Другие статьи

---

Комментарии к специальной теории относительности

Кочетков Виктор Николаевич,

главный специалист ФГУП «Центр эксплуатации

объектов наземной космической инфраструктуры»

(ФГУП «ЦЭНКИ»)

В данной статье делается попытка установить, являются ли в специальной теории относительности преобразования Лоренца единственно возможной связью между координатами и временем в инерциальных системах отсчета, а также соответствуют ли выводы специальной теории относительности требованиям, накладываемым условием симметрии пространства и времени.

1. Введение

В настоящее время в журналах и Интернете публикуется большое количество статей, посвященных критике специальной теории относительности. Складывается впечатление, что только ленивый ее не критикует.

В тоже время не удается увидеть ни одной статьи, защищающей специальную теорию относительности. Возможно, ее защитники считают ниже своего достоинства вступать в полемику с критиками или они забыли, в чем же она заключается.

Также можно отметить, что критические замечания в отношении специальной теории относительности в основном состоят из описания логического несоответствия ее выводов реальному представлению пространства и времени.

Но ведь специальная теория относительности – это идеализированная математическая модель, построенная в рамках определенных условий, и поэтому результаты ее не могут быть в обязательном порядке распространены вне рамок, установленных для нее условий.

По-моему, если уж и критиковать специальную теорию относительности, то критику надо было бы начать с ее математической модели.

Может, было бы полезно еще раз рассмотреть математическую модель специальной теории относительности, а выводы ее проверить на выполнение условий, закладываемых при ее создании.

1.1. Краткая история создания специальной теории относительности

На рубеже XIX-XX веков стараниями крупнейших физиков мира была создана специальная теория относительности.

В конце XIX столетия между двумя важнейшими разделами физики - механикой и электродинамикой - возникли серьезные противоречия.

В механике утвердился принцип относительности Галилея - полное равноправие систем отсчета, движущихся относительно друг друга прямолинейно и равномерно.

В электродинамике основополагающее место заняла идея эфира - среды, заполняющей мировое пространство, и в которой происходят все физические процессы, в т.ч. электромагнитные колебания. При этом движение частиц и поля следовало описывать в координатах, жестко связанных с эфиром - абсолютной системой отсчета.

В 1881, 1886÷1887 годах А. Майкельсону и Э. Моли в ходе экспериментов не удалось зарегистрировать "эфирный ветер". В результате эфирная теория света, казалось бы надежно подтвержденная опытами, не согласовывалась с классической механикой.

В 1889 году ирландский физик Д. Фицджеральд предложил принять, что при движении тела со скоростью V относительно эфира его продольный размер l´ испытывает сокращение по закону:

l´ = l · [1 – (V² / c²)]^1/2 ( 1 )

где: c - скорость света,

l - длина неподвижного в отношении эфира тела.

В 1892 году нидерландский физик Х. Лоренц дополнил гипотезу Д. Фицджеральда идеей "местного" времени t´, связанного с "истинным" универсальным временем t преобразованием:

t´ = t – [(x · v) / c²] ( 2 )

где: v - скорость движения тела при прохождении точки пространства с координатой x.

Также Х. Лоренц видоизменил преобразования Галилея на случай больших скоростей:

x₁ = β · ( x₂ – V · t₂ ) ( 3 )

y₁ = y₂ ( 4 )

z₁ = z₂ ( 5 )

t₁ = β · { t₂ – [(x · V) / c²]} ( 6 )

путем введения "релятивистского" множителя β :

β = 1 / {[1 – (V² / c²)]^1/2} ( 7 )

Формулы (3)÷(6) перехода между инерциальными системами отсчета получили наименование "преобразования Лоренца".

Еще в 1881 году английский физик Д. Томсон предположил, что масса М тела, движущегося со скоростью v, будет больше, чем масса М_о в состоянии покоя, причем величина М равна:

М = М_о / {[1 – (v² / c²)]^1/2} ( 8 )

1.2. Специальная теория относительности

В 1905 году А. Эйнштейн взял за основу фундаментальные принципы, в сжатом виде передающие суть двух классических физических теорий: из механики - принцип равноправия всех инерциальных систем отсчета (принцип относительности), из электродинамики - принцип постоянства скорости света.

Принцип относительности: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково, т.е. физические законы независимы (инвариантны) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета - уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

Принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света, т.е. скорость света одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.

Используя принцип относительности и принцип постоянства скорости света, А. Эйнштейн вывел преобразования Лоренца, однако придал им иной физический смысл:

x₁ = [x₂ + (V · t₂)] / [1 – (V² / c²)]^1/2 ( 9 )

x₂ = [x₁ – (V · t₁)] / [1 – (V² / c²)]^1/2 ( 10 )

y₁ = y₂ ( 11 )

z₁ = z₂ ( 12 )

где: x₁, y₁, z₁ – координаты точки А в момент времени t₁ в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁;

x₂, y₂, z₂ – координаты точки А в момент времени t₂ в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ (как показано на рис. 1).

t₁ = {t₂ + [( V · x₂) / c²]} / [(1 – V²/ c²)^1/2] ( 13 )

t₂ = {t₁ – [( V · x₁) / c²]}/ [(1 – V² / c²)^1/2] ( 14 )

Исходя из формул (9)÷(14), связь между проекциями v_x2, v_y2 и v_z2 скорости движения точки А в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ на оси декартовых координат и аналогичными проекциями v_x1, v_y1 и v_z1 скорости той же точки А в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ определена в виде:

v_x1 = (v_x2 + V) / {1 + [(V · v_x2)/ c²)]} ( 15 )

v_x2 = (v_x1 – V) / {1 – [(V · v_x1)/ c²)]} ( 16 )

v_y1 = {v_y2 · [1 – (V² / c²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2)/ c²)]} ( 17 )

v_y2 = {v_y1 · [1 – (V² / c²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1)/ c²)]} ( 18 )

v_z1 = {v_z2 · [1 – (V² / c²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2)/ c²)]} ( 19 )

v_z2 = {v_z1 · [1 – (V² / c²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1)/ c²)]} ( 20 )

В специальной теории относительности зависимости массы М(V) , импульса Р(V) и кинетической энергии Е_к(V) материальной точки, движущейся со скоростью V, выражаются формулами:

М(V) = М_о / [1 – (V² / c²)]^1/2 ( 21 )

Р(V) = ( М_о · V ) / [1 – (V² / c²)]^1/2 ( 22 )

Е_к(V) = М_о · c² · {{1 / [1 + (V² / c²)]^1/2} – 1} ( 23 )

где: М_о - масса этой материальной точки в состоянии покоя.

В заключение можно отметить, что специальная теория относительности была создана в первую очередь для объяснения результатов экспериментов (А. Майкельсона и др.), приведших к рассмотрению вопроса о постоянстве скорости света (а точнее к объяснению постоянства скорости света).

2. Кинематика

2.1. "Специальная теория относительности в общем виде"

Чтобы не путаться в наименованиях, предполагаемую ниже идею назовем "специальная теория относительности в общем виде".

Предположим, что пространство однородно и изотропно, а время однородно (т.е. имеется симметрия пространства и времени).

При рассмотрении будем использовать принцип относительности: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково.

В связи с отсутствием необходимости не будем применять принцип инвариантности скорости света (т.е. применим менее жесткие условия).

Предположим, что имеются две инерциальные системы отсчета: неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂, изображенные на рис. 1 и у которых:

- сходные оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁ и O₂x₂y₂z₂ попарно параллельны и одинаково направлены;

- система O₂x₂y₂z₂ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁ с постоянной скоростью V₂ относительно оси Ox₁;

- в качестве начала отсчета времени (t₁=0 и t₂=0) в обеих системах выбран тот момент, когда начала координат O₁ и O₂ этих систем совпадают.

Исходя из симметрии пространства и времени (однородности и изотропности пространства и однородности времени), соотношения между координатами и временем одного и того же события в двух инерциальных системах отсчета неподвижной O₁x₁y₁z₁ и подвижной O₂x₂y₂z₂ могут быть записаны следующим образом:

x₁ = β₁ · ( x₂ + V₁ · t₂ ) ( 24 )

x₂ = β₂ · ( x₁ + V₂ · t₁ ) ( 25 )

y₁ = β₃ · y₂ ( 26 )

y₂ = β₄ · y₁ ( 27 )

z₁ = β₅ · z₂ ( 28 )

z₂ = β₆ · z₁ ( 29 )

где: x₁, y₁, z₁ и x₂, y₂, z₂ – координаты точки А в системах отсчета O₁x₁y₁z₁ и O₂x₂y₂z₂,соответственно;

t₁ и t₂ - значения времени в системах отсчета O₁x₁y₁z₁ и O₂x₂y₂z₂, соответственно;

β₁, β₂, β₃, β₄, β₅ и β₆ - коэффициенты перехода;

V₁ - скорость движения системы O₁x₁y₁z₁ относительно системы O₂x₂y₂z₂.

y₁

t₂

О₂

x₁

x₂

V

y₂

· А

О₁ ≡ О₂

x₁

x₂

V

y₂

y₁

· А

t₁

t₁ = t₂ = 0

О₁

Рис. 1

Использование принципа относительности и симметрии пространства и времени позволяет получить:

V₁ = – V₂ = V ( 30 )

β₁ = β₂ = β ( 31 )

β₃ = β₄ = 1 ( 32 )

β₅ = β₆ = 1 ( 33 )

При этом система уравнений (24)÷(29) упростится и примет вид:

x₁ = β · ( x₂ + V · t₂ ) ( 34 )

x₂ = β · ( x₁ – V · t₁ ) ( 35 )

y₁ = y₂ ( 36 )

z₁ = z₂ ( 37 )

Причем коэффициент перехода β не зависит от значений координат x₁, y₁, z₁, x₂, y₂, z₂ и времени t₁ и t₂, а предположительно может являться функцией скорости V перемещения систем отсчета O₁x₁y₁z₁ и O₂x₂y₂z₂ относительно друг друга.

Из формул (34) и (35) можно записать зависимость для значений времен t₁ и t₂ :

t₁ = {[(β² – 1) · x₂] / (β · V)} + (β · t₂) ( 38 )

t₂ = {[(1 – β² ) · x₁] / (β · V)} + (β · t₁) ( 39 )

Про коэффициент перехода β в формулах (34) и (35) можно сказать следующее:

- исходя из принципа относительности, симметрии пространства и времени коэффициент перехода β может быть только действительной величиной;

- коэффициент перехода β будет равен 1 при V = 0 (граничное условие);

- коэффициент перехода β будет равен 1, если коэффициент перехода β не будет зависеть от величины скорости V;

- при принятом направлении оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁ и O₂x₂y₂z₂ коэффициент перехода β будет больше 0 , так как отрицательные значения коэффициент перехода β будет иметь при разной направленности осей O₁x₁ и O₂x₂;

- при значении коэффициента перехода β > 1 линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, уменьшается в направлении движения и ход времени часов, движущихся относительно инерциальной системы отсчета, замедляется;

- при значении коэффициента перехода 0 < β < 1 линейный размер тела, движущегося относительно инерциальной системы отсчета, увеличивается в направлении движения и ход времени часов, движущихся относительно инерциальной системы отсчета, ускоряется;

- принцип относительности и симметрия пространства и времени определяют также, что в случае зависимости коэффициента перехода β от величины скорости V величина коэффициента перехода β однозначно зависит от величины скорости V (т.е. одному конкретному значению скорости V может соответствовать только одно конкретное значение коэффициента перехода β).

Формулы (24)÷(29) однозначно определяют связь между координатами x₁, y₁ и z₁ точки А и временем t₁ в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁ и координатами x₂, y₂ и z₂ этой же точки А и временем t₂ в подвижной системе O₂x₂y₂z₂.

Используя формулы (24)÷(39), можно получить однозначную связь между проекциями v_x2, v_y2 и v_z2 скорости движения точки А в подвижной системе O₂x₂y₂z₂ на оси декартовых координат и аналогичными проекциями v_x1, v_y1 и v_z1 скорости этой точки А в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁ :

v_x1 = (v_x2 + V) / {{[(β² – 1) · v_x2] / (β² · V)} + 1} ( 40 )

v_x2 = (v_x1 – V) / {{[(1 – β²) · v_x1] / (β² · V)} + 1} ( 41 )

v_y1 = v_y2 / {{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β} ( 42 )

v_y2 = v_y1 / {{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β} ( 43 )

v_z1 = v_z2 / {{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β} ( 44 )

v_z2 = v_z1 / {{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β} ( 45 )

Рассматривая формулу (40) для случая, когда коэффициент перехода β > 1 при действительных значениях V, v_x1, v_x2, можно отметить, что:

- при положительных значениях v_x2:

v_x1 ≤ (v_x2 + V) ( 46 )

- при отрицательных значениях v_x2:

v_x1 ≥ (v_x2 + V) ( 47 )

Неравенства (46) и (47) не исключают, что при β > 1 возможно существование такого действительного значения скорости v_x1 движения точки в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которое было бы равно значению скорости v_x2 движения этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Исследуя формулу (40) для случая, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 при действительных значениях V, v_x1, v_x2, можно отметить, что:

- при положительных значениях v_x2:

v_x1 ≥ (v_x2 + V) ( 48 )

или при V ≠ 0 : v_x1 > v_x2 ( 49 )

- при отрицательных значениях v_x2:

v_x1 ≤ (v_x2 + V) ( 50 )

Неравенства (48)÷(50) показывают, что при 0 < β < 1 не может существовать такое действительное значение скорости v_x1 движения точки в неподвижной инерциальной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которое было бы равно значению скорости v_x2 движения этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета O₂x₂y₂z₂.

Из формул (38)÷(45) может быть получена однозначная связь между проекциями a_x2, a_y2 и a_z2 ускорения точки А в подвижной системе O₂x₂y₂z₂ на оси декартовых координат и аналогичными проекциями a_x1, a_y1 и a_z1 ускорения этой точки А в неподвижной системе O₁x₁y₁z₁ :

a_x1 = (a_x2 · β^-3) / {{[(β² – 1) · v_x2] / (β² · V)} + 1}³ ( 51 )

a_x2 = (a_x1 · β^-3) / {{[(1 – β²) · v_x1] / (β² · V)} + 1}³ ( 52 )

(a_y2 · {{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β}) – {[(β² – 1) · v_y2 · a_x2] / (β · V)}

a_y1 = ———————————————————————————– ( 53 )

{{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β}³

(a_y1 · {{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β}) – {[(1 – β²) · v_y1 · a_x1] / (β · V)}

a_y2 = ———————————————————————————– ( 54 )

{{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β}³

(a_z2 · {{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β}) – {[(β² – 1) · v_z2 · a_x2] / (β · V)}

a_z1 = ———————————————————————————– ( 55 )

{{[(β² – 1) · v_x2] / (β · V)} + β}³

(a_z1 · {{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β}) – {[(1 – β²) · v_z1 · a_x1] / (β · V)}

a_z2 = ———————————————————————————– ( 56 )

{{[(1 – β²) · v_x1] / (β · V)} + β}³

2.2. Определение особой скорости

Допустим, что существует такое значение V_xкр проекции v_x1 скорости движения точки А в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁, которому бы соответствовало значение проекции v_x2 скорости движения точки А в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂, равное V_xкр, т.е. когда:

v_x1 = v_x2 = V_xкр ( 57 )

Подставив значение (57) в формулу (40) или (41), получим:

V_xкр² = (β² · V²) / ( β² – 1 ) ( 58 )

Из формулы (58) следует зависимость V_xкр от величины скорости V и коэффициента перехода β для любого возможного значения скорости V:

V_xкр = ± (β · V) / ( β² – 1 )^1/2 ( 59 )

В случае, если коэффициент перехода β имеет значение β ≥ 1 , получим, что V_xкр будет иметь действительное значение (что находится в соответствии с условиями (46) и (47)) и ее для дальнейшего рассмотрения запишем как :

V_xкр = v_xкр1 = ± (β · V) / ( β² – 1 )^1/2 ( 60 )

где: v_xкр1 - действительная величина, имеющая размерность скорости.

А в случае, если коэффициент перехода β имеет значение 0 < β ≤ 1 , получим, что V_xкр будет иметь мнимое значение (что находится в соответствии с условиями (48)÷(50), т.к. скорость движения точки в неподвижной системе отсчета всегда выше скорости этой же точки в подвижной инерциальной системе отсчета при 0 < β ≤ 1) и которую для дальнейшего рассмотрения запишем как :

V_xкр = ί · v_xкр2 = ± (ί · β · V) / (1 – β² )^1/2 ( 61 )

где: v_xкр2 - действительная величина, имеющая размерность скорости,

а ί равно:

ί =( – 1 )^1/2 ( 62 )

Из формулы (58) можно получить зависимость коэффициента перехода β от величины скорости V для любого возможного значения скорости V :

β² = 1 / [1 – (V² / V_xкр²)] ( 63 )

Тогда из формулы (63) с учетом формулы (60) для коэффициента перехода β, имеющего значения β ≥ 1 и который обозначим как β_>, можно записать:

β_> ² = 1 / [1 – (V² / v_xкр1²)] ( 64 )

А из формулы (63) с учетом формулы (61) для коэффициента перехода β, имеющего значения 0<β≤ 1 и который обозначим как β_< , можно записать:

β_< ² = 1 / [1 + (V² / v_xкр2²)] ( 65 )

2.3. Уравнение связи для коэффициентов перехода

Рассмотрим три инерциальные системы отсчета: неподвижную O₁x₁y₁z₁ и подвижные O₂x₂y₂z₂ и O₃x₃y₃z₃, показанные на рис. 2 и у которых:

- сходные оси декартовых координат систем O₁x₁y₁z₁ , O₂x₂y₂z₂ и O₃x₃y₃z₃ попарно параллельны и одинаково направлены;

- система O₂x₂y₂z₂ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁ с постоянной скоростью V₂ относительно оси Ox₁ ;

- система O₃x₃y₃z₃ движется относительно системы O₁x₁y₁z₁ с постоянной скоростью V₃ относительно оси Ox₁ ;

- в качестве начала отсчета времени (t₁=0 , t₂=0 и t₃=0) в этих трех системах выбран тот момент, когда их начала координат O₁ , O₂ и O₃ совпадают.

t₃

V₃

t₂

t₁

V₂

y₃

y₂

y₁

О₃

О₂

О₁

x₃

x₂

x₁

t₁ = t₂ = t₃ = 0

V₃

V₂

О₁ ≡ О₂≡ О₃

x₃

x₂

x₁

y₃

y₂

y₁

Рис. 2

Опираясь на формулу (41), можно определить значение скорости V₂₃ движения точки O₃ относительно точки O₂:

V₂₃ = (V₃ – V₂) / {{[(1 – β₂²) · V₃] / (β₂² · V₂)} + 1} ( 66 )

и значение скорости V₃₂ движения точки O₂ относительно точки O₃:

V₃₂ = (V₂ – V₃) / {{[(1 – β₃² ) · V₂] / (β₃² · V₃)} + 1} ( 67 )

где: β₂ и β₃ - коэффициенты перехода для инерциальных систем отсчета, движущихся относительно неподвижной системы отсчета со скоростью V₂ и V₃, соответственно.

Используя принцип относительности, согласно которому точка O₃ будет удаляться относительно точки O₂ со скоростью, равной по абсолютной величине и противоположно направленной скорости, с которой точка O₂ удаляется относительно точки O₃ , т.е.:

V₃₂ = – V₂₃ ( 68 )

Подставив уравнение (68) в формулы (66) и (67), получим:

{[(1 – β₂²) · V₃] / (β₂² · V₂)} + 1 = {[(1 – β₃²) · V₂] / (β₃² · V₃)} + 1 (69 )

Отсюда уравнение для коэффициентов перехода β₂ и β₃ запишется следующим образом:

β₃² = (β₂² · V₂) / [V₃² – (β₂² · V₃) + (β₂² · V₂)] ( 70 )

2.4. Получение зависимости для коэффициента перехода β

Из уравнения (69) можно получить формулу:

(β₂² – 1) / (β₂² · V₂²) = (β₃² – 1 ) / (β₃² · V₃²) ( 71 )

Так как величины коэффициентов перехода β₂ и β₃ не зависят друг от друга, а зависят только от величин скоростей V₂ и V₃, соответственно, и величины скоростей V₂ и V₃ задавались произвольно (также не зависят друг от друга), то можно сказать, что:

(β₂² – 1) / (β₂² · V₂²) = (β₃² – 1 ) / (β₃² · V₃²) = К = Const ( 72 )

т.е. получается в общем виде, что:

(β² – 1) / (β² · V²) = К = Const ( 73 )

где: К - постоянная величина, независящая от величины скорости V (V₂ и V₃) и величины коэффициента перехода β (β₂ и β₃) и имеющая размерность, обратную квадрату скорости.

Как видно из формулы (73), в зависимости от величины константы К коэффициент перехода β может иметь следующие значения:

- при К = 0 коэффициент перехода β будет равен 1,

- если константа К имеет действительное положительное значение, то коэффициент перехода β будет больше или равен 1, т.е. β ≥ 1,

- если константа К имеет действительное отрицательное значение, то коэффициент перехода β будет меньше или равен 1, т.е. 0 < β ≤ 1.

Но так как константа К не зависит от величины скорости V и величины коэффициента перехода β, то для любого конкретного значения величины скорости V получается, что константа К не может быть одновременно величиной положительной величиной и отрицательной, т.е. для всех возможных значений скорости V значения коэффициента перехода β могут находиться только в диапазоне β ≥ 1 или только в диапазоне 0 < β ≤ 1.

Одним словом, β ≥ 1 и 0 < β ≤ 1 являются двумя взаимоисключающими диапазонами коэффициента перехода β, т.е. все значения коэффициента перехода β в зависимости от величины скорости V находятся только в диапазоне β ≥ 1 или в диапазоне 0 < β ≤ 1.

Основная задача заключается в выборе одного из этих двух диапазонов, в котором будет в действительности определяться величина коэффициента перехода β в зависимости от величины скорости V (если β зависит от V).

Из уравнения (73) можно получить формулу для коэффициента перехода β:

β ² = 1 / [1 – (К · V²)] ( 74 )

Если вернуться к формуле (63):

β² = 1 / [1 – (V² / V_xкр²)] ( 63 )

и сравнить ее с формулой (74), то можно отметить, что:

К = 1 / V_xкр² ( 75 )

т.е. V_xкр² будет являться постоянной величиной, не зависящей от значений скорости V и коэффициента перехода β.

Опираясь на формулы (74) и (75), можно сказать, что в случае, когда коэффициент перехода β не равен 1, должна существовать такая величина скорости V_xкр (действительная или мнимая) движения точки, которая была бы инвариантна во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета.

Исходя из формулы (74), в формулах для коэффициента перехода β:

- при β ≥ 1:

β_> ² = 1 / [1 – (V² / v_xкр1²)] ( 64 )

- при 0<β≤ 1:

β_< ² = 1 / [1 + (V² / v_xкр2²)] ( 65 )

величины v_xкр1 и v_xкр2 будут постоянными величинами, не зависящими от величины скорости V и коэффициента перехода β, т.е.:

v_xкр1 = Const ( 76 )

v_xкр2 = Const ( 77 )

Граничное условие (при значении скорости V, равной 0, коэффициент перехода β равен 1) устанавливает, что при стремлении величины скорости V к 0 коэффициент перехода β стремится к 1, а это, согласно формулам (64) и (65), позволяет отметить, что:

v_xкр1 ≠ 0 ( 78 )

v_xкр2 ≠ 0 ( 79 )

А в случае, когда коэффициент перехода β не зависит от величины скорости V (т.е. при значении коэффициента перехода β = Const = 1), то:

v_xкр1 = ∞ ( 80 )

v_xкр2 = ∞ ( 81 )

2.5. Основные кинематические уравнения «специальной теории относительности в общем виде»

Подставив формулу (63) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим следующую систему уравнений:

x₁ = [x₂ + (V · t₂)] / [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 (82 )

x₂ = [x₁ – (V · t_1>)] / [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 (83)

t₁ = {t₂ + [( V · x₂) / V_xкр²]} / [(1 – V²/ V_xкр²)^1/2] (84)

t₂ = {t₁ – [( V · x₁) / V_xкр² ]}/ [(1 – V²/ V_xкр²)^1/2] ( 85 )

v_x1 = (v_x2 + V) / {1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]} ( 86 )

v_x2 = (v_x1 – V) / {1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]} ( 87 )

v_y1 = {v_y2 · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]} ( 88 )

v_y2 = {v_y1 · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]} ( 89 )

v_z1 = {v_z2 · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]} (90)

v_z2 = {v_z1 · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]} (91)

a_x1 = {a_x2 · [1 – (V² / V_xкр²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]}³ (92)

a_x2 = {a_x1 · [1 – (V² / V_xкр²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]}³ (93)

[{{1+[(V·v_x2)/ V_xкр²)]}·a_y2}} –[(V·v_y2 ·a_x2)/ V_xкр²]] · [1 – (V²/ V_xкр²)]

a_y1 = ———————————————————————————— (94)

{1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]}³

[{{1–[(V·v_x1)/ V_xкр²)]}·a_y1}} +[(V·v_y1 ·a_x1)/ V_xкр²]] · [1 – (V²/ V_xкр²)]

a_y2 = ———————————————————————————— (95)

{1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]}³

[{{1+[(V·v_x2)/ V_xкр²)]}·a_z2}} –[(V·v_z2 ·a_x2)/ V_xкр²]] · [1 – (V²/v V_xкр²)]

a_z1 = ———————————————————————————— (96)

{1 + [(V · v_x2)/ V_xкр²)]}³

[{{1–[(V·v_x1)/ V_xкр²)]}·a_z1}} +[(V·v_z1 ·a_x1)/ V_xкр²]] · [1 – (V²/ V_xкр²)]

a_z2 = ———————————————————————————— (97)

{1 – [(V · v_x1)/ V_xкр²)]}³

2.6. Основные кинематические уравнения при коэффициенте перехода β ≥ 1

Подставив формулу (64) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим следующую систему уравнений при коэффициенте перехода β= β_>:

x_1> = [x_2> + (V · t_2>)] / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 98 )

x_2> = [x_1> – (V · t_1>)] / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 99 )

t_1> = {t_2> + [( V · x_2>) / v_xкр1²]} / [(1 – V²/v_xкр1²)^1/2] ( 100 )

t_2> = {t_1> – [( V · x_1>) / v_xкр1² ]}/ [(1 – V²/v_xкр1²)^1/2] ( 101)

v_x1> = (v_x2> + V) / {1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]} ( 102 )

v_x2> = (v_x1> – V) / {1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]} ( 103 )

v_y1> = {v_y2> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]} ( 104 )

v_y2> = {v_y1> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]} ( 105 )

v_z1> = {v_z2> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]} ( 106 )

v_z2> = {v_z1> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]} ( 107 )

a_x1> = {a_x2> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]}³ ( 108 )

a_x2> = {a_x1> · [1 – (V² / v_xкр1²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]}³ ( 109 )

[{{1+[(V·v_x2>)/v_xкр1²)]}·a_y2>}} –[(V·v_y2> ·a_x2>)/v_xкр1²]] · [1 – (V²/v_xкр1²)]

a_y1> = ———————————————————————————— (110)

{1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]}³

[{{1–[(V·v_x1>)/v_xкр1²)]}·a_y1>}} +[(V·v_y1> ·a_x1>)/v_xкр1²]] · [1 – (V²/v_xкр1²)]

a_y2> = ———————————————————————————— (111)

{1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]}³

[{{1+[(V·v_x2>)/v_xкр1²)]}·a_z2>}} –[(V·v_z2> ·a_x2>)/v_xкр1²]] · [1 – (V²/v_xкр1²)]

a_z1> = ———————————————————————————— (112)

{1 + [(V · v_x2>)/ v_xкр1²)]}³

[{{1–[(V·v_x1>)/v_xкр1²)]}·a_z1>}} +[(V·v_z1> ·a_x1>)/v_xкр1²]] · [1 – (V²/v_xкр1²)]

a_z2> = ———————————————————————————— (113)

{1 – [(V · v_x1>)/ v_xкр1²)]}³

2.7. Основные кинематические уравнения при коэффициенте перехода 0 < β < 1

Подставив формулу (65) в уравнения (34), (35), (38)÷(39), (40)÷(45) и (51)÷(56), получим систему уравнений для случая, когда коэффициент перехода β = β_<:

x_1< = [x_2< + (V · t_2<)] / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 114 )

x_2< = [x_1< – (V · t_1<)] / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 115 )

t_1< = {t_2< – [( V · x_2<) / v_xкр2²]} / [(1 + V²/v_xкр2²)^1/2] ( 116 )

t_2< = {t_1< + [( V · x_1<) / v_xкр2² ]}/ [(1 + V²/v_xкр2²)^1/2] ( 117 )

v_x1< = (v_x2< + V) / {1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]} ( 118 )

v_x2< = (v_x1< – V) / {1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]} ( 119 )

v_y1< = {v_y2< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]} ( 120 )

v_y2< = {v_y1< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]} ( 121 )

v_z1< = {v_z2< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2} / {1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]} ( 122 )

v_z2< = {v_z1< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2} / {1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]} ( 123 )

a_x1< = {a_x2< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^3/2}/ {1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]}³ ( 124 )

a_x2< = {a_x1< · [1 + (V² / v_xкр2²)]^3/2}/ {1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]}³ ( 125 )

[{{1–[(V·v_x2<)/v_xкр2²)]}·a_y2<}}+[(V·v_y2< ·a_x2<)/v_xкр2²]] · [1 + (V²/v_xкр2²)]

a_y1< = ———————————————————————————— (126)

{1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]}³

[{{1+[(V·v_x1<)/v_xкр2²)]}·a_y1<}}–[(V·v_y1< ·a_x1<)/v_xкр2²]] · [1 + (V²/v_xкр2²)]

a_y2< = ———————————————————————————— (127)

{1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]}³

[{{1–[(V·v_x2<)/v_xкр2²)]}·a_z2<}}+[(V·v_z2< ·a_x2<)/v_xкр2²]] · [1 + (V²/v_xкр2²)]

a_z1< = ———————————————————————————— (128)

{1 – [(V · v_x2<)/ v_xкр2²)]}³

[{{1+[(V·v_x1<)/v_xкр2²)]}·a_z1<}}–[(V·v_z1< ·a_x1<)/v_xкр2²]] · [1 + (V²/v_xкр2²)]

a_z2< = ———————————————————————————— (129)

{1 + [(V · v_x1<)/ v_xкр2²)]}³

К сожалению, из кинематических уравнений связи определить значение постоянной величины V_xкр (v_xкр1 или v_xкр2) невозможно, поэтому придется обратиться за помощью к динамике.

3. Динамика

Для установления зависимости массы движущегося тела от скорости воспользуемся - с одной стороны - принципом относительности, утверждающим, что физические законы инвариантны по отношению к выбору инерциальной системы отсчета, т.е. уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета.

С другой стороны - постараемся опереться на ограничительные условия к пространству и времени, которые устанавливаются в специальной теории относительности.

Этими условиями являются однородность и изотропность пространства и однородность времени, т.е. симметрия пространства и времени.

Согласно теореме Эммы Нетер симметрии действия соответствует закон сохранения этого действия.

Теорема Эммы Нетер позволяет установить, что:

- закон сохранения механической энергии связан со свойством симметрии времени – однородностью времени (это свойство времени проявляется в том, что законы движения замкнутой системы не зависят от выбора начала отсчета времени);

- закон сохранения импульса связан со свойством симметрии пространства – однородностью пространства (это свойство проявляется в том, что физические свойства замкнутой системы и законы ее движения не зависят от выбора положения начала координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при параллельном переносе в пространстве замкнутой системы как целого);

- закон сохранения момента импульса связан со свойством симметрии пространства – изотропностью пространства (это свойство пространства проявляется в том, что физические свойства и законы движения замкнутой системы не зависят от выбора направления осей координат инерциальной системы отсчета, т.е. не изменяются при повороте в пространстве замкнутой системы как целого на любой угол).

3.1. Системы уравнений для определения зависимости

массы движущегося тела от скорости

Для определения зависимости массы движущегося тела от его скорости перемещения воспользуемся:

- законом сохранения импульса: импульс замкнутой механической системы тел (на которую не действуют внешние силы) для любого момента времени является величиной постоянной;

- законом сохранения механической энергии: механическая энергия консервативной механической системы тел (у которой все внутренние силы потенциальны, а внешние силы потенциальны и стационарны) для любого момента времени является величиной постоянной, который для замкнутых механических систем принимает вид: механическая энергия замкнутой механической системы не изменяется с течением времени, если все внутренние силы, действующие в этой системе, потенциальны, а точнее - его частным случаем, когда у тел, составляющих замкнутую механическую систему, не происходит изменение потенциальной энергии (в том числе, когда тела, составляющие замкнутую механическую систему, испытывают только абсолютно упругие взаимодействия): кинетическая энергия замкнутой механической системы тел для любого момента времени является величиной постоянной.

Допустим, что зависимость массы тела от скорости его движения не меняется при изменении потенциальной энергии тела.

Предположим, что масса М(V) материальной точки, движущейся со скоростью V, равна:

М(V) = М_о · f (V) ( 130 )

где: М_о – масса рассматриваемой материальной точки в состоянии покоя;

f(V) – функция, предположительно зависящая от величины скорости V.

Исходя из формулы (130), импульс Р(V) материальной точки, движущейся со скоростью V, равен:

Р(V) = М_о · f (V) · V ( 131 )

А формула (131) позволяет записать следующее уравнение для кинетической энергии Е_к(V) материальной точки, движущейся со скоростью V:

_v

Е_к(V) = М_о · ∫ {[ f (V) · V ] + [ f′ (V) · V²]} ·dV ( 132 )

⁰

где: f′ (V) – производная функции f (V) .

Постараемся установить зависимость массы (функции f (V)) движущегося тела от скорости его перемещения, рассмотрев взаимодействия (а точнее результаты взаимодействия) тел (материальных точек), составляющих замкнутую механическую систему и перемещающихся в пространстве только линейно.

С целью написания системы уравнений, позволяющих определить значение функции f (V), рассмотрим два простейших примера.

3.1.1. Пример № 1

Допустим, что имеются две инерциальные системы отсчета, аналогичные системам отсчета, изображенным на рис. 1, - неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂ , которая движется со скоростью V параллельно оси O₁x₁ относительно системы O₁x₁y₁z₁.

Предположим, что имеется замкнутая механическая система тел, состоящая из тела 1 и тела 2 (как показано на рис. 3) имеющих массы в состоянии покоя, равные М_о1 и М_о2 соответственно.

t₂ > t_2c

v_22хк

2

V

x₁

x₂

y₂

y₁

О₂

О₁

t₂ < t_2c

v_22хн

v_21хн

2

1

V

О₂

О₁

y₂

x₂

x₁

y₁

1

v_21хк

Рис. 3

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тело 1 и тело 2 до некоторого момента времени t_2с двигались параллельно оси O₂x₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v_21xн и v_22xн соответственно.

В какой-то момент времени t_2с между телами 1 и 2 произошло абсолютно упругое прямое центральное столкновение.

Далее после столкновения в момент времени больший t_2с тела 1 и 2 стали двигаться параллельно оси O₂x₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v_21xк и v_22xк соответственно.

Учитывая, что между телами 1 и 2 имело место прямое центральное столкновение, и рассматривая их как материальные точки, запишем закон сохранения импульса для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с :

[М_о1 · f (V= v_21xн) · v_21xн] + [М_о2 · f (V= v_22xн) · v_22xн] = [М_о1 · f (V= v_21xк) · v_21xк] + [М_о2 · f (V= v_22xк) · v_22xк] ( 133 )

А операясь на то, что столкновение тел 1 и 2 носило абсолютно упругий характер, можно записать закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

v_21xн v_22xн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_21xк v_22xк

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (134)

^{0 0}

Все ранее сказанное о движении тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ можно сказать и о движении тел 1 и 2 в неподвижной системе отчета O₁x₁y₁z₁, за исключением того, что:

- столкновение между телами 1 и 2 происходит в момент времени t_1с, соответствующий моменту времени t_2с в системе O₂x₂y₂z₂,

- тело 1 имеет соответственно до и после столкновения скорости v_11xн и v_11xк , соответствующие скоростям v_21xн и v_21xк,

- тело 2 имеет соответственно до и после столкновения скорости v_12xн и v_12xк , соответствующие скоростям v_22xн и v_22xк.

Аналогично формулам (133) и (134) можно записать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ для моментов времени меньшего и большего, чем t_1с, также предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

[М_о1 · f (V= v_11xн) · v_11xн] + [М_о2 · f (V= v_12xн) · v_12xн] = [М_о1 · f (V= v_11xк) · v_11xк] + [М_о2 · f (V= v_12xк) · v_12xк] ( 135 )

v_11xн v_12xн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_11xк v_12xк

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (136)

^{0 0}

3.1.2. Пример № 2

Пример № 2 подобен примеру № 1 и отличается от него только тем, что в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тела 1 и тела 2 двигаются не параллельно оси O₂x₂, а параллельно оси O₂y₂, как показано на рис. 4.

В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ тела 1 и тела 2 до некоторого момента времени t_2с двигались параллельно оси O₂y₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v_21yн и v_22yн соответственно.

О₁

y1
			Рис. 4

После столкновения в момент времени больший t_2с тела 1 и 2 стали двигаться параллельно оси O₂y₂ по одной линии с постоянными по величине скоростями v_21yк и v_22yк соответственно.

Тогда можно записать закон сохранения импульса и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ для моментов времени меньшего и большего, чем t_2с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

[М_о1 · f (V= v_21yн) · v_21yн] + [М_о2 · f (V= v_22yн) · v_22yн] = [М_о1 · f (V= v_21yк) · v_21yк] + [М_о2 · f (V= v_22yк) · v_22yк] ( 137 )

v_21yн v_22yн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_21yк v_22yк

{ М_о1· ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (138)

^{0 0}

Аналогично можно записать закон сохранения импульса (два уравнения для проекций импульса на оси O₁x₁ и O₁y₁) и закон сохранения механической энергии для замкнутой механической системы тел 1 и 2 в неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ для моментов времени меньшего и большего, чем t_1с, предполагая, что величины потенциальных энергий тел 1 и 2 остаются неизменными до и после столкновения:

{М_о1 · f [V = (v_11yн²+ V²)^1/2] · V } + {М_о2 · f [V = (v_12yн²+ V²)^1/2] · V } =

{М_о1 · f [V = (v_11yк²+ V²)^1/2] · V } + {М_о2 · f [V = (v_12yк²+ V²)^1/2] · V } ( 139 )

{М_о1 · f [V = (v_11yн²+ V²)^1/2] · v_11yн} + {М_о2 · f [V = (v_12yн²+ V²)^1/2] · v_12yн} =

{М_о1 · f [V = (v_11yк²+ V²)^1/2] · v_11yк} + {М_о2 · f [V = (v_12yк²+ V²)^1/2] · v_12yк} ( 140 )

(v_11yн²+ V²)^1/2 (v_12yн²+ V²)^1/2

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

(v_11yк²+ V²)^1/2 (v_12yк²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 141)

^{0 0}

3.1.3. Зависимость массы движущегося тела от скорости

С целью определения зависимости для массы движущегося тела составим следующую систему уравнений:

[М_о1 · f (V= v_21xн) · v_21xн] + [М_о2 · f (V= v_22xн) · v_22xн] = [М_о1 · f (V= v_21xк) · v_21xк] + [М_о2 · f (V= v_22xк) · v_22xк] ( 133 )

v_21xн v_22xн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_21xк v_22xк

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 134)

^{0 0}

[М_о1 · f (V= v_11xн) · v_11xн] + [М_о2 · f (V= v_12xн) · v_12xн] = [М_о1 · f (V= v_11xк) · v_11xк] + [М_о2 · f (V= v_12xк) · v_12xк] ( 135 )

v_11xн v_12xн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_11xк v_12xк

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 136)

^{0 0}

[М_о1 · f (V= v_21yн) · v_21yн] + [М_о2 · f (V= v_22yн) · v_22yн] = [М_о1 · f (V= v_21yк) · v_21yк] + [М_о2 · f (V= v_22yк) · v_22yк] ( 137 )

v_21yн v_22yн

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

v_21yк v_22yк

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} (138)

^{0 0}

{М_о1 · f [V = (v_11yн²+ V²)^1/2] · V } + {М_о2 · f [V = (v_12yн²+ V²)^1/2] · V } =

{М_о1 · f [V = (v_11yк²+ V²)^1/2] · V } + {М_о2 · f [V = (v_12yк²+ V²)^1/2] · V } ( 139 )

{М_о1 · f [V = (v_11yн²+ V²)^1/2] · v_11yн} + {М_о2 · f [V = (v_12yн²+ V²)^1/2] · v_12yн} =

{М_о1 · f [V = (v_11yк²+ V²)^1/2] · v_11yк} + {М_о2 · f [V = (v_12yк²+ V²)^1/2] · v_12yк} ( 140 )

(v_11yн²+ V²)^1/2 (v_12yн²+ V²)^1/2

{ М_о1 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫ {[f (V) ·V] + [f′ (V) ·V²]}·dV} =

^{0 0}

(v_11yк²+ V²)^1/2 (v_12yк²+ V²)^1/2

{ М_о1· ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} + { М_о2 · ∫{[f (V)·V] +[f′ (V)·V²]}·dV} ( 141)

^{0 0}

В эту систему уравнений нужно также добавить уравнения связи между проекциями скоростей тел 1 и 2 в подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ системах отсчета, записанные исходя из формул (86) и (88):

v_11xн = (v_21xн + V ) / {1 + [(V · v_21xн) / V_xкр²)]} ( 142 )

v_12xн = (v_22xн + V ) / {1 + [(V · v_22xн) / V_xкр²)]} ( 143 )

v_11xк = (v_21xк + V ) / {1 + [(V · v_21xк) / V_xкр²)]} ( 144 )

v_12xк = (v_22xк + V ) / {1 + [(V · v_22xк) / V_xкр²)]} ( 145 )

v_11yн = v_21yн · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 146 )

v_12yн = v_22yн · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 147 )

v_11yк = v_21yк · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 148 )

v_12yк = v_22yк · [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 149 )

И так, имеется 17 уравнений, 12 неизвестных значений и одна неизвестная функция.

Единственной функцией f(V), способной удовлетворить всем требованиям 17 уравнений, является:

f (V) = 1 / [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 150 )

Тогда, с учетом уравнений (130)÷(132), можно записать зависимости для массы М(V), импульса Р(V) и кинетической энергии Е_к(V) движущегося тела со скоростью V:

М(V) = М_о / [1 – (V² / V_кр²)]^1/2 ( 151 )

Р(V) = ( М_о · V ) / [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2 ( 152 )

Е_к(V) = М_о · v_xкр1² · {{1 / [1 – (V² / V_xкр²)]^1/2} – 1} ( 153 )

3.1.4. Зависимость массы движущегося тела от скорости при коэффициенте перехода β>1

В случае, когда значение коэффициента перехода β находится в диапазоне β>1 , то исходя из формул (150)÷(153) с учетом уравнения (60) зависимости для функции f(V)_>, массы М(V)_>, импульса Р(V)_>, кинетической энергии Е_к(V)_> движущегося тела со скоростью V, можно записать:

f (V)_> = 1 / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 154 )

М(V)_> = М_о / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 155 )

Р(V)_> = ( М_о · V ) / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 156 )

Е_к(V)_> = М_о · v_xкр1² · {{1 / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} – 1} ( 157 )

3.1.4.1. Проверка правильности выбора формулы (150) при β>1

(для примеров № 1 и № 2)

Сначала перепишем формулы (133)÷(141) с учетом формул (60) и (154)÷(157):

{(М_о1 · v_21xн) / [1 – (v_21xн² / v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22xн) / [1 – (v_22xн² / v_xкр1²)]^1/2} = {(М_о1 · v_21xк) / [1 – (v_21xк²/v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22xк) / [1 – (v_22xк²/v_xкр1²) ]^1/2} (158)

{М_о1 / [1 – (v_21xн² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_22xн² / v_xкр1²)]^1/2} = {М_о1 / [1 – (v_21xк² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_22xк² / v_xкр1²)]^1/2} ( 159 )

{(М_о1 · v_11xн) / [1 – (v_11xн² / v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_12xн) / [1 – (v_12xн² / v_xкр1²)]^1/2} = {(М_о1 · v_11xк)/[1 – (v_21xк²/v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_12xк)/[1 – (v_12xк²/v_xкр1²)]^1/2} ( 160 )

{М_о1 / [1 – (v_11xн² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_12xн² / v_xкр1²)]^1/2} = {М_о1 / [1 – (v_21xк² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_12xк² / v_xкр1²)]^1/2} ( 161 )

{(М_о1 · v_21yн) / [1 – (v_21yн² / v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22yн) / [1 – (v_22yн² / v_xкр1²)]^1/2} = {(М_о1 · v_21yк) / [1 – (v_21yк²/v_xкр1²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22yк) / [1 – (v_22yк²/v_xкр1²)]^1/2} (162)

{М_о1 / [1 – (v_21yн² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_22yн² / v_xкр1²)]^1/2} = {М_о1 / [1 – (v_21yк² / v_xкр1²)]^1/2} + {М_о2 / [1 – (v_22yк² / v_xкр1²)]^1/2} ( 163 )

{(М_о1 · V)/{1 – [(v_11yн²+V²)/v_xкр1²]}^1/2} + {(М_о2 · V)/{1 – [(v_12yн²+V²)/v_xкр1²]}^1/2} = {(М_о1·V)/{1 – [(v_11yк²+V²)/v_xкр1²]}^1/2}+ {(М_о2·V)/{1 – [(v_12yк²+V²)/v_xкр1²]}^1/2} (164)

{(М_о1·v_11yн)/{1–[(v_11yн²+V²)/v_xкр1²]}^1/2}+{(М_о2·v_12yн)/{1 – [(v_12yн²+V²)/v_xкр1²]}^1/2} =

{(М_о1·v_11yк)/{1–[(v_11yк²+V²)/v_xкр1²]}^1/2}+{(М_о2·v_12yк)/{1–[(v_12yк²+V²)/v_xкр1²]}^1/2}(165)

{М_о1 /{1 – [(v_11yн² + V² )/ v_xкр1²]}^1/2} + {М_о2 /{1 – [(v_12yн²+ V²)/ v_xкр1²]}^1/2} =

{М_о1 / {1 – [(v_11yк²+V²)/ v_xкр1²]}^1/2} + {М_о2 /{1 – [ (v_12yк²+V²)/ v_xкр1²]}^1/2} ( 166 )

Где, исходя из формул (60) и (142)÷(149):

v_11xн = (v_21xн + V ) / {1 + [(V · v_21xн) / v_xкр1²)]} ( 167 )

v_12xн = (v_22xн + V ) / {1 + [(V · v_22xн) / v_xкр1²)]} ( 168 )

v_11xк = (v_21xк + V ) / {1 + [(V · v_21xк) / v_xкр1²)]} ( 169 )

v_12xк = (v_22xк + V ) / {1 + [(V · v_22xк) / v_xкр1²)]} ( 170 )

v_11yн = v_21yн · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 171 )

v_12yн = v_22yн · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 172 )

v_11yк = v_21yк · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 173 )

v_12yк = v_22yк · [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 174 )

Предположим, что М_о1 = 1 , М_о2 = 0,5 , V / v_xкр1 = 0,5 , v_21xн / v_xкр1 = = v_21yн / v_xкр1 = 0,9 , v_22xн / v_{x кр1} = v_22yн / v_xкр1 = 0,6 .

Тогда числовые расчеты дают следующие результаты для примера № 1:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v_21xн / v_xкр1 = 0,9 , массу М_21н = 2,294157338706, импульс Р_21н / v_xкр1 = 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к21н / v_xкр1² = 1,294157338706;

б) после столкновения v_21xк / v_xкр1 = 0,7360143377, М_21к = 1,477179174242, Р_21к / v_xкр1 = 1,087225051595, Е_к21к / v_xкр1² = 0,477179174242;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_22xн / v_xкр1 = 0,6 , М_22н = 0,625 , Р_22н / v_xкр1 = 0,375, Е_к22н / v_xкр1² = 0,125;

б) после столкновения v_22xк / v_xкр1 = 0,937959108239, М_22к = 1,441978164463, Р_22к / v_xкр1 = 1,35251655324, Е_к22к / v_xкр1² = 0,941978164463;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 2,919157338706 , импульс (Р_21н + Р_22н) / v_xкр1 = 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) /v_xкр1² = 1,419157338706;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 2,919157338706 , импульс (Р_21к + Р_22к) / v_xкр1 = 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_xкр1² = 1,419157338706;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения v_11xн / v_xкр1 = 0,965517241379 , массу М_11н = 3,841143835489, импульс Р_11н / v_xкр1 = 3,708690599782, кинетическую энергию Е_к11н / v_xкр1² = 2,841143835489;

б) после столкновения v_11xк / v_xкр1 = 0,903514517939, М_11к = 2,333409263988, Р_11к / v_xкр1 = 2,108269146306, Е_к11к / v_xкр1² = 1,333409263988;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_12xн / v_xкр1 = 0,846153846154 , М_12н = 0,938194187433 , Р_12н / v_xкр1 = 0,793856620136, Е_к12н / v_xкр1² = 0,438194187433;

б) после столкновения v_12xк / v_xкр1= 0,978882996844, М_12к = 2,445928758933, Р_12к / v_xкр1 = 2,394278073612, Е_к12к / v_xкр1² = 1,945928758933;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 4,779338022922 , импульс (Р_11н + Р_12н) / v_xкр1 = 4,502547219918, кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_xкр1²= 3,279338022922 ;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 4,779338022922 , импульс (Р_11к + Р_12к) / v_xкр1 = 4,502547219918, кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_xкр1² = 3,279338022922.

Для примера № 2 числовые расчеты дают следующие результаты:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v_21yн / v_xкр1= 0,9 , массу М_21н = 2,294157338706, импульс Р_21н / v_xкр1 = 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к21н / v_xкр1² = 1,294157338706;

б) после столкновения v_21yк / v_xкр1 = 0,7360143377, М_21к = 1,477179174242, Р_21к / v_xкр1 = 1,087225051595, Е_к21к / v_xкр1² = 0,477179174242;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_22yн / v_xкр1 = 0,6 , М_22н = 0,625 , Р_22н / v_xкр1 = 0,375, Е_к22н/ v_xкр1² = 0,125;

б) после столкновения v_22yк / v_xкр1= 0,937959108239, М_22к = 1,441978164463, Р_22к / v_xкр1 = 1,35251655324, Е_к22к / v_xкр1² = 0,941978164463;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 2,919157338706 , импульс (Р_21н + Р_22н) / v_xкр1 = 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) / v_xкр1²= 1,419157338706;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 2,919157338706 , импульс (Р_21к + Р_22к) / v_xкр1 = 2,439741604835, кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_xкр1² = 1,419157338706;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения проекции скорости v_11xн / v_xкр1 = 0,5 и v_11yн / v_xкр1= 0,779422863406 , массу М_11н = 2,64906471413 , проекции импульса Р_11xн / v_xкр1 = 1,324532357065 и Р_11yн / v_xкр1 = 2,064741604835, кинетическую энергию Е_к11н / v_xкр1² = 1,64906471413;

б) после столкновения v_11xк / v_xкр1 = 0,5 , v_11yк / v_xкр1 = 0,637407113998 , М_11к = 1,70569958778 , Р_11xк / v_xкр1 = 0,85284979389 , Р_11yк / v_xкр1 = 1,087225051595 , Е_к11к / v_xкр1² = 0,70569958778;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_12xн / v_xкр1 = 0,5 , v_12yн / v_xкр1 = 0,519615242271 , М_12н = 0,721687836487 , Р_12xн / v_xкр1 = 0,360843918244 , Р_12yн /v_xкр1 = 0,375 , Е_к12н / v_xкр1² = 0,221687836487;

б) после столкновения v_12xк / v_xкр1= 0,5, v_12yк / v_xкр1= 0,812296415446, М_12к = 1,665052962837, Р_12xк /v_xкр1 = 0,832526481418 , Р_12yк /v_xкр1 = 1,35251655324 , Е_к12к/ v_xкр1² = 1,165052962837;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 3,370752550617 , проекции импульса (Р_11xн + Р_12xн) / v_xкр1 = 1,685376275309 и (Р_11yн + Р_12yн) / v_xкр1 = 2,439741604835 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_xкр1² = 1,870752550617;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 3,370752550617 , проекции импульса (Р_11xк + Р_12xк) / v_xкр1 = 1,685376275309 и (Р_11yк + Р_12yк) / v_xкр1 = 2,439741604835 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_xкр1² = 1,870752550617.

По результатам расчета можно сделать следующий вывод: в примерах № 1 и № 2 в подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ системах отсчета до и после столкновения масса, импульс и кинетическая энергия механической системы тел 1 и 2 остаются неизменными.

Следовательно, формулы (150)÷(153) в случае, когда коэффициент перехода β > 1, удовлетворяют требованиям системы уравнений (133)÷(141).

3.1.5. Зависимость массы движущегося тела от скорости при коэффициенте перехода 0 < β < 1

В случае, когда значение коэффициента перехода β находится в диапазоне 0 < β < 1 , то, исходя из формул (150)÷(153) с учетом уравнения (61) зависимости для функции f(V)_<, массы М(V)_<, импульса Р(V)_<, кинетической энергии Е_к(V)_< движущегося тела со скоростью V, можно записать:

f (V)_< = 1 / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 175 )

М(V)_< = М_о / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 176 )

Р(V)_< = ( М_о · V ) / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 177 )

Е_к(V)_< = М_о · v_xкр2² · { 1 – {1 / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2}} ( 178 )

3.1.5.1. Проверка правильности выбора формулы (150) при 0 < β < 1

(для примеров № 1 и № 2)

Сначала перепишем формулы (133)÷(141) с учетом формул (61) и (175)÷(178):

{(М_о1 · v_21xн) / [1 + (v_21xн² / v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22xн) / [1 + (v_22xн² / v_xкр2²)]^1/2} = {(М_о1 · v_21xк)/[1 + (v_21xк²/v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22xк)/[1 + (v_22xк²/v_xкр2²) ]^1/2} ( 179 )

{М_о1 / [1 + (v_21xн² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_22xн² / v_xкр2²)]^1/2} = {М_о1 / [1 + (v_21xк² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_22xк² / v_xкр2²)]^1/2} ( 180 )

{(М_о1 · v_11xн) / [1 + (v_11xн² / v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_12xн) / [1 + (v_12xн² / v_xкр2²)]^1/2} = {(М_о1 · v_11xк)/[1 + (v_21xк²/v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_12xк)/[1 + (v_12xк²/v_xкр2²)]^1/2} ( 181 )

{М_о1 / [1 + (v_11xн² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_12xн² / v_xкр2²)]^1/2} = {М_о1 / [1 + (v_21xк² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_12xк² / v_xкр2²)]^1/2} ( 182 )

{(М_о1 · v_21yн) / [1 + (v_21yн² / v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22yн) / [1 + (v_22yн² / v_xкр2²)]^1/2} = {(М_о1 · v_21yк) / [1 + (v_21yк²/v_xкр2²)]^1/2} + {(М_о2 · v_22yк) / [1 + (v_22yк²/v_xкр2²)]^1/2} (183)

{М_о1 / [1 + (v_21yн² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_22yн² / v_xкр2²)]^1/2} = {М_о1 / [1 + (v_21yк² / v_xкр2²)]^1/2} + {М_о2 / [1 + (v_22yк² / v_xкр2²)]^1/2} ( 184 )

{(М_о1 · V)/{1 + [(v_11yн²+V²)/v_xкр2²]}^1/2} + {(М_о2 · V)/{1 + [(v_12yн²+V²)/v_xкр2²]}^1/2} = {(М_о1·V)/{1 + [(v_11yк²+V²)/v_xкр2²]}^1/2}+ {(М_о2·V)/{1 + [(v_12yк²+V²)/v_xкр2²]}^1/2} (185)

{(М_о1·v_11yн)/{1+[(v_11yн²+V²)/v_xкр2²]}^1/2}+{(М_о2·v_12yн)/{1+ [(v_12yн²+V²)/v_xкр2²]}^1/2} =

{(М_о1·v_11yк)/{1+[(v_11yк²+V²)/v_xкр2²]}^1/2}+{(М_о2·v_12yк)/{1+[(v_12yк²+V²)/v_xкр2²]}^1/2}(186)

{М_о1 /{1 + [(v_11yн² + V² )/ v_xкр2²]}^1/2} + {М_о2 /{1 + [(v_12yн²+ V²)/ v_xкр2²]}^1/2} =

{М_о1 / {1 + [(v_11yк²+V²)/ v_xкр2²]}^1/2} + {М_о2 /{1 + [ (v_12yк²+V²)/ v_xкр2²]}^1/2} ( 187 )

Где, исходя из формул (61) и (142)÷(149):

v_11xн = (v_21xн + V ) / {1 – [(V · v_21xн) / v_xкр2²)]} ( 188 )

v_12xн = (v_22xн + V ) / {1 – [(V · v_22xн) / v_xкр2²)]} ( 189 )

v_11xк = (v_21xк + V ) / {1 – [(V · v_21xк) / v_xкр2²)]} ( 190 )

v_12xк = (v_22xк + V ) / {1 – [(V · v_22xк) / v_xкр2²)]} ( 191 )

v_11yн = v_21yн · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 192 )

v_12yн = v_22yн · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 193 )

v_11yк = v_21yк · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 194 )

v_12yк = v_22yк · [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 195 )

Предположим, что М_о1 = 1 , М_о2 = 0,5 , V / v_xкр2 = 0,5 , v_21xн / v_xкр2 = = v_21yн / v_xкр2 = 0,9 , v_22xн / v_xкр2 = v_22yн / v_xкр2 = 0,6 .

Тогда числовые расчеты дают следующие результаты для примера № 1:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v_21xн / v_xкр2= 0,9 , массу М_21н = 0,743294146247 , импульс Р_21н / v_xкр2 = 0,668964731622 , кинетическую энергию Е_к21н / v_xкр2² = 0,256705853753;

б) после столкновения v_21xк / v_xкр2 = 0,691099932748, М_21к = 0,822656908881, Р_21к / v_xкр2 = 0,568538134403, Е_к21к / v_xкр2² = 0,177343091119;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_22xн / v_xкр2 = 0,6 , М_22н = 0,428746462856 , Р_22н / v_xкр2 = 0,257247877714, Е_к22н / v_xкр2² = 0,071253537144;

б) после столкновения v_22xк / v_xкр2= 1,023729712365, М_22к = 0,349383700222 , Р_22к / v_xкр2 = 0,357674474934 , Е_к22к / v_xкр2² = 0,150616299778;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 1,172040609103 , импульс (Р_21н + Р_22н) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) / v_xкр2² = 0,327959390897;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 1,172040609103 , импульс (Р_21к + Р_22к) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_xкр2² = 0,327959390897;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v_11xн / v_xкр2= 2,545454545455 , массу М_11н = 0,365652372423 , импульс Р_11н / v_xкр2 = 0,93075149344 , кинетическую энергию Е_к11н / v_xкр2² = 0,634347627577;

б) после столкновения v_11xк / v_xкр2 = 1,820001331727 , М_11к =0,481548724902, Р_11к /v_xкр2 = 0,876419320614 , Е_к11к / v_xкр2² = 0,518451275098;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_12xн / v_xкр2 = 1,571428571429 , М_12н = 0,268437746097 , Р_12н / v_xкр2 = 0,421830743866 , Е_к12н / v_xкр2² = 0,231562253903;

б) после столкновения v_12xк / v_xкр2= 3,121532492927 , М_12к = 0,152541393617, Р_12к / v_xкр2 = 0,476162916693 , Е_к12к / v_xкр2² = 0,347458606383;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 0,63409011852 , импульс (Р_11н + Р_12н) / v_xкр2 = 1,352582237306 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_xкр2² = 0,86590988148;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 0,63409011852 , импульс (Р_11к + Р_12к) / v_xкр2 = 1,352582237306 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_xкр2² = 0,86590988148.

Для примера № 2 числовые расчеты дают следующие результаты:

I. В подвижной системе отсчета O₂x₂y₂z₂ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения скорость v_21yн / v_xкр2 = 0,9 , массу М_21н = 0,743294146247, импульс Р_21н / v_xкр2 = 0,668964731622 , кинетическую энергию Е_к21н / v_xкр2² = 0,256705853753;

б) после столкновения v_21yк / v_xкр2 = 0,691099932748, М_21к = 0,822656908881, Р_21к / v_xкр2 = 0,568538134403, Е_к21к / v_xкр2² = 0,177343091119;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_22yн / v_xкр2 = 0,6 , М_22н = 0,428746462856 , Р_22н / v_xкр2 = 0,257247877714, Е_к22н / v_xкр2² = 0,071253537144;

б) после столкновения v_22yк / v_xкр2= 1,023729712365, М_22к = 0,349383700222 , Р_22к / v_xкр2 = 0,357674474934 , Е_к22к / v_xкр2² = 0,150616299778 ;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_21н + М_22н) = 1,172040609103 , импульс (Р_21н + Р_22н) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21н + Е_к22н) / v_xкр2² = 0,327959390897;

б) после столкновения массу (М_21к + М_22к) = 1,172040609103, импульс (Р_21к+ Р_22к) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к21к + Е_к22к) / v_xкр2² = 0,327959390897;

II. В неподвижной системе отсчета O₁x₁y₁z₁ :

1) тело 1 имело:

а) до столкновения проекции скорости v_11xн / v_xкр2 = 0,5 и v_11yн / v_xкр2 = 1,006230589875 , массу М_11н = 0,664822495315 , проекции импульса Р_11xн / v_xкр2 = 0,332411247657 и Р_11yн / v_xкр2 = 0,668964731622, кинетическую энергию Е_к11н / v_xкр2² = 0,335177504685;

б) после столкновения проекции скорости v_11xк / v_{x кр2} = 0,5 и v_11yк / v_{x кр2} = 0,772673214435 , М_11к = 0,735806708167 , Р_11xк / v_xкр2 = 0,367903354084 , Р_11yк / v_xкр2 = 0,568538134403 , Е_к11к / v_xкр2² = 0,264193291833;

2) тело 2 имело:

а) до столкновения v_12xн / v_xкр2 = 0,5 , v_12yн / v_xкр2 = 0,67082039325 , М_12н = 0,383482494424 , Р_12xн / v_xкр2 = 0,191741247212 , Р_12yн / v_xкр2 = 0,257247877714 , Е_к12н / v_xкр2² = 0,116517505576;

б) после столкновения v_12xк / v_xкр2= 0,5, v_12yк / v_xкр2= 1,144564613718, М_12к = 0,312498281571 , Р_12xк / v_xкр2 = 0,156249140785 , Р_12yк / v_xкр2 = 0,357674474934 , Е_к12к / v_xкр2² = 0,187501718429;

3) система тел 1 и 2 имела:

а) до столкновения массу (М_11н + М_12н) = 1,048304989738 , проекции импульса (Р_11xн + Р_12xн) / v_xкр2 = 0,524152494869 и (Р_11yн + Р_12yн) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к11н + Е_к12н) / v_xкр2² = 0,451695010262;

б) после столкновения массу (М_11к + М_12к) = 1,048304989738 , проекции импульса (Р_11xк + Р_12xк) / v_xкр2 = 0,524152494869 и (Р_11yк + Р_12yк) / v_xкр2 = 0,926212609336 , кинетическую энергию (Е_к11к + Е_к12к) / v_xкр2² = 0,451695010262.

По результатам расчета можно сделать следующий вывод: в примерах № 1 и № 2 в системах отсчета подвижной O₂x₂y₂z₂ и неподвижной O₁x₁y₁z₁ до и после столкновения масса, импульс и кинетическая энергия механической системы тел 1 и 2 остаются неизменными.

Следовательно, формулы (175)÷(178) в случае, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 , удовлетворяют требованиям системы уравнений (133)÷(141).

3.1.6. Сравнение формул (155)÷(157) с формулами (176)÷(178).

О зависимостях (155)÷(157):

М(V)_> = М_о / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 155 )

Р(V)_> = ( М_о · V ) / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2 ( 156 )

Е_к(V)_> = М_о · v_xкр1² · {{1 / [1 – (V² / v_xкр1²)]^1/2} – 1} ( 157 )

для массы М(V)_> , импульса Р(V)_> и кинетической энергии Е_к(V)_> движущегося тела со скоростью V в случае, когда коэффициент перехода β > 1, можно сказать следующее:

- при значениях скорости V, несоизмеримо малых по сравнению со скоростью v_xкр1 :

М(V)_> = М_о , Р(V)_> = М_о · V , Е_к(V)_> = (М_о · V²) /2 ;

- при V = v_xкр1 : М(V)_> = ∞ , Р(V)_> = ∞ , Е_к(V)_> = ∞ ;

- при V < v_xкр1 : М(V)_> , Р(V)_> и Е_к(V)_> - имеют действительные значения;

- при V > v_xкр1 : М(V)_> , Р(V)_> и Е_к(V)_> - действительных значений не имеют.

Аналогично о зависимостях (176)÷(178):

М(V)_< = М_о / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 176 )

Р(V)_< = ( М_о · V ) / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2 ( 177 )

Е_к(V)_< = М_о · v_xкр2² · { 1 – {1 / [1 + (V² / v_xкр2²)]^1/2}} ( 178 )

для массы М(V)_<, импульса Р(V)_< и кинетической энергии Е_к(V)_< движущегося тела со скоростью V в случае, когда коэффициент перехода 0 < β < 1 , можно сказать следующее:

- при значениях скорости V, несоизмеримо малых по сравнению со скоростью v_xкр2 :

М(V)_< = М_о , Р(V)_< = М_о · V, Е_к(V)_< = (М_о · V²) /2;

- при V = v_xкр2 : М(V)_< = М_о · (2)^-1/2 , Р(V)_< = М_о· v_xкр2 · (2)^-1/2 и Е_к(V)_< = М_о· v_xкр2² · [1 – (2)^-1/2] ;

- при V < v_xкр2 : М(V) Е_к(V)_< , Р(V)_< и Е_к(V)_< - принимают действительные значения;

- при V > v_xкр2 : М(V)_< , Р(V)_< и Е_к(V)_< - принимают действительные значения;

- при V = ∞ : М(V)_< стремится к нулю, Р(V)_< = М_о · v_xкр2 , Е_к(V)_< = М_о· v_xкр2² .

Как видно из сравнения, оба диапазона возможного значения коэффициента перехода β > 1 и 0 < β < 1 являются равноценными (оба удовлетворяют граничному условию).

3.2. Определение значения коэффициента перехода β

С помощью полученных зависимостей (155) и (176) массы тела от скорости V постараемся установить, в каком именно диапазоне в действительности находятся значения коэффициента перехода β - в β > 1 или в 0 < β < 1 , т.к. эти диапазоны являются взаимоисключающими в связи с однозначностью зависимости коэффициента перехода β от величины скорости V.

Попробуем решить эту задачу, рассматривая закон сохранения импульса (закон сохранения механической энергии) в случае, если все или часть тел (материальных точек), составляющих замкнутую механическую систему, движутся нелинейно.

С этой целью обратимся к простейшему примеру.

3.2.1. Пример № 3

Допустим, что имеются две инерциальные системы отсчета, аналогичные системам отсчета, изображенным на рис. 1 - неподвижная O₁x₁y₁z₁ и подвижная O₂x₂y₂z₂, которая движется со скоростью V параллельно оси O₁x₁ относительно системы O₁x₁y₁z₁.

Предположим, что имеется замкнутая механическая система тел, показанная на рис. 5 и состоящая из точечных тел 1 и 2, имеющих равные массы М_о в состоянии покоя, и нити 3.

Тела 1 и 2 соединены абсолютно жесткой (недеформируемой) нитью 3, не имеющей массы.

ω

ω

3

1

2

R

R

О

Рис. 5

Тела 1 и 2 вращаются с угловой скоростью ω вокруг общего центра масс - точки О. Расстояние от точечного тела 1 (тела 2) до точки О равно R.

Поместим рассматриваемую замкнутую механическую систему тел 1 и 2 с нитью 3 в подвижную систему отсчета O₂x₂y₂z₂ таким образом, чтобы точка О была бы неподвижна в этой системе отсчета и совпадала с началом координат O₂, а вращение тел 1 и 2 вокруг нее происходило бы по часовой стрелке в плоскости O₂x₂y₂, как показано на рис. 6.

Рис. 6

ωּt₂₂

υ₂₂