая ССЦ различных видов млекопитающих [29,30]. Временная ССЦ состоит из длительностей систолы, диастолы и кардиоцикла. Объемная ССЦ включает в себя объем изгнанной крови, объем оставшейся крови и конечнодиастолический объем левого желудочка. Механическая ССЦ представляет собой отнесенные к длительности сердечного цикла среднее систолическое и среднее диастолическое давления в аортеи среднее давление в аорте. Кровотоковая ССЦ включает в себя отнесенные к длительности сердечного цикла средний систолический и средний диастолический коронарные кровотоки и средний коронарный кровоток. В общем виде систему - любую структуру сердечного цикла - по отношению к весу животного W и физической нагрузке можно представить следующим выражением

где d - изменение минутного выброса сердца при заданной физической нагрузке по отношению к минутному выбросу в покое; d - опосредованный показатель изменения кровоснабжения организма по отношению к вариации нагрузки; A_s(d ,W), A_d(d ,W), A(d ,W) – систолическое, диастолическое и суммарное значения параметра, соответствующие величинам W и d . Необходимо отметить, что значения A_s(d ,W), A_d(d ,W) и A(d ,W) соответствуют установившимся режимам кровоснабжения организма. Нами было установлено [28, 29], что в "золотом" режиме, кровоснабжения, приблизительно соответствующем покою организма, соотношения между систолическим, диастолическим и суммарным значениями параметра для временной, механической, объемной и кровотоковой ССЦ млекопитающих (независимо от их веса) основаны на пропорции золотого сечения –

где d _зс - значение d =1, при котором соотношение элементов ССЦ составляет золотое сечение. "Точное" положение золотого режима определяется некоторой частотой сердцебиений, при которой длительности систолы, диастолы и кардиоцикла животного соотносятся между собою по золотому сечению. Средние за кардиоцикл значения рассматриваемых нами j-параметров вязаны с весом i-животных аллометрическими выражениями [29]

где A(d _зс,W_i) - среднее за сердечный цикл значение j-параметра в золотом режиме кровоснабжения. С введением физической нагрузки в качестве "возмущающего" фактора законы композиции рассматриваемых ССЦ можно представить в обобщенной форме [29]

где k_j - величина, характеризующая изменение j-параметра при физической нагрузке. Итак, в выражении (4) представлен обобщенный закон композиции временной, механической, объемной и кровотоковой структур сердечного цикла. В этом законе отображена роль золотого сечения, а также влияние веса и относительного кровоснабжения организма на композиции ССЦ на уровне органа. Совокупность всех реально существующих временных, механических, объемных и кровотоковых ССЦ животных различной массы (веса) в условиях вариации физической нагрузки от покоя до максимума представляет некоторое "пространство" ССЦ. Исходя из (4) имеем следующий ряд инвариантов: 1) числа 0,382 и 0,618 относительно изменений веса животных и типа параметра; 2) диапазон чисел d =1-4 относительно изменения нагрузки от покоя до максимума по отношению к любому весу и параметру и 3) величины k_j , a_j и b_j относительно изменений данного параметра при любом весе и всяком уровне нагрузки. Данные инварианты как бы представляют числовой "каркас" - основу организации "пространства" ССЦ. Показано [29, 30], что эти числа соответствуют такой "конструкции" для всех ССЦ, которые позволяют сердцу исполнять свою функцию с минимальным расходом энергии, мышечного и сосудистого вещества. Таким образом, все "голые" числа в законе (4) имеют оптимальное "основание". Эти числа имеют не только "количественную" сторону, но и "качественную", что указывает на их особую роль в организации сердечной деятельности млекопитающих. Необходимо в связи с этим указать на весьма важные, по нашему мнению, теоретические соображения о "качестве" чисел, представленные в работах Г. Б. Аракеляна [1] и М. А. Марутаева [12].

Ю. А. Урманцев [27] показал, что каждый объект суть система и обязательно должен принадлежать хотя бы одной системе объектов того же рода (R-системе). Вследствие этого впервые появляется возможность установить аналогичность форм организации рядов живых систем самого различного "назначения". Представление объектов в объектов того же рода позволяет выявить такие аспекты организации R-систем как полиморфизм, изоморфизм, симметрия, асимметрия и ряд тесно с ними связанных явлений.

Нами показано [29, 30], что всякая ССЦ является, с одной стороны, представителем одного полиморфического множества, а с другой стороны, изоморфична определенным ССЦ из ряда других полиморфических множеств, а также входит в симметричных друг другу ССЦ. Причем это "вхождение" во всех случаях имеет оптимальный характер, т.е. связано с минимумом расхода энергии и живого вещества. Необходимо указать, что в золотом режиме кровоснабжения организма, т.е. при =d _зс=1, в симметрийной R-системе имеет место двойная симметрия: 1) аффинная симметрия (по золотому сечению) "внутри" каждого объекта в отдельности и 2) симметрийные преобразования объектов друг в друга. В первом случае симметрия представлена пропорцией, а во втором - группой преобразований. Всякая симметрийная R-система, соответствующая золотому сечению, представляет наиболее экономичный режим кровоснабжения организма для всех животных [29, 30]. В золотом режиме кровоснабжения природа создала своего рода последовательность "максимальных экономий" по отношению к оптимальной деятельности сердца [29, 30]: 1) оптимальное сопряжение "противоположностей" в кардиоцикле; 2) оптимальная организация мышечных клеток и волокон; 3) оптимальная организация слоев миокарда; 4) оптимальное сопряжение сердца и артериальной нагрузки. Золотой режим кровоснабжения организма, соответствующий физиологическому покою, представляет собою как бы "оптимум оптимумов", т. е. наиболее экономичный режим из всех возможных. Покой является преобладающим состоянием организма на протяжении жизни млекопитающих; следовательно, организм "тяготеет" к наиболее экономному режиму кровоснабжения. Благодаря этому обстоятельству расход "сердечной" энергии по отношению к длительности жизни животного минимален. Природа, как мы могли убедиться, избрала золотое сечение как "рецепт" максимальной энергии и вещества, как способ оптимального сопряжения структур сердца с системой крово-кислородного обеспечения организма.

Следует вспомнить, что феномен экономии энергии давно привлекает внимание механиков и физиков. С минимальным расходом энергии связаны известные в механике и физике принципы Мопертьюи, Остроградского-Гаусса, Гамильтона. Оказалось, что все основные уравнения движения систем, с которыми оперирует физика (законы Ньютона, Максвелла, Шредингера), определяют траектории, являющиеся экстремалями некоторых функционалов [13]. Предположение об экономичности живых систем с некоторых начинает проникать и в биологию [14, 19, 33 и др.]. Согласно принципу оптимальной конструкции, выдвинутому Н.Рашевским для организма, "конструкция организма такова, что организм выполняет свои функции адекватно и с минимальным расходом энергии и материала" [33]. Выдвинутое нами [29,30] положение о максимальной экономии энергии и живого вещества для систем сердца и крови в своей сути аналогично принципу оптимальной конструкции. Принцип оптимального вхождения, характеризующий оптимальное "вхождение" данной оптимальной системы в более сложную, как бы подчеркивает преемственность оптимальности при систем. Этим самым отрицается историческая "случайность" организации живых систем. Даже в тех случаях, когда необходимо найти "решение", исходя из и более противоречивых условий, природа находит компромиссное решение, оптимальное по отношению к затратам энергии и живого вещества. Таким образом, можно сделать вывод о связи между общим стремлением косной природы минимизировать расход энергии при движении систем и минимизацией затрат энергии и строительного материала в живых системах по отношению к их функции. Золотое сечение и числа Фибоначчи представляют своего рода "технологический рецепт" оптимизации живых структур и организмов. Необходимо отметить еще одно важное обстоятельство. По принципу оптимального вхождения в живые системы организационно входят не только менее сложные живые системы, но и наряду с ними "косные" системы: кислород вдыхаемого воздуха и вода [29]; в организации этого вхождения также принимают участие золотые числа. Золотые числа позволяют установить оптимальную связь между живыми и неживыми системами. В этом можно видеть способность живого оптимальным образом использовать свойства косных элементов окружающей среды [10,14,15]. Роль золотого сечения в организации отдельных систем сердца и крови, а также организация последних в более сложные системы, исключительно велика. Несомненно, что природа избрала золотое сечение как один "способов" оптимального сопряжения систем как живой, так и неживой природы. Анализ организации сердца млекопитающих показывает, что живая природа в длительной эволюции создает такие системы, в которых энерго-материальная зависимость от окружающей среды сведена к минимуму. Оптимизация конструкции позволяет каждому организму адекватно исполнять свою функцию при минимально возможном расходе ресурсов внешней среды. Таким образом, "слепая" природа указывает человечеству единственно возможный путь к спасению - обеспечение его насущных нужд за счет ислользования эффективных технологий, степени сберегающих энергию и вещество и в минимальной степени повреждающих окружающую среду.

1. Аракелян Г. Б. Фундаментальные безразмерные величины. Ереван: Изд. АН Арм. ССР, 1981. - 157 с.
2. Боднар О. Я. Геометрия филлотаксиса. //Доклады АН Украины, 1992. - №9, с. 9-14.
3. Бочков В. Г. Принцип оптимальности как основа исследования живых систем и некоторые вопросы их математического описания. //Особенности современного познания. - Свердловск: УНД АН СССР, 1974. - С. 161-178.
4. Бутусов К. П. Золотое сечение в Солнечной системе//Астрономия и небесная механика. - М.-Л.: 1978. - Вып. 7. - С. 475-500.
5. Вернадский В. И. Химическое строение биосферы Земли и ее окружения. - М.: Наука, 1965. - 374 с.
6. Волохонский А. Г. Генетический код и симметрия. //Симметрия в природе. Л., 1971. - С. 371-375.
7. Гика М. Эстетика пропорций в природе и искусстве. - М.: Изд. кад.арх., 1936. - 236 с.
8. Грим Г. Д. Пропорциональность в архитектуре. - М.-Л.: ОНТИ,1935. - 148 с.
9. Жирмунский А. В., Кузьмин В. И. Критические уровни в процессах развития биологических cистем. - М: Наука, 1982. - 178 с.
10. Калабухов Н. И. Сохранение энергетического баланса организма как основа процесса адаптации. //Журн. общ. биол. - 1946. - Т. 7. - №6. - C.417-434.
11. Коробко В. И., Коробко Г. Н. Основы структурной гармонии природных и искусственных систем. - Ставрополь, 1995. - 350 с.
12. Марутаев М. А. Гармония как закономерность природы. //Золотое сечение. Три взгляда на природу гармонии. - М.: Стройиздат, 1990. - С.130-233.
13. Моисеев Н. Н. Алгоритмы развития. - М.: Наука, 1987. - 303 с.
14. Образцов И. Ф., Ханин М. А. Оптимальные биомеханические системы. - М.:Медицина, 1989. - 271 с.
15. Озернюк Н. Д. Принцип энергетического минимума в онтогенезе и устойчивость процессов развития. // Журн. общ. биол. - 1988. - Т. 49. - №4. - С. 552-562.
16. Очинский В. В. Система музыкальных звуков как функция отношений золотой пропорции. //Циклические процессы в природе и обществе. - 1994. - Вып. 3. - С. 161-167.
17. Петухов С. В. Биомеханика, бионика и симметрия. - М. : Наука, 1981. - 240 с.
18. Радюк М. С. Золотая пропорция в структуре хлоропластов высших растений. //Изд. АН СССР: Сер.биол.. - 1987. - №5. - С. 774-777.
19. Розен Р. Принцип оптимальности в биологии. - М: Мир, 1969. - 216 с.
20. Рыбин И. А. Психофизика: Поиск новых подходов. //Природа. - 1990. - №2. - С. 19-25.
21. Соколов А. А., Соколов Я. А. Математические закономерности электрических колебаний мозга. - М.: Наука, 1976. - 97 с.
22. Сороко Э. М. Структурная гармония систем. - Минск: Наука и техника, 1984. - 264 с.
23. Стахов А. П. Коды золотой пропорции. - М.: Радио и связь, 1984. - 151 с.
24. Степанов И. Н. Формы в мире почв. - М., Наука. 1986.
25. Тимеринг Г. Е. Золотое сечение. - Петроград: Научное книгоиздательство, 1924. - 86 с.
26. Урманцев Ю. А. Золотое сечение. //Природа. - 1968. - №11. - С. 33-40.
27. Урманцев Ю. А. Симметрия природы и природа симметрии. - М: Мысль, 1974. - 229 с.
28. Цветков В. Д. Ряды Фибоначчи и оптимальная организация сердечной деятельности млекопитающих. - Пущино: НЦБИ АН СССР, 1984. - 19 с.
29. Цветков В. Д. Системная организация деятельности сердца млекопитающих. - Пущино: ПНЦ РАН, 1993. - 134 с.
30. Цветков В. Д. Сердце, золотое сечение и симметрия. - Пущино: ПНЦ РАН, 1997. - 170 с.
31. Шапоренко П. Ф., Лужецкий В. А. Гармоническая соразмерность частей тела человека и принцип обобщенного золотого сечения //Морфология. - 1992. - Т. 103. - №11-12. - С. 122-130.
32. Fechner G. T. Vorschule der Asthetik. Leipzig: Breitkopf und Hartel, 1897. - 264 s.
33. Rashevsky N. Mathematical biophisics. Physico-mathematical foundations of biology. N.Y.:Dover. 1960. Vol. II. 462 p. 34. Stahl W.R.
34. Similarity and dimensional methods in biology//Science. - 1962. - V. 137. - №3525. - P. 205-212.
35. Thompson D.W. On Grows and Form. - Cambridge, 1942. - 1119 p.
36. Zeising A. Neue Lehre von den Proportionen des menschlichen Korpers. Leipzig, 1854. - 457 s.
37. Zeising A. Aesthetische Forschungen. Frankfurt a.M., 1855. - 568 s.

Цветков Виктор Дмитриевич

К.б.н., ст.н.с.. член-корр. Международной академии информатизации

Адрес: 142290 г. Пущино Московской обл., микрорайон "В", д. 31, кв. 30

Институт теоретической и экспериментальной биофизики РАН

Тел. 923-96-68 доб. 3-28 (раб.)

Тел. (827) 73-26-87 (дом.)

E-mail:tsvetkov@venus.iteb.serpukhov.su

The special features of the golden proportion section are currently attracting an over increasing attention of investigaters in various fields of science. The article deals with the role of the gold proportion in the organization of mammalian heart activity. It was found that the structure of the most important parameters of cardiac activity at rest corresponds to the golden proportion. By "using" this proportion the heart fulfills its function, the expelling of blood at normal pressure, with minimal energy expenditures.

Institute of Theoretical and Experimental Biophysics

Russian Academy of Sciences

Pushchino Moscow region, ul. Nauki, 3, 142290 Russia

E-mail:tsvetkov@venus.iteb.serpukhov.su