Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Введение

### Введение

Многие счётные задачи могут быть решены только с помощью современных вычислительных машин.

Принято выделять следующие основные этапы решения задачи на ЭВМ:

1. Физическая постановка задачи.

2. Математическая постановка задачи. Запись физической задачи в терминах той или иной математической модели.

3. Выбор численного метода для решения поставленной задачи.

4. Реализация метода на том или ином языке программирования или с помощью того или иного пакета решения прикладных задач (Matcad, Matlab, Exel и т.д.).

5. Проведение тестовых расчетов и сравнение с данными эксперимента.

Простая математическая модель – это совокупность алгебраических формул, по которым явно вычисляются искомые величины. Однако чаще всего поведение параметров описывается сложными алгебраическими или дифференциальными уравнениями в частных производных. Найти решение этих сложных задач можно только с использованием современных быстродействующих ЭВМ.

Даже для того, чтобы воспользоваться стандартной, т.е. уже готовой программой, нужно иметь представление о существующих методах решения, их преимуществах, недостатках и особенностях использования.

Все методы решения уравнений можно разделить на два класса: точные и приближённые. В точных методах решение получают в виде формул за конечное число операций, однако их можно использовать только для решения уравнений специального вида. В общем случае задачу можно решить только приближенно. Приближенные методы позволяют получить решение в виде бесконечной последовательности, сходящейся к точному решению.

Использование ЭВМ выдвигает дополнительные требования к алгоритму нахождения как точного, так и приближенного решения: он должен быть устойчивым, реализуемым и экономичным. Устойчивость означает, что малые погрешности, внесенные в процесс решения, не приводят к большим ошибкам в конечном результате. Погрешности возникают из–за неточного задания исходных данных (неустранимые ошибки), из–за округления чисел, которое всегда имеет место при расчетах на ЭВМ, а также связаны с точностью используемого метода. Реализуемость алгоритма означает, что решение может быть получено за допустимое время. При этом надо иметь в виду, что время приближенного решения зависит от точности, с которой мы хотим получить решение. На практике точность выбирают с учетом реализуемости алгоритма на той ЭВМ, которую предполагается использовать для решения. Экономичным называется алгоритм, который позволяет получить решение с заданной точностью за минимальное количество операций, и следовательно, за минимальное расчетное время.

В изучаемом курсе мы познакомимся с основными методами, используемыми для решения различных математических задач.