1.3. Золотое
сечение и числа Фибоначчи
“Древние, - писал Г.Д.Гримм, - понимали пропорцию следующим
образом: “Две части или две величины не могут быть ...связаны между собой без
посредства третьей....Достигается это...пропорцией (аналогией),
в которой из трех чисел..., среднее так относится ко второму, как первое к
среднему, а также второе к среднему, как среднее к первому” [50, с. 7]. Под
пропорцией здесь понимается отношение частей целого между собой и с целым;
очевидна особая роль среднего пропорционального. Оно содержит в себе, как
считает М.А.Марутаев, “качественное обобщение, т.к.
оно выражается одним числом, а не множеством” [89, с. 162]. Очевидно, что отдельные
конкретные числа и отношения способны выражать не только количество, но и
“качество”. Именно поэтому пропорции так существенны в выражении гармонии.
Примером “качества”, представленного в отношении, является золотое число. Итак,
гармония связана с числами; это ведет к пропорциям особого рода. Учение о золотом
сечении возникло в результате тщательного исследования природы чисел. Считается,
что деление отрезка в среднем и крайнем отношении впервые было осуществлено
великим философом и геометром Древней Греции Пифагором, хотя
по мнению Б.Л.Ван-дер-Вардена [26] Пифагор, возможно,
позаимствовал его у египтян и вавилонян. Было показано, что отрезок единичной
длины AB можно разделить на две части точкой С так,
что отношение большей части (CB=x) к меньшей (AС=1-x)
будет равняться отношению всего отрезка (AB=1) к его большей части (CB): СB/AC=(AC+CB)/CB, т.е. x/(1-x) =1/x. Отсюда имеем алгебраическое выражение
x2 + x - 1 = 0.
Положительным корнем этого уравнения является (-1+
)/2, так что отношение 1/х в
рассматриваемой пропорции равно числу
Ф = 1/х =
1,618033989...
Такое деление Пифагор называл золотым делением или золотой
пропорцией. Число 1,618 принято обозначать буквой Ф в
честь древнегреческого скульптора Фидия, часто использующего золотую пропорцию
в своих творениях. В соответствии с делением в среднем и крайнем отношении
единичный отрезок АВ точкой С делится следующим
образом:
1 : 0,618 = 0,618 : 0,382 = 1,618
или иначе
0,382 + 0,618 = 1.
Письменные свидетельства, известные человечеству, о золотой
пропорции впервые приводятся в ”Началах” Евклида (3 в.
до н.э.). Евклид использовал вслед за пифагорейцами золотую пропорцию для
построения правильных пятиугольников и десятиугольников. Пятиугольник, точнее
пентаграмма, считался у пифагорейцев священным, поскольку эта фигура симметрична
и в то же время воплощает в себе некоторую асимметрию - золотую пропорцию,
полученную соотношением неравных частей отрезка. В силу своих особых свойств
пентаграмма считалась у пифагорейцев символом жизни и здоровья. Существуют всего пять правильных многогранников: четырехгранник
(тетраэдр), шестигранник (куб), восьмигранник (октаэдр), двенадцатигранник (додекаэдр)
и двадцатигранник (икосаэдр). Все эти многогранники были известны
древним грекам и получили название платоновых тел по
имени Платона, впервые их систематически описавшим. Каждое из
них символизировало какое-то из 5 “начал” или “стихий”: тетраэдр - тело огня,
октаэдр - тело воздуха, гексаэдр (куб) - тело земли, икосаэдр - тело воды, -
додекаэдр - тело мира (вселенской души, эфира или разума). В средние
века И.Кеплер (1571-1630) представил модель Солнечной системы в форме
последовательности вложенных друг в друга политонов (платоновых тел). Евклидом была показана возможность
построения всех правильных многогранников на основе деления отрезка в среднем и
крайнем отношении [73]. В последствии золотым делением
занимались Гипоксил (2 в. до н.э.), Папп (3 в. до н.э.), Дж. Компано
из Наварры (13 в.). Как считает Э.М.Сороко
[121], термин “золотое сечение” происходит от Птолемея. Закрепилось это
обозначение и стало популярным благодаря Леонардо да Винчи (1452-1519), который
часто его использовал.
В 1202 г. вышло в свет сочинение "Liber
abaci" итальянского математика Леонардо
Пизанского (1180-1240), известного, однако, больше как Фибоначчи. В книге излагается
множество задач. Одна из них ставится и решается следующим образом.
“Сколько пар кроликов в один год от одной пары рождается?
Некто поместил пару кроликов в некоем месте, огороженном со всех сторон стеной,
чтобы узнать, сколько пар кроликов родится в течение года, если природа
кроликов такова, что через месяц пара кроликов производит на свет другую пару,
а рождают кролики со второго месяца своего рождения. Так как 1-я пара в 1-м
месяце дает потомство, удвой, и в этом месяце окажется две пары; из них одна
пара, а именно первая, рождает и в следующем месяце, так что во втором месяце
окажется 3 пары; из них в следующем месяце 2 пары будут давать потомство, так
что в третьем месяце родится еще 2 пары кроликов, и число пар кроликов в этом
месяце достигнет 5”, и т.д. Свое решение задачи Фибоначчи представляет так: “Мы складываем первое число со вторым, т.е. 1 и 2; и второе с
третьим; и третье с четвертым; и так одно за другим, пока не сложим десятое с
одиннадцатым, т.е. 144 и 233; и мы получим общее число кроликов, т.е. 377; и
так можно делать по порядку до бесконечного числа месяцев”. Обозначив
число кроликов в n-ый месяц через fn
, а в следующие месяцы - fn+1 , fn+2 и т.д., последовательность чисел ряда Фибоначчи
можно представить формулой
fn+2 = fn + fn+1 .
И.Кеплер установил, что fn+1 /fn ®Ф, а Р.Симпсон (1687-1768) строго доказал, что 
fn+1/fn=Ф. В 1843 г. Ж.Бине нашел формулу, определяющую n-член фибоначчиевой последовательности,
fn =(F -1/(-5)n )/.
Позднее было установлено, что не только классический ряд
Фибоначчи, но и всякий ряд с рекуррентным свойством {fn+fn+1=fn+2} с любыми
начальными членами a и b
порождает последовательность a+b, a+2b, 2a+3b, 3a+5b,
5a+8b и т.д., отношение соседних членов которой по мере удаления от начала
стремится к величине Ф=1,618. Примером такой
последовательности может служить ряд Люка: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47 и т.д.
С золотым сечением и числами Фибоначчи связаны целые области
в культуре, науке и практической деятельности человека с древности до наших
дней. Известно [121], что многие египетские архитектурные памятники построены
на основе пропорции золотого сечения и чисел Фибоначчи. Например, с числами 55,
89, 144 связаны не только внешние пропорции пирамид, но и внутренние - зал
фараона (пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина). Золотая или божественная пропорция, являясь
чисто математическим соотношением, получила широкое применение в творениях
скульпторов и архитектуре Древней Греции. У древних греков все сколько-нибудь
крупные архитектурные сооружения (храмы, стадионы, амфитеатры) построены таким
образом, что в них многообразно представлена золотая пропорция. Фригийские
гробницы и античный Парфенон, театр в Эпидавре и
театр Диониса в Афинах - яркие образцы ваяния и зодчества, исполненные глубокой
гармонии на основе золотого сечения. Если в Древнем Египте закон золотого
деления используется спорадически, то в Древней Греции - постоянно. В средние
века интерес к золотому сечению пропал и свойства этой
пропорции были практически забыты. Влечение к “божественному сечению” резко
возросло в эпоху Ренессанса. Известный ученый, монах-минорит францисканского
ордена Л. Пачоли ди Борго посвятил этой пропорции восторженную книгу
“Божественная пропорция” (1509 г.). В этой книге [245] систематически
излагались 12 различных свойств гармонической пропорции. Характеризуя эти
свойства, Пачолли пользовался весьма сильными
эпитетами: “исключительное”, “превосходное”, “замечательное”, “почти
сверхъестественное” и т.д. Раскрывая данную пропорцию в качестве универсального
отношения и в природе, и в искусстве как совершенство красоты, он называл ее
“божественной” и склонен был ее рассматривать как “орудие мышления”, “эстетический
закон”, как “принцип мира и природы”. Эта книга сопровождалась прекрасными
иллюстрациями Л. да Винчи, который “закрепил” за золотой пропорцией обозначение
“золотое сечение” (sectio aurea).
Вслед за Л. Пачолли И.Кеплер не менее восторженно
говорит о золотом сечении, называя его божественным сечением (sectio divina). Он писал: “Геометрия
владеет двумя сокровищами: одно из них - это теорема Пифагора, а другое -
деление отрезка в среднем и крайнем отношении....Первое
можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень”
[217, c. 23]. Имеются свидетельства, что И.Кеплер
одним из первых обратил внимание на проявления золотого сечения в ботанике.
Особенно большой интерес к золотой пропорции проявили ученые, зодчие и
художники 15-16 веков, его широко применяли в геометрии, искусстве и особенно в
архитектуре. В произведениях Браманте, Л. да Винчи,
Рафаэля, Джорджане, Тициана, Микельанджело
и других проявляется строгая размерность и гармоничность сюжета, подчиняющаяся
золотому сечению. Знаменитые итальянские мастера Страдивариус, Амати и др.
применяли геометрию пентаграммы и золотое сечение в очертаниях своих скрипок.
Шедеврами древнерусской архитектуры являются церковь Покрова на Нерли (12 в.), собор Василия Блаженного (16 в.), церковь
Вознесения села Коломенское под Москвой (16 в.) и др.;
в формах этих сооружений использованы элементы золотого сечения [27].
После эпохи Ренессанса интерес к золотому сечению на
значительное время прервался и в течение более 200 лет эта пропорция
была предана забвению. Лишь во второй половине 19 - начале 20 в.в.
появились публикации, в которых золотое сечение впервые было установлено во
многих явлениях и закономерностях биологических объектов. Среди них видное
место занимают труды А.Цейзинга [296, 297]. Цейзинг рассматривал золотое сечение как основной
морфологический закон в природе и искусстве. Он показал, что этот закон
проявляется в пропорциях тела человека и в телах красивых животных. Г.Т.Фехнером [200] была установлена связь между психофизическим
восприятием человека и “золотыми” формами предметов. Т.Кук [41] уделяет большое
внимание изучению роли логарифмической спирали в растительных и животных
объектах. Им установлено, что феномен роста в биологических объектах связан со
спиралями золотого сечения. О значении золотой пропорции в природе и искусстве
пишут Г.Тимеринг [125], Г.Д.Грим [50] и М.Гика [41],
которые приводят многочисленные примеры проявлений золотого сечения в явлениях
природы и различных прикладных искусствах. Интересные исследования об использовании
золотой пропорции в шедеврах музыки, живописи и поэзии были проведены в в России и СССР Э.К.Розеновым [109], Л.Сабанеевым [112], Г.В.Церетели
[154], М.А.Марутаевым [89], Н.А.Васютинским
[27]. Выдающийся советский режиссер С.М.Эйзенштейн [168] занимался
исследованием золотого сечения в кино. Он сознательно использовал золотое
сечение при структурном построении фильма “Броненосец Потемкин”, а также при
формировании отдельных кульминационных кадров фильма. Большое количество
исследований посвящено проявлению золотого сечения в шедеврах древних зодчих и
в современной архитектуре [110, 161 и др.]. А.Б.Рыбаков [110] считает, что во
многих архитектурных шедеврах древности золотое сечение проявляется по
антропологическим признакам, т.к. золотая пропорция четко прослеживается в
членении тела человека. Интересно отметить, что установлена связь старинных мер
длины (локоть, ступня, различные сажени и т.д.) с золотым сечением. Выдающийся
французский архитектор Ле Корбюзье положил золотое
сечение в основу своей теории гармонизации в строительстве, известную под названием
система “Модулор” [82]. В этой системе Ле Корбюзье объединил существующие представления о
пропорциях человеческого тела с отношением золотой пропорции.
После некоторого ослабления внимания к золотому сечению в
середине нынешнего столетия во второй его половине резко возрос интерес к этой
пропорции со стороны многих ученых в различных отраслях знаний. В США начал
регулярно выходить журнал “The Fibonacci
Quarterly”. В СССР публикуется ряд работ, относящихся
к разнообразным областям науки: поиску экстремумов унимодальных функций [128],
математическом описании принципов оптимизации живых систем [22], организации
Солнечной системы [25], теории развития этнических культур [23], лечению некоторых
заболеваний человека [54, 118, 124], в экономике [28]. Н.Н.Воробьев [38] показал
связь золотого сечения с теорией возвратных рядов, комбинаторной математикой,
теорией чисел, геометрией, теорией поисков. Настоящий “взрыв”
исследований по проблеме золотого сечения в нашей стране приходится на
последние 10-15 лет. В эти годы в СССР и странах СНГ появились крупные работы
в различных отраслях знаний, где золотая пропорция и ее
закономерности использованы как своеобразный методологический принцип, лежащий
в основе анализа технических и природных систем, их структурной гармонии.
А.П.Стахов [122] развивает направление
по приложению обобщенных золотых сечений и p-чисел Фибоначчи к решению задач
математической теории измерений и использованию нетрадиционных методов в теории
кодирования информации. Геометрическая интерпретация рекуррентного соотношения
для р-чисел Фибоначчи может быть получена, если мы
разделим отрезок АВ точкой С в таком отношении, чтобы AB/CB=x,
а CB/ACp =xp . Значение
искомого отношения АВ/СВ сводится к решению
алгебраического уравнения
xp+1+ xp - 1 = 0.
Ниже приведены приближенные значения золотых р-пропорций, соответствующие начальным значениям р:
|
p |
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
|
tp |
2 |
1,618 |
1,465 |
1,380 |
1,324 |
1,285 |
1,255 |
1,232 |
1,213 |
При р=1 это уравнение принимает
“классический” вид
x2 + x - 1 = 0.
Корень данного уравнения есть знаменитое число 1/F=(-1+)/2= =0,618, которое Л. да Винчи назвал золотым сечением. По
аналогии с золотой пропорцией положительный р-корень
уравнения называется обобщенной золотой пропорцией или р-пропорцией,
а соответствующее деление отрезка - золотым р-сечением.
А.П.Стахов [122] разработал на этой основе логические
системы контроля, обладающие информационной и структурной избыточностью,
достаточной не только для контроля, но и для немедленного автоматического
исправления “сбоев” или ошибок без заметной потери машинного времени. Группа
ученых во главе с А.П.Стаховым предложила также новый
вид тригонометрических (гиперболических) функций (sFx
- фибоначчиев синус, cFx - фибоначчиев косинус и т.д.), изучили их свойства
и разработала теоретические основы их применения (дифференцирование,
интегрирование и т.п.).
Значительный интерес к золотым р-сечениям
был проявлен в философской науке. Э.М.Сороко возвел
их в ранг “закона структурной гармонии систем”, который он формулирует
следующим образом: “Обобщенные золотые сечения суть инварианты, на основе и
посредством которых в процессе самоорганизации естественные системы обретают
гармоническое строение, стационарный режим существования, структурно-функциональную
...устойчивость” [121]. Эти золотые сечения по отношению к нормированию
противоположностей к единице образуют своего рода интерференционную решетку
(“узлы”) - 0,500+0,500; 0,382+0,618; 0,318+0,682;0,276+0,724 и т.д. Их
разделяют “пучности” - 0,430+0,570; 0,346+0,654; 0,295+0,705 и т. д. “Узлы” представляют
зоны согласованности, устойчивости, а следовательно, и
гармонии самоорганизующихся систем, а “пучности” - зоны неустойчивости и
дисгармонии.
С.В.Петухов [103] занимаясь проблемами биосимметрий
высших порядков (конформными преобразованиями), установил, что двойное
отношение длин трехзвенных конечностей млекопитающих, птиц и насекомых приблизительно
равно величине - 1,309. С.В.Петухов, анализируя связи между длинами в
трехчленных блоках тела человека в течение жизни, показал, что их двойное
отношение также приблизительно равно одной и той же величине - 1,309. Формально
двойное отношение четырех точек прямой линии ABCD
W = ab/cd,
где a=AB+BC, b=BC+CD,
c=BC, d=AB+BC+CD; W может
иметь значения от 1 до бесконечности. Величина W=1,309 связана с золотым числом
1,618 через выражение W=Ф2/2=1,309... и соответствует
случаю, когда имеет место геометрическая прогрессия: AB=1,618а, BC=1,6182а,
CD=1,6183а, где а - любое положительное число. С.В.Петухов назвал величину
1,309 золотым вурфом. Золотой вурф
является инвариантом по отношению к конформным преобразованиям тела и
конечностей человека, других млекопитающих, птиц и насекомых.
И.Н.Степанов [123] обнаружил многочисленные проявления
золотого сечения и чисел Фибоначчи в структуре почвенного покрова,
вещественного состава почв и их продуктивности.
М.С.Радюк [104] установил
проявления золотой пропорции при изучении скорости осаждения хлоропластов при
денатурации гемогената высших растений.
И.А.Рыбин [111] установил связь золотых чисел в явлениях
сенсорной сферы человека.
В.И.Коробко [71, 73] обнаружил
взаимосвязь некоторых интегральных физико-механических характеристик твердого деформируемого
тела с золотым сечением. Им же установлены многочисленные, ранее неизвестные
проявления золотой пропорции в деятельности организма человека: его
физиологических ритмах, эргономических параметрах “вхождения” в окружающую
среду.
П.Ф.Шапоренко и Лужецкий В.А. [159] провели огромное количество измерений
скелетов человека и других животных, в том числе и ископаемых, прослеживая эволюционные
изменения основных скелетообразующих элементов. Они
убедительно показали, что гармоническая соразмерность частей тела человека
связана с обобщенными золотыми p-пропорциями.
О.Я.Боднар [19] установил закон
преобразования спиральных симметрий, раскрывающий механизм роста и формирования
в живой природе. Рост филлотаксисных форм
сопровождается изменением симметрии пересекающихся спиралей, количество которых
выражается парами чисел - 1/2, 2/3, 3/5, 5/8, 8/13 и т.д. Последовательная
смена порядка спиральной симметрии характеризуется гиперболическим поворотом.
В.Д.Цветков [148, 152] показал, что оптимальная деятельность
сердца млекопитающих обусловлена максимальной экономичностью его конструкции.
Энергетическая оптимизация сердца обусловлена золотым сечением и числами
Фибоначчи. Золотые отношения составляют основу законов композиции структур
сердечного цикла; эти соотношения справедливы для различных видов
млекопитающих.
В.В.Очинский [100, 101] исследовал
музыкальную гамму с позиций золотого сечения, привнеся принципиально новый
взгляд на эту проблему. Им же высказана концепция о том, что численная модель
человека может быть положена в основу построения единой системы мер.
В связи с вышеизложенным особенно важно
указать на связь между “конструкцией” ряда золотых чисел, построенному по
рекуррентной формуле ряда Фибоначчи, и симметрией. Из всех возможных
геометрических прогрессий лишь одна, в основе которой
лежит число F=1,618,
обладает следующим признаком: любой член этого геометрического ряда, начиная с
третьего, равен сумме двух предыдущих. Ряд F0, F1, F2, F3 ,..., Fn обладает уникальной особенностью: он является
одновременно и мультипликативным, и аддитивным, т.е. одновременно причастен
природе геометрической прогрессии и арифметического ряда. Число F
здесь - естественная инварианта преобразований
симметрии подобия, реализованной на данной прогрессии.
М.А.Марутаев [89] открыл еще одну
связь числа F=1,618
с симметрией. Последнее ему удалось сделать благодаря
развитой им оригинальной теории качественной симметрии чисел. На основе
введенного Марутаевым понятия качественной симметрии
любое число можно перевести из одной октавы в другую (октавой является интервал
чисел (
)i+1 -()i , где i
- любое целое число). Связь числа Ф с преобразованиями
качественной симметрии в пределах 14 октав может быть представлена следующей
последовательностью a -чисел:
+7 +6 +5 +4 +3 +2
+1
9,888 ^ 6,472 ^ 4,944 ^ 3,236 ^ 2,472 ^ 1,618 ^
1,236 ^
-1 -2 -3 -4 -5 -6 -7
0,809 ^0,618
^
0,405 ^
0,309 ^
0,202 ^
0,154 ^0,101
(Символ ^ означает зеркальную симметрию соседних чисел
относительно (
)i ).
Таким образом, золотое сечение может выражаться не только числами 0,382, 0,618,
1,618 (как принято), но и другими (например, представленными выше). Причем все ai - числа могут быть получены посредством формулы
ai = 1,236
2
,
где i= +1,
+2,..., +7 и т.д., -1, -2,..., -7 и т.д. k=+1 или -1, чередуясь в каждом последующем
диапазоне, так что для диапазона +1 k=+1, а для диапазона +2 k=-1, для
диапазона -2 k=+1 и т.д.; n - целое, меняющееся через
диапазон на единицу, причем для положительных диапазонов n=0, 1, 2, 3 и
т.д., а для отрицательных - n=0, -1, -2, -3 и т.д.; для начальных диапазонов
+1, -1 - n=0. М.А.Марутаевым [89] на основе качественной
симметрии была показана также связь числа F с числом b=137.
Отметим, что число 137 выводится из фундаментальных констант природы - заряда
электрона (q), постоянной Планка (h)
и скорости света (c). Безразмерное число 137 связано
с целостностью мироздания, поскольку является отношением фундаментальных констант.
Формы симметрии живых систем с “участием” золотого сечения и
чисел Фибоначчи известны с давних пор. В.И.Вернадский писал, что “между
симметрией косных естественных тел и явлений и симметрией живого вещества, т.е.
живых организмов, существует резкое различие, без всяких переходов и
исключений” [30, с. 177]. Особенность симметрии жизни иллюстрировалась им, в
частности, таким фактом: “Ось симметрии 5-го порядка, неразрывно связанная с
золотым сечением...Эта ось, играющая заметную роль в
морфологии форм жизни, в кристаллографии невозможна” [30, с. 177]. В мире
кристаллов возможна только поворотная симметрия порядков 2, 3, 4 и 6. Cовременные кристаллографы
считают, что “пятерная ось у мелких организмов является своеобразным
инструментом борьбы за существование, страховкой против кристаллизации, первым
шагом которой была бы их “поимка” решеткой” [160, с. 110]. Поворотная симметрия
пятого порядка часто встречается в живой природе (например, морские звезды,
морские ежи, цветы).
Поворотная симметрия пятого порядка свойственна икосаэдру -
правильному 20-граннику, гранями которого являются правильные треугольники. А.Г.Волохонский [36] установил соответствие общей структуры
генетического кода, ряда биноминального разложения 2 и икосаэдра. Английский
биохимик Дж. Кендрю показал, что пространственная
конфигурация молекулы миоглобина также имеет форму икосаэдра. Им было
установлено, что вирусы, состоящие из РНК и белка, представляют собой
правильные икосаэдры [73]. Связь между симметрией, золотым сечением и числами
Фибоначчи может быть представлена также на ряде “живых” спиралей. Было обнаружено, что применяемая в ботанике для описания видов
винтового расположения листьев на побеге последовательность дробей 1/2, 1/3,
2/5, 3/8, 5/13, 8/21, 13/34, 21/55...стремится к пределу 0,382=1/F2=F-2 и
фактически обозначает последовательность видов винтовых осей симметрии,
применяемых в теории структурной симметрии для описания симметрии бесконечных
фигур. Кроме того, установлено, что применяемая в
ботанике же для описания спирального расположения семянок в головках
подсолнечника или чешуй в шишках сосновых последовательность дробей 1/1, 1/2,
2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21, 21/34...также составлена из чисел ряда Фибоначчи и
стремится к числу 0,618=1/F и фактически обозначает также последовательность видов
винтовых осей симметрии [136]. Спирали филлонаксиса логарифмические и представляют одну из
наиболее фундаментальных форм развития многих естественных систем. Логарифмическая
спираль обнаружена в форме галактик, раковин моллюсков и рогов млекопитающих, в
порядке полипептидных цепей нуклеиновых кислот и расположении лепестков розы.
Листорасположение на побегах изучается и современными учеными [12, 33]. Однако,
как считает Г. Вейль, “современные ботаники относятся ко всему учению о филотаксисе менее серьезно, чем их предшественники” [29, с.
99]. Аналогичный вид симметрии обнаружен А.Фрей-Висслингом
для расположения аминокислотных остатков в спиралях полипептидов для различных
молекулярных цепей - 11/3, 18/5, 29/8, 47/13 [27]. Эти отношения и задают углы
расхождения аминокислотных остатков подобно углам расхождения листьев растений.
Отношения образуют ряд, в котором знаменатели образованы числами Фибоначчи, а
числители - производным рядом Люка. Многие раковины в качестве кривой роста
имеют логарифмическую спираль с пульсацией d=Ф и d=Ф2 [73]. А.В.Жирмунский
и В.И.Кузьмин [57], анализируя критические уровни в развитии биологических
систем (зачатие, рождение, половая зрелость, смерть), установили, что отношение
некоторых важнейших параметров на соседних уровнях характеризуется числом eе =15,15... C точки зрения
преобразований качественной симметрии здесь имеет место золотое сечение [89].
Число eе является
инвариантом преобразований важнейших параметров в процессе развития организма.
Таким образом, можно утверждать, что “золотая” симметрия систем имеет широкое
распространение в животном и растительном мире.
В последующих главах нами ставится задача установления
критерия оптимальности сердечных систем. Термин “оптимизация” происходит от
латинского слова optimus, что означает “наилучший”.
Понятие оптимальности исходит из теории вариационного исчисления. В 1744 г.
французский ученый П.Мопертьюи выдвинул принцип наименьшего дейсвия. Понятие
функции было обобщено в понятие функционала. В отличие от функции его
аргументами являются не числа, а функции
одной или нескольких переменных. Вариационное исчисление решает задачи
отыскания экстремумов не отдельных функций, а функционалов. Согласно Мопертьюи, количество действия, “которое допускает
произведенное изменение, является наименьшим возможным”.В
дальнейшем формулировка принципа
наименьшего действия была несколько измененена. Сфера
его применения (в основном механика) вследствие исследований в этой области
ряда выдающихся математиков 18-19 веков была расширена практически на все
разделы физики. По отношению к системе оптимизация последней означает
приведение системы к “наилучшему” виду. Однако встает вопрос
- по какому критерию должно определяться высшее “качество” системы? Если говорить о таких характеристиках системы, как ее надежность,
или простота, или эффективность, то нет сомнений в том, что более надежная
система лучше менее надежной, более простая лучше менее простой и более
эффективная - менее эффективной. Разумеется, если при этом более
надежная система не связана с меньшей эффективностью, меньшей простотой и т.д.
Каждая из этих характеристик предпочтительна лишь “при прочих равных условиях.” По нашему мнению, важнейшим критерием, определяющим
оптимальность живых систем, является минимальность расхода энергии и живого
“строительного” материала по отношению к исполняемой функции, что и будет
показано в дальнейшем на примере систем сердца.
Из всего изложенного выше ясно, что золотая пропорция
“представляет” симметрию во многих явлениях окружающего нас мира, что она
действительно связана с фундаментальными проблемами современной науки. Золотое
сечение и числа Фибоначчи, представляя гармоничность организации систем,
выражают в то же время постоянство и изменчивость структур живой и неживой
природы. Особые свойства золотой пропорции “позволяют возвести это, говоря
словами Кеплера, математическое сокровище в разряд инвариантных сущностей
гармонии” [121]. В последующих главах нами будет показана роль золотого сечения
и чисел Фибоначчи в обеспечении гармоничной, энергетически оптимальной
деятельности сердца человека и млекопитающих.