О разрешимости дробно-линейных
дифференциальных уравнений в банаховых пространствах.

(перевод Марата Валиева)

Опишем множество начальных данных в абстрактной задачи Коши для линейных уравнений с дробной производной Капуто и неограниченным линейным замкнутым оператором в банаховом пространстве X.

для которого соответствующие решения могут быть представлены через функцию оператора Миттаг-Леффлера.

1. Введение

Обыкновенные и частные уравнения дифференциального порядка (с дробными производными Капуто, Римана-Лиувилля) разбудили в последние годы значительный интерес как в математике, так и в приложениях. В математических трактатах по дробно-дифференциальным уравнениям подход Римана-Лиувилля к понятию дробной производной порядка обычно используется так:

(1)

где

(2)

дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка . Дробная производная Римана-Лиувилля левая обратная (и не правая обратная) к соответствующему дробному интегралу, который является естественным обобщением формулы Коши для й первообразной функции В формулировании начального значения проблемы для обыкновенных (или задачи Коши для частных) дифференциальных уравнений дробного порядка с дробными производными в форме Римана-Лиувилля, начальные условия даны в терминах дробных интегралов С другой стороны, в области моделирования реальных процессов начальные условия, как правило, выражаются через заданное число ограниченных начальных значений, принимаемых переменной и ее производных целого порядка. В целях удовлетворения физических требований Капуто ввел альтернативное определение дробно-дифференциальной производной. Оно было принято Капуто и Маинарди в рамках теории линейной вязкоупругости:

(3)

В некоторых издания производная Капуто при была названа регуляризованной дробной производной порядка .

Используя идеи, связанные с теорией первого и второго порядка абстрактных дифференциальных уравнений, некоторые результаты были получены для абстрактной задачи Коши для дробно-линейного дифференциального уравнения

(4)

где линейный неограниченный замкнутый оператор в банаховом пространстве . В статьях [2],[9] были даны необходимые и достаточные условия разрешимости задачи Коши (4) при условии , расширяя условия теоремы Хилле-Йосида от до . Условие было посчитано в [4]. В статье [10] были получены условия разрешимости при для абстрактной задачи Коши (4) с дробной производной Римана-Лиувилля вместо производной Капуто и начальных условий, данных в терминах дробных интегралов .

Другой, эквивалентный подход к задаче (4) состоит в сужении данной задачи на преобразованное интегральное уравнение вида:

(5)

где скалярное ядро. Общая теория таких уравнений (так же при не скалярном условии, т.е. и оператор зависит от ) была представлена в [18]. Специальное условие для ядра и дифференциального оператора первого порядка для , второго порядка для в Гильбертовом пространстве было посчитано подробно в [4],[20]. Последняя статья так же содержит исследования численных методов для этой задачи.

Известно, что если или ([12]) и оператор может быть представлен мультипликативной константой, единственное решение задачи Коши (4) для задается формулой

(6)

с обобщенной функцией Миттаг-Леффлера заданной через

(7)

Частные решения так же могут быть представлены в виде ([6],[12])

где -кратный интеграл (заменяя на в (2)) и

(8)

классическая функция Миттаг-Леффлера.

Пусть теперь будет общим банаховым пространством и будет линейным неограниченным замкнутым оператором на пространстве . Используя методы данные в [1], [16] при , мы опишем начальные условия задачи Коши (4), для которых решения могут быть так же представлены в виде (6). Это описание дано в терминах так называемых пространств Румье, порожденных оператором и их индуктивными и проективными пределами, пространств Жеврея и Берлинга.

2. Линейные уравнения дробного порядка.

В условии неограниченного оператора правая часть отношения (6) не определено на всем Банаховом пространстве . Однако мы можем исследовать условия для под которыми, зависящий от времени оператор где

(9)

корректно определена. Мы будем называть оператор данный в (9) так же, как и оператор-функцию Миттаг-Леффлера.

Докажем, что для каждого формула (9) определяет решение задачи Коши (4). Описание множества начальных значений, для которых задача Коши (4) имеет решение в виде (9), может быть дано в терминах пространств Румье, созданных оператором . (см. [1], [5], [16]).

О п р е д е л е н и е 2.1. Пусть линейный неограниченный оператор в Банаховом пространстве последовательность с , и . Пространство Румье определим как множество элементов , таких, что

Оснащенное нормой

(10)

это пространство – Банахово пространство, непрерывно вложенное в пространство .

Так же мы будем использовать пространства Берлинга и Жеврея

Эти пространства оснащены топологиями индуктивных и проективных пределов, соответственно, локально выпуклых пространств.

Одной из самых важных проблем в теории пространств Румье, Берлинга и Жеврея связанных с абстрактной задачей Коши для дифференциальных уравнений дробного порядка является проблема плотности этих пространств в пространстве . Для обзора некоторых результатов в классическом случае см., например, в работе [1]. Надо заметить, что наиважнейшие результаты в этом направлении были выведены для условий Мало чего может быть найдено при условии , и оно должно быть еще исследовано.

В этой статье мы будем иметь дело с пространствами Румье с последовательностью которое обозначим как . Связь этих пространств с классическими пространствами Румье с дана в следующем простом результате.

Л е м м а 2.1. Вложения

остаются верными для и для каждого , если .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Условие очевидно. Для , используя асимптотическую формулу Стирлинга для гамма функции (см. например [15]), мы получим оценку

с константой , зависящей от . Эта оценка влечет вложения (11) и (12):

(11)

(12)

Соединяя (11) и (12) мы получим утверждение Леммы 2.1.

Как прямое следствие предыдущей леммы и определения
пространств Берлинга и Жеврея мы получим следующий результат:

Л е м м а 2.2. Для пространств Берлинга и Жеврея образованных семействами множеств Румье и , соответственно имеют место тождества

(13)

Опишем множество начальных данных задачи Коши (4) в банаховом
пространстве X, для которых решения могут быть представлены в виде (9). Мы сделаем это в терминах пространства Румье , порожденных оператором А.

Т е о р е м а 2.1. Пусть А – линейный неограниченный замкнутый оператор в Банаховом пространстве Х и .

Если решение (9) задачи Коши (4) существует на отрезке , тогда для каждого .

Наоборот, если для некоторого , , тогда оператор-функция Миттаг-Леффлера данная в (9) определяет решение задачи Коши (4) на интервале .

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть функция

с фиксированными будет определена на интервале . Тогда

и, следовательно,

Используя асимптотическую формулу [15]

(14)

мы приходим к каждому в отношении

которое влечет включение

Обратно, пусть Начиная с ряды

абсолютны и равномерны на каждом компакте интервала . Следовательно эти ряды для каждого фиксированного определяют линейный оператор (обозначим его как ) из в . Если зафиксируем элемент , тогда функция

(15)

непрерывна на интервале . Так же мы имеем

Докажем теперь, что . Действительно, обычным дифференцированием (15) мы получим ряды

которые абсолютны и равномерны на каждом компактном подмножестве интервала ( в случае ). Следовательно , и для всех . В случае мы можем непосредственно проверить, что

Повторяя те же выкладки раз и используя формулу

мы придем к выражению

(16)

и включение Начиная с , все функции интегрируемы на интервале .

Используя формулу

и выражение (16) мы получим

С другой стороны, так как оператор замкнут, мы получим

Суммируя полученные результаты, мы увидим, что оператор-функция (9) определяет решение задачи Коши (4) на интервале

С л е д с т в и е 2.1. Утверждение Теоремы 2.1 может быть переписано в терминах пространств Жеврея и Берлинга. А именно, функция оператора Миттаг-Леффлера (9) определяет решение задачи Коши (4) на подходящем интервале (на каждом интервале ) тогда и только тогда, когда

3. Функция оператора Миттаг-Леффлера.

Рассмотрим теперь некоторые свойства функции оператора Миттаг-Леффлера данной в (9). Для простоты мы ограничимся условием . При этом условии (зафиксируем как ) (9) переходит в

(17)

Т е о р е м а 3.1. Пусть линейный неограниченный замкнутый оператор в Банаховом пространстве

Тогда правая сторона отношения (17) определяет, при , непрерывный линейный оператор , действующий из в с оценкой нормы

(18)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для неравенство остается верным (число дано в Теореме 3.1). Тогда, основываясь на доказательство Теоремы 2.1, для Кроме того, что мы докажем, что оператор действует из пространства в пространство с нормой, оцененной (18). Мы используем вспомогательное неравенство

если (19)

которое является простым следствием теоремы суммирования Гаусса для гипергеометрических функций ([15]):

где означает символ Похгаммера. Докажем (18). Используя неравенство (19), биномиальные ряды

неравенство (

(20)

следующее из (10), и некоторые элементарные оценки, получим

З а м е ч а н и е 3.1. В специальном условии мы имеем и оценкой нормы (18) в виде

которая в соответствии с результатами работы [1]. Если , тогда для всех фиксированных с

Т е о р е м а 3.2. Пусть линейный неограниченный замкнутый оператор в Банаховом пространстве и

Тогда оператор-функция Миттаг-Леффлера заданная в (17) – непрерывный линейный оператор, действующий из в для всех , и

(21)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Нам понадобятся два вспомогательных неравенства

для всех (22)

и

для всех (23)

Для доказательства первого неравенства мы заметим, что

Используя теорему суммирования Гаусса для гипергеометрических функций , мы получим

что и доказывает (23). Теперь пусть и . Используя неравенства (19), (20), (22) (с ) и (23), мы имеем

Список литературы

[1] E. A. B a r k o v a, P. P. Z a b r e j k o, On the solvability of linear

differential equations with unbounded operators in Banach spaces. ZAA 17

(1998), 339-360.

[2] E. B a z h l e k o v a, The abstract Cauchy problem for the fractional

evolution equation. Fractional Calculus & Applied Analysis 1 (1998), 255-

270.

[3] M. C a p u t o, Linear models of dissipation whose Q is almost frequency

independent, Part II. Geophys. J. R. Astr. Soc. 13 (1967), 529-539.

[4] A. M. A. E l - S a y e d, Fractional order evolution equations. Journal of

Fractional Calculus 7 (1995), 89-100.

[5] I. M. G e l’ f a n d , G. E. S h i l o v, Generalized Functions, Vol. 2: Spaces

of Basic and Generalized Functions. Moscow, Fizmatgiz (1958).

[6] R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Fractional calculus: integral and

differential equations of fractional order. In: Fractals and fractional calculus

in continuum mechanics (Eds. A. Carpinteri and F. Mainardi). Wien and

New York, Springer Verlag (1997), 223-276.

[7] R. G o r e n f l o, F. M a i n a r d i, Random walk models for space-fractional

diffusion processes. Fractional Calculus and Applied Analysis 1 (1998), 167-

191.

[8] V. K i r y a k o v a, Generalized Fractional Calculus and Applications,

Pitman Research Notes in Math., Vol. 301. Harlow, Longman (1994).

[9] A. N. K o c h u b e i, A Cauchy problemfor evolution equations of fractional

order. Differ. Equations 25 (1989), 967-974.

[10] V. A. K o s t i n, The Cauchy problem for an abstract differential equations

with fractional derivatives. Russian Acad. Sci. Dokl. Math. 46 2 (1993), 316-

319.

[11] Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, Scale-invariant solutions of a partial differential

equation of fractional order. Fractional Calculus & Applied Analysis 1

1 (1998), 49-63.

[12] Yu. L u c h k o, R. G o r e n f l o, An operational method for solving fractional

differential equations with the Caputo derivatives. Acta Mathematica

Vietnamica, to appear.

[13] Yu. F. L u c h k o, H. M. S r i v a s t a v a, The exact solution of certain

differential equations of fractional order by using operational calculus.

Comput. Math. Appl. 29 (1995), 73-85.

[14] F. M a i n a r d i, Fractional calculus: some basic problems in continuum

and statistical mechanics. In: Fractals and Fractional Calculus in Continuum

Mechanics (Eds. A. Carpinteri, F. Mainardi). Wien and New York, Springer

Verlag (1997), 291-348.

[15] O. I. M a r i c h e v, Handbook of Integral Transforms of Higher Transcendental

Functions, Theory and Algorithmic Tables. Chichester, Ellis Horwood

(1983).

[16] V. I. N a z a r o v, Solvability of linear differential equations in scales of

Roumieu spaces defined by a linear unbounded operator. Diff. Uravn. 26

(1990), 1598-1608.

[17] I. P o d l u b n y, Fractional Differential Equations, Mathematics in science

and engineering, Vol. 198. New York, Academic Press (1999).

[18] J. P r ¨u s s, Evolutionary Integral Equations and Applications. Basel,

Birkh¨auser (1993).

[19] S. G. S a m k o, A. A. K i l b a s and O. I. M a r i c h e v, Fractional

Integrals and Derivatives: Theory and Applications. New York, London, and

Paris, Gordon and Breach (1993).

[20] G. W i t t e, Die analytische und die numerische Behandlung einer Klasse

von Volterraschen Integralgleichungen im Hilbertraum. Berlin, Logos Verlag

(1997).