Pers.narod.ru. Обучение. Лекции по численным методам. Примеры решения экзаменационных задач

### Примеры решения экзаменационных задач

1. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом деления отрезка пополам с точностью 0.05. Интервал изоляции (-4, -3.8)

Проверим, что данный отрезок – интервал изоляции: f(-4)=-3, f(-3.8)=2.768.

Следовательно,

Данный отрезок является интервалом изоляции.

Расчеты

k | a | b | c | f(c) | f(a) | b-a
0 | -4 | -3.8 | -3.9 | -3 | -0.009 | 0.2
1 | -3.9 | -3.8 | -3.85 | -0.009 | 1.405875 | 0.1
2 | -3.9 | -3.85 | -3.875 | -0.009 | 0.705078 | 0.05
3 | -3.9 | -3.875 | -3.8875 | -0.009 | 0.349705 | 0.025

Расчетные формулы:

Ответ: x=-3.8875

2. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом простой итерации с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).

Аналогично доказываем, что интервал является интервалом изоляции.

f(-5)=-46, f(-3)=18

Расчетные формулы:

k | x | f(x) | точность
0 | -4 | -3 |
1 | -3.91 | -0.29837 | 0.09
2 | -3.90105 | -0.03925 | 0.008951
3 | -3.89987 | -0.00529 | 0.001178
4 | -3.89971 | -0.00072 | 0.000159

Ответ: X=-3.8997

3. Получить решение уравнения f(x)=x3+x2-9x+9=0 методом Ньютона с точностью 0.001. Интервал изоляции (-5, -3).

Расчетные формулы:

f(-5)= -46, f//(-5)=6*(-5)+2=-28

Следовательно,

k | x | f(x) | f'(x) | точность
0 | -5 | -46 | 56 |
1 | -4.17857 | -8.89217 | 35.02423 | 0.821429
2 | -3.92469 | -0.72721 | 29.36009 | 0.253886
3 | -3.89992 | -0.00659 | 28.82821 | 0.024769
4 | -3.89969 | -5.6E-07 | 28.82332 | 0.000229

Ответ: x=-3.89969

4. Решить систему линейных уравнений методом простой итерации с точностью 0.05:

Проверим условие диагонального преобладания:

Разрешим систему уравнений относительно xi

k | x1 | x2 | x3 | точность
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | -0.3333333 | -0.125 | -1 | 1
2 | -0.0138889 | -0.33333 | -1.07639 | 0.319444
3 | -0.0115741 | -0.26302 | -1.05787 | 0.070313
4 | -0.0099344 | -0.26013 | -1.04577 | 0.012105

5. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса–Зейделя с точностью 0.05:

Аналогично проверяем условие диагонального преобладания.

Разрешим систему уравнений относительно xi

k | x1 | x2 | x3 | точность
0 | 0 | 0 | 0 |
1 | -0.3333333 | -0.20833 | -1.09028 | 1.090278
2 | 0.0069444 | -0.25955 | -1.0421 | 0.340278
3 | -0.0148052 | -0.25896 | -1.04563 | 0.02175

6. Для таблично заданной функции:

x | -2 | 1 | 1.5 | 2
f | 0.1 | -0.2 | 0.5 | 1.2

вычислить значение функции в точке z=1.2, используя формулы линейной интерполяции.

Определяем интервал, которому принадлежит z: [1,1.5].

Расчетные формулы:

f(z)=-0.2+(0.5+0.2)/(1.5-1)*(1.2-1)= 0.2375.

7. Для таблично заданной функции:

x | -2 | 1 | 1.5 | 2
f | 0.1 | -0.2 | 0.5 | 1.2

выписать базисные полиномы и вычислить значение полинома Лагранжа в точке z=1.2.

n=3.

8. Вычислить интеграл методом трапеций для функции, заданной таблично:

X | -1 | -0.5 | 0 | 1
f | 2 | 3 | 4 | 4.5

В данном задании x меняется с постоянным шагом 0.5

Формула трапеций:

Если шаг не постоянный, например:

X | -1 | -0.6 | 0 | 0.8
f | 2 | 3 | 4 | 4.5

то надо пользоваться общей формулой трапеций:

Аналогично для формул левых и правых прямоугольников:

9. Метод наименьших квадратов.

Z | Z1 | Z2 | ... | Zn
y | Y1 | Y2 | ... | Yn