Интуитивная составляющая математических открытий

1. ВВЕДЕНИЕ

Давно известен тезис Канта о синтетическом характере математических истин, о несводимости математики к логике. Представляется целесообразным уточнить это положение, для чего рассмотрим некоторые примеры в историческом аспекте. В истории математики известны теоремы, истинность которых подтверждается всеми известными частными случаями из них, но у которых отсутствует общее доказательство. Понятно, что такие теоремы были сформулированы интуитивно, на основе подсознательного анализа совокупности частных случаев. Прошедшее длительное время и специальное рассмотрение многих частных случаев из них не доказали их ложности. Но являются ли эти теоремы истинными в общем виде? Существует ли вообще их логическое доказательство?

2. ПРОБЛЕМА ГОЛЬДБАХА

Покажем, что у таких теорем существует вообще их логическое доказательство, на примере теоремы теории чисел, получившей в дальнейшем название «проблема Гольдбаха». Эта теорема выдвинута Х.Гольдбахом в 1742 году и лишь в 1937 году И.М.Виноградов доказал ее для достаточно больших нечетных чисел, но в общем виде она оставалась недоказанной.

ТЕОРЕМА. Любое целое положительное число х, большее или равное 6 (х ≥6) можно представить в виде суммы трех простых чисел.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Возможны два случая: х - четное или х - нечетное.

Простыми числами являются «2» и некоторые нечетные числа. Если х - четное, то для х=6 утверждение теоремы проверяется непосредственно: 6=2+2+2. Для х≥8 данное представление будет выражаться в виде х=2+b+с, где b и с – простые нечетные числа (b и с могут быть равны между собой). Докажем это методом математической индукции. Для начального случая х=8 это утверждение верно: 8=2+3+3. Также для начального случая верно представление в виде x=m+n, где m и n - простые нечетные числа: 8=5+3. Предположим, что некоторое четное число можно представить в виде x=2+b+c=m+n, где b, с, m, n - простые нечетные числа (некоторые их них могут быть равны между собой). Тогда x+2=2+b+c+2=2+m+n.

Другими словами, х+2 также можно представить как сумму трех простых чисел: 2, m, n.

Из предположения для некоторого чётного х=2+a+b=m+n, где a,b,m,n-простые нечётные числа (которое справедливо для начального случая х=8) следует (х+2)=m+n+2, т.е. х и (х+2) можно представить по одной и той же схеме (в виде суммы двух простых чисел и 2) - справедливость этого перехода вытекает из возможности двоякого представления для начального случая х=8, а именно х=3+3+2=5+3. А если y=х+2=m+n+2, то y-2=х=m+n, т.е. любое чётное х>6 можно представить в виде суммы двух простых нечётных чисел m и n.

Если n - нечетное, то для х=7 утверждение теоремы проверяется непосредственно: 7=2+2+3. Для х≥ 9 данное представление будет выражаться в виде х=а+b+с, где а, b, с - простые нечетные числа (они могут быть равны между собой). Докажем это методом математической индукции. Для начального случая х=9 это утверждение верно: 9=3+3+3. Предположим, что некоторое нечетное число можно представить в виде х=а+b+с, где а, b, с - простые нечетные числа (некоторые из них могут быть равны между собой). Тогда х+2=2+а+b+с. Так как а и b - нечетные числа, то (а+b+2) - четное число. По доказанному выше, любое четное число можно представить в виде х=2+m+n, где m, n - простые нечетные числа. Тогда любое четное число (х-2) можно представить в виде (x-2)=m+n. Значит (2+a+b)=m+n. Тогда x+2=(2+a+b)+c=m+n+c. Другими словами, (х+2) также можно представить как сумму трех простых чисел: m, n, с. Таким образом, любое целое число х≥6 можно представить в виде суммы трех простых чисел. Теорема доказана.

Учитывая вышеизложенное, формулировку теоремы можно уточнить:

УТОЧНЕНИЕ. Любое четное число х≥6 можно представить как сумму трех простых числе: х=2+b+с, или как сумму двух простых чисел: x=m+n.

3. ТЕОРЕМА ФЕРМА

Если теорема, истинность которой подтверждена исторически, была интуитивно сформулирована автором и не доказана, то значит доказательство существовало у автора на подсознательном уровне, причем с использованием математических средств, существовавших в то время. В качестве примера рассмотрим теорему П. Ферма, которую он сформулировал в 17 веке, но не оставил ее доказательства. Теорема была доказана в общем виде Уэлсом лишь в 1998 году с использованием современных средств математики, не существовавших во времена Ферма. Приведем доказательство этой теоремы с использованием средств математики, которыми мог бы пользоваться Ферма.

ТЕОРЕМА. Уравнение

aⁿ+bⁿ=cⁿ (l)

при n>2 не имеет целых положительных решений.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Будем рассматривать уравнение (1), где а, b, с - любые положительные рациональные числа (они могут быть и целыми, и дробными числами). Рассмотрим уравнение (1) при n=2. Оно принимает вид:

а²+b²=с² (2)

Так как слева стоит сумма положительных чисел, то с>а и с>b. Пусть b+х=с, где х - положительное рациональное число (при условии, что положительные рациональные решения уравнения (2) действительно существуют). Тогда

a²+b²=(b+x)² (3) где

а² = 2bх + х². Разделим обе части уравнения (3) на х². Получим уравнение

где Пусть , Перепишем уравнение (4) с новыми обозначениями:

(5)

где (a₁ и b₁ - положительные рациональные числа). Умножим обе части уравнения (5) на положительное рациональное число к². Получим уравнение

где =2к²b₁ + к². Значит, если положительные рациональные решения уравнения (2) существуют, то они относятся только к серии (6), которая в простейшем случае (при к=1) принимает вид серии (5). Доказательством существования таких решений являются следующие примеры для серии (5): 3² +4² =5², 9² +40² =41², которые при к=2 принимают вид серии (6): 6² +8² =10², 18²+80²=82².

Рассмотрим уравнение (1) при n>2. Пусть n=2+m, где m - любое положительное число. Тогда уравнение (1) принимает вид а^2+т + b^2+т = с^2+т, или (что то же самое)