1.2. Симметрия, “особые” числа и отношения

 

 

Симметрия представляет такую особенность природы, про которую принято говорить, что она фундаментальна, охватывает все формы движения и организации материи. Истоки понятия симметрии уходят в глубокую древность. В.И.Вернадский писал: “...представление о симметрии слагалось в течение десятков, сотен, тысяч поколений. Правильность его проверена коллективным реальным опытом и наблюдением, бытом человечества в разнообразнейших природных земных условиях. Этот опыт многих тысяч поколений ясно указывает на глубокую эмпирическую основу этого понятия и ее существования в той материальной среде, в которой жил человек, в биосфере...Переходя к историческому времени, мы видим, что понятие “симметрия” выросло на изучении живых организмов и живого вещества, в первую очередь человека” [30, с. 178]. Само понятие “симметрия”, связанное с понятием красоты или гармонии, произошло из Древней Греции (5 в. до н.э.). Греческое слово simmmetria означает нечто гармоничное, однородное, соразмерное, пропорциональное в объекте, т.е. тот способ согласования многих частей, с помощью которого они объединяются в целое. Пифагору принадлежит бессмертная идея о всеобщей гармонии, лежащей в основе мироздания. Заложенная Пифагором вера в красоту и гармонию природы, в простоту и целесообразность ее законов, построенных на единых математических принципах, окрыляла творчество величайших ученых от И. Кеплера (1571-1630) до А.Эйнштейна (1879-1953). Это и есть путеводная  звезда современного естествознания, тот вечный кладезь мудрости, который открыл человечеству Пифагор.

Существуют два представления о симметрии. Одно из них, идущее от античной культуры, связано с пропорциями; здесь “симметрия обозначает тот вид согласованности отдельных частей, которая объединяет их в единое целое” [29, с. 35]. Это наиболее древнее представление до 19 века оставалось и наиболее распространенным в описании гармонии естественных систем и систем, созданных человеком. Второе представление о симметрии ведет начало с 1872 года, когда немецкий математик Ф.Клейн провозгласил знаменитую “Эрлангенскую программу” [69]. По современному определению “симметрия - понятие, характеризующее переход объектов в самих себя или друг в друга при осуществлении над ними определенных преобразований (преобразований симметрии); в широком плане - свойство неизменности (инвариантности) некоторых сторон, процессов и отношений объектов относительно некоторых преобразований” [142, с. 603].

Само понятие симметрии содержит в себе два противоречивых момента. Понятие симметрии предполагает, во-первых, закономерное движение (изменение) объекта или его частей и, во-вторых, сохранение объекта или его частей, соответствующих этому движению (изменению). Понятие симметрии теряет смысл, если мы не имеем дела с движением, например, от правой системы координат к левой. Это понятие перестает работать и в том случае, когда при таком переходе соответствующий параметр не сохраняется. Как пишет Н.Ф.Овчинников, “только наличие определенной группы движений и одновременно сохранение определенных параметров в процессе этих движений дает основание говорить о симметрии” [98, с. 139]. Ю.А.Урманцев дает следующее определение симметрии: “Симметрия - это категория, обозначающая сохранение признаков П объектов О относительно изменений И” [136, с. 195]. Поскольку относительно другой совокупности изменений рассматриваемое множество признаков {П} не будет инвариантным, то необходимое дополнение любой симметрии - соответствующая ей асимметрия. По определению Урманцева “асимметрия - противоположность симметрии; это категория, обозначающая несохранение признаков П объектов О относительно изменений И” [136, с. 195]. Так как относительно любой совокупности изменений {И} существуют инвариантные признаки, то необходимое дополнение любой асимметрии - соответствующая ей симметрия. Следует выделить аспекты, без которых симметрия невозможна:

1) объект - носитель симметрии; в роли симметричных объектов могут выступать вещи, процессы, геометрические фигуры, математические выражения, живые организмы и т.д.

2) некоторые признаки - величины, свойства, отношения, процессы, явления - объекта, которые при преобразованиях симметрии остаются неизменными; их называют инвариантными или инвариантами.

3 )изменения (объекта), которые оставляют объект тождественным самому себе по инвариантным признакам; такие изменения называются преобразованиями симметрии;

4) свойство объекта превращаться по выделенным признакам в самого себя после соответствующих его изменений.

Важно подчеркнуть, что инвариант вторичен по отношению к изменению; покой относителен, движение абсолютно. Поэтому при выявлении инвариантов всегда необходимо указывать, по отношению к какому изменению (преобразованию, операции, движению) они являются таковыми. Очевидно, что не имеет смысла называть какую-либо величину “инвариантом”, не указав относительно какого преобразования она инвариантна. Итак, важнейшей характеристикой симметрии является множество различных преобразований, воспроизводящих данный объект по какому-либо признаку. Само множество подобных преобразований и есть собственно группа симметрии. Другим важнейшим аспектом симметрии наряду с группой преобразований является инвариантность. Только наличие определенной группы преобразований и одновременно постоянство некоторых признаков системы, по отношению к которым эти преобразования происходят, дает основание говорить о симметрии.

В настоящее время известны три фундаментальные симметрии: 1) структурная, 2) геометрическая и 3) динамическая [136]. Исходя из определения симметрии Ю.А.Урманцева, приведенного нами выше, отличительные особенности этих симметрий состоят в следующем.

Если мы в качестве О выберем материальный объект, в качестве П - его геометрическую фигуру, то это П вместе с операциями И, совмещающими его по фигуре, даст структурную симметрию. Структурная симметрия представляет метод изучения пространственных и пространственно- представимых объектов.

Если же в определение симметрии в качестве О выбрать пространство М, а в качестве П - такие свойства фигур и такие связанные с фигурами величины, которые остаются неизменными относительно всех взаимно- однозначных отображений М на себя, то соединяя то и другое, мы получим геометрическую симметрию. Выбирая соответствующие П и И можно получить в виде тех или иных симметрий геометрии Евклида, Лобачевского, Римана и др.

Если в определении симметрии в качестве О выбрать процесс или взаимодействие, в качестве П - некоторые его вещи, свойства, отношения, их комбинации, то эти П вместе с сохраняющими их реальными и (или) мыслимыми “физическими” изменениями дадут динамическую симметрию.

Из определения симметрии видно, что в основном ее можно изучать двояко: 1) имея множество инвариантных признаков {П}, далее искать число, вид всех сохраняющих эти П изменений множества И (группу преобразований); 2) имея совокупность изменений {И}, далее искать число, вид всех сохраняющихся при этом признаков множества И (теорию инвариантов). Теоретически ни один двух основных путей изучения симметрии не предпочтительнее. Поэтому в зависимости от наличия установленных инвариантов или групп преобразований в действительности используется соответствующий путь исследования симметрии.

Выдвижение симметрии на первый план в современной науке - естественное следствие интенсивно протекающей уже более столетия переориентации науки из “собирающей” в “упорядочивающую”. Отмечая эту тенденцию, Г.Вейль писал: “Симметрия - в широком или узком смысле в зависимости от того, как вы определите значение этого понятия, - является той идеей, посредством которой человек на протяжении веков пытался постичь и создать порядок, красоту и совершенство” [29, с. 37]. Законы симметрии позволяют “навести порядок” и выявить “простоту” в сложном и часто хаотическом мире эмпирических фактов. “Функция, которую несут принципы симметрии, состоит в наделении структурой законов природы или установлении между ними внутренней связи, так же как законы природы устанавливают структуру или взаимосвязь в мире явлений” [31, с. 23]. Историческое “упорядочение” науки, по мнению Е.Вигнера, связано с тремя фундаментальными категориями естествознания: события, законы природы и принципы симметрии. События являются сырьем для законов природы, законы природы представляют собою, в свою очередь, сырье для принципов симметрии. Иными словами, существует глубокая аналогия между отношением законов природы к явлениям, с одной стороны, и отношением принципов симметрии к законам природы - с другой. Можно сказать, что если законы природы управляют явлениями, то принципы симметрии управляют законами природы. По установившемуся в научной среде мнению симметрия и теснейшим образом связанная с ней теория групп являются тем мощнейшим “тараном”, который позволяет “разбить” и разглядеть глубинные основы организации живой и неживой природы. Выдающийся математик 20 века Г.Вейль писал по этому поводу: “Всякий раз, когда вам приходится иметь дело с некоторым объектом S, наделенным структурой, попытайтесь определить группу его автоморфизмов, т.е. группу, элементами которой являются преобразования, оставляющие без изменения все структурные отношения. Вы можете рассчитывать на то, что на этом пути вам удастся глубоко проникнуть во внутреннее строение объекта S” [29, с. 159-160].

Использование принципа симметрии на границе 19-20 в.в. позволило получить выдающиеся достижения в различных областях науки. Немецкий математик Ф. Клейн, рассмотревший различные геометрии как категории инвариантов определенных групп преобразований внес существенный вклад в формирование современного понятия симметрии, тесно связанного с инвариантностью и теорией групп. Русские кристаллографы А.В.Гадолин и Е.С.Федоров создали учение о пространственной симметрии. В физике теоремы Э. Нетер позволили связать пространственно-временную симметрию (инвариантность) уравнений физики с сохранением фундаментальных величин - энергии, импульса, количества движения. Новые аспекты физического содержания симметрии в рамках теоретико-группового подхода были вскрыты специальной (СТО) и общей (ОТО) теориями относительности, а также квантовой механикой и квантовой теорией поля. Помимо получения ряда выдающихся конкретных результатов в физике, концепция симметрии привела к перевороту в философских основаниях физики, изменив представление о том, что следует считать исходными законами физики. Если ранее - со времен Ньютона - законы природы формулировались в виде дифференциальных уравнений, то сейчас ситуация существенно изменилась. Для фундаментальной физики основными исходными законами являются законы симметрии, т.е. нахождение инвариантов и соответствующих им группам преобразований. Законы природы, как считал Вигнер [31], не могут существовать без принципов инвариантности. На исключительное значение выявления инвариантов указывал М.Борн: “Наука - это не что иное, как попытка конструировать ...инварианты там, где они не очевидны” [21, с. 151]. Борн выражал убежденность в том, что “идея инвариантов является ключом к рациональному понятию реальности” [20, с. 276]. Найти инвариант в классе объектов - значит выявить их общее структурное основание. В наше время каждый значительный шаг в естественных науках так или иначе связан с установлением или инвариантов известных групп преобразований или группы преобразований, известные элементы которой неизменны.

В наши дни идея симметрии выполняет важную методологическую роль не только в математике и физике, в технике и искусстве, но начинает проникать в химию и биологию. Несомненно, что использование методов симметрии неоценимо для познания биологических явлений, для нахождения сути и простоты в этом сложнейшем классе природных явлений. Существует мнение, что использование симметрии и теории групп в биологии позволит получить даже более выдающиеся результаты, чем в физике [194]. К сожалению, симметрийный подход к биологическим объектам как методологический прием стал развиваться только в последние десятилетия 20 века. Наиболее глубокое и обобщающее развитие идей биосимметрии и исчерпывающее изложение общих задач и следствий дано в работах Ю.А.Урманцева [136, 137, 139, 281]. Во многом благодаря работам Урманцева в биологии сформировалось новое научное направление - биосимметрика, изучающая вопросы симметрии, их нарушение, симметризацию и десимметризацию в живой природе, биологические инварианты, биологические законы сохранения и соответствующие группы преобразований. Ю.А.Урманцев внес огромный вклад в развитие почти всех сторон биосимметрики, особенно в создание теорий дисфакторов и биологической изомерии, на основе которых им была развита универсальная ОТС [136-138]. В объяснении природы левого и правого в симметрии был сделан крупный шаг с введением понятия диссимметрирующих факторов (сокращенно называемых дисфакторами), т.е. таких отличительных особенностей и признаков у объектов, которые делают их правыми или левыми [133] Положение теории биологической изомерии Ю.А.Урманцева и его ОТС принципиально важны для правильного понимания деятельности живых систем. Значительный вклад в биосимметрику сделал А.П.Дубров [55], разработавший важное направление в биологии и медицине - функциональную биосимметрику. Функциональная биосимметрика обосновывает вариабельность медико-биологических свойств, параметров и показателей жизнедеятельности человека, животных, растений и микроорганизмов. Следует отметить, что интерес к симметрии среди ученых, занимающихся проблемами организации биосистем, неуклонно возрастает. В последние годы появился ряд работ, посвященных общим проблемам симметрии живых систем и выявлению симметрии в конкретных биообъектах [36, 55, 103, 121, 123, 139, 281 и др.]. В некоторых из этих исследований представлена роль особых чисел и безразмерных отношений в организации живого и симметрийных преобразованиях живых систем.

Интерес к числам и их связи с объектами природы возник с времен глубокой древности. Еще в 5 веке до н.э. великий древнегреческий философ и математик Пифагор и его последователи пытались установить связь между числами и внешним миром. Пифагору и его ученикам приписываются выражения: “Все вещи - суть числа”, “Бог положил числа в основу мирового порядка”, “Мир создан в подражание числам”. Как писал Б.Л.Варден, “Пифагорейцы предавались математике, как чему-то вроде религиозного созерцания, дабы приблизиться к божеству” [26, c. 146]. Теория Числа как единого организующего принципа мироздания является стержнем всей философской системы Пифагора. В учении пифагорейцев много непонятной для нас мистики, основанной на магии и обожествлении чисел. Сама пифагорейская школа была фактически религиозно-философским орденом, окутанным покровами таинственности со своими сложными ритуалами, доступными пониманию лишь посвященных. Вместе с тем учение пифагорейцев, по мнению многих современных исследователей, стало самым мощным в истории познания фактором, наложившим сильный отпечаток на все дальнейшее развитие европейской философии и в первую очередь математики. Величайшая заслуга Пифагора состоит в том, что он впервые ввел в математику метод доказательства, благодаря чему математика превратилась в самостоятельную науку.

По мнению А.Ф. Лосева, пифагорейская философия чисел, исследования пифагорейцев в области математики, астрономии и музыки “это - величайший вклад в сокровищницу мировой философии и науки, потому что возникновение математического естествознания в новое время философски было связано с идеями пифагореизма” [84, с. 260]. “Я не знаю ни одного человека, - заявляет Б.Рассел, - который оказал бы такое влияние на человеческое мышление, как Пифагор” [40, с. 42]. Полагая, что мир есть число, пифагорейцы утвердили тем самым тезис о неразрывной связи вещей и чисел, что обусловило возможность “возвращения” разработанных теорем “чистой” математики к практике. Как показал весь дальнейший ход развития науки, “пифагорейцы, уходя в числовые операции, не удалялись от действительности, а приближались к ней” [121, с. 33]. Значительная часть “Начал” Евклида написана пифагорейскими математиками. Особенно велик их вклад в теорию пропорций, на которой зиждется вся античная наука и культура. Общенаучный статус пифагорейских учений проявился в многообразии тех или иных конкретных приложений, которые были связаны с разработкой проблем структурности, симметрии и гармоничности вещей, чему не мешала, а только способствовала абстрактная отвлеченность этих учений от специфических особенностей объекта, рассматриваемого как целое.

В современной науке, как продолжение традиций школы Пифагора, возрождается интерес к “голым” числам. Как пишет Ю.А.Урманцев, “числа выступают на передний план в самых “горячих” точках науки: то при изучении распределения планет в Солнечной системе, то при объяснении сущности кода наследственности, то при выводе фундаментальных инвариантов в теоретической физике, то при определении периодической природы музыкального ряда и таблицы Менделеева” [136, с. 16-17]. Отметим, что ряд “особых” чисел начинается из глубины веков и продолжается до настоящего времени. История физических безразмерных постоянных b=hc/q2 = 137,03.., (с - скорость света, q - заряд электрона, z =h/2p, h - постоянная Планка) и d=M/m= 1836,15...(M, m - масса протона и электрона) насчитывает всего несколько десятилетий, в то время как о существовании числа p знали уже жрецы древнего Египта и Вавилона. Эйнштейн и Планк, как считает Г.Б.Аракелян [4], были первыми, кто обратил внимание на тот факт, что постоянная Планка z и отношение q2/c имеют одну и ту же размерность. Известно, что Эйнштейн пытался, хотя и безуспешно, установить связь между указанными величинами. В последние годы в физике установлено, что набор мировых констант, таких как скорость света, постоянная гравитации и т.д., обладает удивительным свойством. Даже ничтожные их изменения, порядка малых долей процента, привели бы к такому изменению характера мирового процесса самоорганизации, который исключил бы возможность появления во Вселенной структур достаточно стабильных, таких, например, как Солнечная система. При этом была бы исключена возможность появления в их структурах живого вещества. Этот парадокс, именуемый принципом антропности, заставляет совсем по-другому увидеть роль живого вещества в формировании миросоздания. “Мир таков потому, что мы есть”, говорят его исследователи. В наши дни установлено [157], что различные “осмысленные” комбинации мировых констант (скорости света, постоянной Планка, массы протона, радиуса Вселенной и др.) приводят к безразмерному соотношению 1040 для всех основных физических параметров без исключения: расстояний, зарядов, масс и времен! Известно также, что числа e, i, p, 2 в различных сочетаниях входят в основные уравнения физики. Ситуация такова, что природа словно “благоволит” к этим числам, равнодушно “отвергая” остальные. Появление в физике каких-либо чисел является, конечно, неизбежным следствием применения в ней аппарата чистой математики в качестве универсального средства для количественного описания явлений природы. Однако, “весь вопрос, - как пишет Г.Б.Аракелян, - ...в том, почему при описании наиболее фундаментальных закономерностей появляются именно эти, а не другие числа?” [4, c. 133]. В настоящее время можно сказать, что и среди специалистов-теоретиков, занимающихся живыми системами, интерес к особым числам и безразмерным отношениям (в особенности, к золотому сечению) несомненно возрастает. В связи с этим можно отметить ряд публикаций за последние десятилетия [36, 57, 73, 103, 111, 119, 121, 133, 152, 230, 244, 266-268 и др]. Однако, несмотря на растущее количество публикаций, для большинства биологов особые числа и связанные с ними проблемы организации живого вещества все еще остаются на заднем плане как нечто второстепенное и мистическое.

Современная философия и методология науки в целом очень высоко оценивает деятельность Пифагора и его последователей, их вклад в развитие человеческого познания [37]. Пифагор был неправ, когда отождествлял мир вещей и чисел, однако он сумел нащупать в мире вещей мир чисел, т.е. нечто фундаментальное и до сих пор - загадочное. Положение Пифагора о том, что числа правят миром, сегодня следовало бы принимать как существование “безразмерных” математических структур, воплощенных в организации реально наблюдаемых наукой объектов и явлений. В этой связи становится крайне желательным философско- математическое исследование связей мира чисел с окружающим нас миром живой и неживой природы. Cо времен Пифагора симметрия была для людей реальным выражением объектов и явлений природы, а не абстрактным, отвлеченным понятием. С этим связано стремление выразить проявления симметрии на точном языке математики в виде закономерностей, основанных на безразмерных соотношениях. Такой закономерностью, замечательной во многих отношениях, является пропорция, установленная 2500 лет назад и получившая впоследствии название “золотого сечения”. Эта пропорция имеет непосредственное отношение ко многим творениям природы и деятельности человека. Представление роли “золотой” пропорции в “симметрийной” организации деятельности сердца человека и млекопитающих составляет цель данной книги. По этой причине представляется необходимым рассмотреть, чем интересна эта пропорция и почему она привлекала к себе умы и чувства многих выдающихся мыслителей прошлого и продолжает волновать умы наших современников.