О разрешимости дробно-линейных
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

 

(перевод Марата Валиева)

 

 

Опишем множество начальных данных в абстрактной задачи Коши для линейных уравнений с дробной производной Капуто и неограниченным линейным замкнутым оператором в банаховом пространстве X.

                          

                              

 

 

для которого соответствующие решения могут быть представлены через функцию оператора Миттаг-Леффлера.

 

 

1.                     Введение

Обыкновенные и частные уравнения дифференциального порядка (с дробными производными Капуто, Римана-Лиувилля) разбудили в последние годы значительный интерес  как в математике, так и в приложениях. В математических трактатах по дробно-дифференциальным уравнениям подход Римана-Лиувилля к понятию дробной производной порядка  обычно используется так:

                               (1)

 

где

                                     (2)

 

 

дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка . Дробная производная Римана-Лиувилля левая обратная (и не правая обратная) к соответствующему дробному интегралу, который является естественным обобщением формулы Коши для й первообразной функции  В формулировании начального значения проблемы для обыкновенных (или задачи Коши для частных) дифференциальных уравнений дробного порядка  с дробными производными в форме Римана-Лиувилля, начальные условия даны в терминах дробных интегралов  С другой стороны, в области моделирования реальных процессов начальные условия, как правило, выражаются через заданное число ограниченных начальных значений, принимаемых переменной  и ее производных целого порядка. В целях удовлетворения физических требований Капуто ввел альтернативное определение дробно-дифференциальной производной. Оно было принято Капуто и Маинарди в рамках теории линейной вязкоупругости:

 

                         (3)

 

 

                                    

В некоторых издания производная Капуто при  была названа регуляризованной  дробной производной порядка .

Используя идеи, связанные с теорией первого и второго порядка абстрактных дифференциальных уравнений, некоторые результаты были получены для абстрактной задачи Коши для дробно-линейного дифференциального уравнения

 

                           (4)

 

 

где линейный неограниченный замкнутый оператор в банаховом пространстве . В статьях [2],[9] были даны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Коши (4) при условии , расширяя условия теоремы Хилле-Йосида от  до . Условие было посчитано в [4]. В статье [10] были получены условия разрешимости при  для абстрактной задачи Коши (4) с дробной производной Римана-Лиувилля вместо  производной Капуто и начальных условий,  данных в терминах дробных интегралов .

Другой, эквивалентный подход к задаче (4) состоит в сужении данной задачи на преобразованное интегральное уравнение вида:

 

                                                       (5)

 

где  скалярное ядро. Общая теория таких уравнений (так же при не скалярном условии, т.е.  и оператор  зависит от   ) была представлена в [18]. Специальное условие для ядра  и дифференциального оператора  первого порядка для  , второго порядка для  в Гильбертовом пространстве было посчитано подробно в [4],[20].  Последняя статья так же содержит исследования численных методов для этой задачи.

Известно, что если  или  ([12]) и оператор  может быть представлен мультипликативной константой, единственное решение задачи Коши (4) для  задается формулой

                                              (6)

 

с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера заданной через

                                                       (7)

 

 

Частные решения  так же могут быть представлены в виде ([6],[12])

                                   

где  -кратный интеграл (заменяя  на  в (2)) и

                                                                              (8)

 

 

классическая функция Миттаг-Леффлера.

Пусть теперь  будет общим банаховым пространством и  будет линейным неограниченным замкнутым оператором на пространстве . Используя методы данные в [1], [16] при , мы опишем начальные условия задачи Коши (4), для которых решения могут быть так же представлены в виде (6). Это описание дано в терминах так называемых пространств Румье, порожденных оператором  и их индуктивными и проективными пределами, пространств Жеврея и Берлинга.

 

 

2. Линейные уравнения дробного порядка.

В условии неограниченного оператора  правая часть отношения (6) не определено на всем Банаховом пространстве . Однако мы можем исследовать условия для  под которыми, зависящий от времени оператор  где

                                             (9)

 

 

                 

 

 

корректно определена. Мы будем называть оператор  данный в (9) так же, как и оператор-функцию Миттаг-Леффлера.

Докажем, что для каждого  формула (9) определяет решение задачи Коши (4). Описание множества начальных значений, для которых задача Коши (4) имеет решение в виде (9), может быть дано в терминах пространств Румье, созданных оператором . (см. [1], [5], [16]).

О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть  линейный неограниченный оператор в Банаховом пространстве  последовательность с , и . Пространство Румье  определим как множество  элементов , таких, что

                                                    

Оснащенное нормой

                                                        (10)

 

 

это пространство – Банахово пространство, непрерывно вложенное в пространство .

Так же мы будем использовать пространства Берлинга и Жеврея

                   

Эти пространства оснащены топологиями индуктивных и проективных пределов, соответственно, локально выпуклых пространств.

Одной из самых важных проблем в теории пространств Румье, Берлинга и Жеврея связанных с абстрактной задачей Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка является проблема плотности этих пространств в пространстве .  Для обзора некоторых результатов в классическом случае см., например, в работе [1]. Надо заметить, что наиважнейшие результаты  в этом направлении были выведены для условий  Мало чего может быть найдено при условии , и оно должно быть еще исследовано.

В этой статье мы будем иметь дело с пространствами Румье с последовательностью которое обозначим как . Связь этих пространств с классическими пространствами Румье  с  дана в следующем простом результате.

 

Л е м м а 2.1. Вложения

                                   

остаются верными для  и для каждого , если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие  очевидно. Для , используя асимптотическую формулу Стирлинга для гамма функции (см. например [15]), мы получим оценку

                                      

с константой , зависящей от . Эта оценка влечет вложения (11) и (12):

                              (11)

                      (12)

Соединяя (11) и (12) мы получим утверждение Леммы 2.1.

Как прямое следствие предыдущей леммы и определения
пространств Берлинга и Жеврея мы получим следующий результат:

 

Л е м м а 2.2. Для пространств Берлинга и Жеврея  образованных семействами множеств Румье  и , соответственно имеют место тождества

                                                          (13)

Опишем множество начальных данных задачи Коши (4) в банаховом
пространстве X, для которых решения могут быть представлены в виде (9). Мы сделаем это в терминах пространства Румье , порожденных оператором А.

 

Т е о р е м а 2.1. Пусть А  линейный неограниченный замкнутый оператор в Банаховом  пространстве Х и .

Если решение (9) задачи Коши (4) существует на отрезке , тогда  для каждого .

Наоборот, если для некоторого , , тогда оператор-функция Миттаг-Леффлера данная в (9) определяет решение задачи Коши (4) на интервале .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция

 

 

 

с фиксированными  будет определена на интервале . Тогда

                        

 

 

 

и, следовательно,

                                 

 

 

 

Используя асимптотическую формулу [15]

          (14)

 

 

 

мы приходим к каждому  в отношении

                                 

 

 

 

                        

 

 

 

которое влечет включение

 

Обратно, пусть  Начиная с  ряды

 

                                      

 

 

 

абсолютны и равномерны на каждом компакте интервала . Следовательно эти ряды для каждого фиксированного  определяют линейный оператор (обозначим его как ) из  в . Если зафиксируем элемент , тогда функция

 

                                    (15)

 

 

 

непрерывна на интервале . Так же мы имеем

 

                                            

 

 

 

Докажем теперь, что .  Действительно, обычным дифференцированием (15) мы получим ряды

 

                                   

 

 

 

                         

 

 

 

которые абсолютны и равномерны на каждом компактном подмножестве интервала  ( в случае ). Следовательно , и  для всех . В случае  мы можем непосредственно проверить, что

 

                                      

 

 

 

Повторяя те же выкладки  раз и используя формулу

 

                                    

 

 

 

мы придем к выражению

                       (16)

 

 

 

                                     

 

 

 

                                              

 

 

 

и включение  Начиная с , все функции  интегрируемы на интервале .

Используя формулу

 

                         

 

 

 

и выражение (16) мы получим

 

                        

 

 

 

                   

 

 

 

С другой стороны, так как оператор  замкнут, мы получим

 

              

 

 

 

Суммируя полученные результаты, мы увидим, что оператор-функция (9) определяет решение задачи Коши (4) на интервале  

С л е д с т в и е 2.1. Утверждение Теоремы 2.1 может быть переписано в терминах пространств Жеврея и Берлинга. А именно, функция оператора Миттаг-Леффлера (9) определяет решение задачи Коши (4)  на подходящем интервале  (на каждом интервале ) тогда и только тогда, когда

 

 

3. Функция оператора Миттаг-Леффлера.

 

Рассмотрим теперь некоторые свойства функции оператора Миттаг-Леффлера  данной в (9).  Для простоты мы ограничимся условием . При этом условии (зафиксируем  как ) (9) переходит в

                                            (17)

 

 

 

Т е о р е м а 3.1. Пусть  линейный неограниченный замкнутый  оператор в Банаховом пространстве

 

Тогда правая сторона отношения (17) определяет, при , непрерывный линейный оператор , действующий из  в  с оценкой нормы

                                                (18)

 

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для  неравенство  остается верным (число  дано в Теореме 3.1). Тогда, основываясь на доказательство Теоремы 2.1,  для  Кроме того, что мы докажем, что оператор  действует из пространства  в пространство   с нормой, оцененной  (18). Мы используем вспомогательное неравенство

   если               (19)

 

 

которое является простым следствием теоремы суммирования Гаусса для гипергеометрических функций  ([15]):

 

                        

 

 

                                                   

 

 

 

 где  означает символ Похгаммера. Докажем (18). Используя неравенство (19), биномиальные ряды

 

                                            

 

 

неравенство (

                                        (20)

 

 

следующее из (10), и некоторые элементарные оценки, получим

 

                        

 

 

              

 

 

                

 

 

                                 

 

 

                       

 

 

З а м е ч а н и е 3.1. В специальном условии  мы имеем  и оценкой нормы (18) в виде

                            

 

которая в соответствии с результатами работы [1]. Если , тогда  для всех фиксированных  с

 

Т е о р е м а 3.2. Пусть  линейный неограниченный замкнутый оператор в Банаховом пространстве  и

Тогда оператор-функция Миттаг-Леффлера  заданная в (17) – непрерывный линейный оператор, действующий из  в  для всех , и

 

                        (21)

 

 

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам понадобятся два вспомогательных неравенства

 

 для всех             (22)

 

и

       для всех                            (23)

 

 

Для доказательства первого неравенства мы заметим, что

 

                   

 

 

 

Используя теорему суммирования Гаусса для гипергеометрических функций , мы получим

 

                                       

 

 

                                                            

 

 

что и доказывает (23). Теперь пусть  и . Используя неравенства (19), (20), (22) (с ) и (23), мы имеем

 

                        

 

 

                         

 

 

               

 

 

                  

 

 

                                             

 

 

                                           

 

 

 

 

Список литературы

 

[1] E. A. B a r k o v a, P. P. Z a b r e j k o, On the solvability of linear

differential equations with unbounded operators in Banach spaces. ZAA 17

(1998), 339-360.

[2] E. B a z h l e k o v a, The abstract Cauchy problem for the fractional

evolution equation. Fractional Calculus & Applied Analysis 1 (1998), 255-

270.

[3] M. C a p u t o, Linear models of dissipation whose Q is almost frequency

independent, Part II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 13 (1967), 529-539.

[4] A. M. A. E l - S a y e d, Fractional order evolution equations. Journal of

Fractional Calculus 7 (1995), 89-100.

[5] I. M. G e l’ f a n d , G. E. S h i l o v, Generalized Functions, Vol. 2: Spaces

of Basic and Generalized Functions. Moscow, Fizmatgiz (1958).

[6] R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Fractional calculus: integral and

differential equations of fractional order. In: Fractals and fractional calculus

in continuum mechanics (Eds. A. Carpinteri and F. Mainardi). Wien and

New York, Springer Verlag (1997), 223-276.

[7] R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Random walk models for space-fractional

diffusion processes. Fractional Calculus and Applied Analysis 1 (1998), 167-

191.

[8] V. K i r y a k o v a, Generalized Fractional Calculus and Applications,

Pitman Research Notes in Math., Vol. 301. Harlow, Longman (1994).

[9] A. N. K o c h u b e i, A Cauchy problemfor evolution equations of fractional

order. Differ. Equations 25 (1989), 967-974.

[10] V. A. K o s t i n, The Cauchy problem for an abstract differential equations

with fractional derivatives. Russian Acad. Sci. Dokl. Math. 46 2 (1993), 316-

319.

[11] Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, Scale-invariant solutions of a partial differential

equation of fractional order. Fractional Calculus & Applied Analysis 1

1 (1998), 49-63.

[12] Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, An operational method for solving fractional

differential equations with the Caputo derivatives. Acta Mathematica

Vietnamica, to appear.

[13] Yu. F. L u c h k o, H. M. S r i v a s t a v a, The exact solution of certain

differential equations of fractional order by using operational calculus.

Comput. Math. Appl. 29 (1995), 73-85.

[14] F. M a i n a r d i, Fractional calculus: some basic problems in continuum

and statistical mechanics. In: Fractals and Fractional Calculus in Continuum

Mechanics (Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi). Wien and New York, Springer

Verlag (1997), 291-348.

[15] O. I. M a r i c h e v, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental

Functions, Theory and Algorithmic Tables. Chichester, Ellis Horwood

(1983).

[16] V. I. N a z a r o v, Solvability of linear differential equations in scales of

Roumieu spaces defined by a linear unbounded operator. Diff. Uravn. 26

(1990), 1598-1608.

[17] I. P o d l u b n y, Fractional Differential Equations, Mathematics in science

and engineering, Vol. 198. New York, Academic Press (1999).

[18] J. P r ¨u s s, Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel,

Birkh¨auser (1993).

[19] S. G. S a m k o, A. A. K i l b a s and O. I. M a r i c h e v, Fractional

Integrals and Derivatives: Theory and Applications. New York, London, and

Paris, Gordon and Breach (1993).

[20] G. W i t t e, Die analytische und die numerische Behandlung einer Klasse

von Volterraschen Integralgleichungen im Hilbertraum. Berlin, Logos Verlag

(1997).

 


Рейтинг@Mail.ru