Другие статьи

В работе ([1], с.525) геоны определяются следующим образом. Это метастабильное объединение энергии электромагнитных или гравитационных волн, сдерживаемых воедино собственным гравитационным притяжением.

При построении геонов используются следующие соображения. Гравитационное ускорение, необходимое для удержания излучения на круговой орбите радиуса R, по порядку величины составляет c²/R. Ускорение, имеющее место вследствие гравитационного притяжения в сгустке лучистой энергии с массой М, по порядку величины равно kM / R², где k - ньютоновская константа тяготения. Оба этих ускорения совпадают по порядку величины, когда радиус R ~ kM / c². При соблюдении этих условий можно получить сгусток излучения, которое удерживает себя собственным гравитационным полем ([ 2 ] с.64--66).

В данном случае геоны представляют собой неквантованную классическую массу, не имеющую отношения к физике элементарных частиц. Может возникнуть вопрос о равенстве нулю скалярной кривизны пространства-времени при наличии одного только электромагнитного поля. Здесь мы отсылаем читателя по адресу http://aklimets.narod.ru/geo.htm .

В настоящей работе будет рассмотрена система, состоящая из двух гравитационно взаимодействующих фотонов. Будет показано, что при некоторой определенной энергии такая система превращается в планковский геон - частицу с размером l_пл = 10 ^-33 см, массой m_пл = 10 ^-5 г и сложной внутренней структурой, которая может быть охарактеризована как микрочерная дыра в пространстве и времени. Вполне вероятно, что такие объекты могли возникать в первые доли секунды “Большого Взрыва”, поэтому теоретический анализ образования планковских геонов представляет собой определенный интерес. 

В рамках классической физики Ньютона потенциальная энергия E_пот создаваемая гравитационными полями масс М и m, имеет вид

E_пот = - kMm / R……………….(1)

где k - постоянная тяготения Ньютона, M и m - гравитирующие массы, R - расстояние между массами.

Воспользуемся соотношением (1) (в классическом приближении) применительно к системе из двух гравитационно взаимодействующих фотонов одинаковой энергии. Можно показать [3, c.25 ], что для фотонов вместо масс M и m нужно подставить величины импульсов фотонов, делённых на скорость света, т.е. P/c. Тогда (1) перепишется следующим образом

E_пот = - kP ² / c² R …………(2)

Задачу о движении двух фотонов, взаимодействующих только друг с другом, по аналогии с двумя взаимодействующими массивными частицами, можно свести к задаче о движении одного фотона. Приведенный импульс системы из двух одинаковых фотонов равен P' = P/2, где P' - приведенный импульс, P - импульс каждого из фотонов.

E = E_кин + E_пот = P'c - kP²/c²R = Pc/2 - kP²/c²R …………..(3)

где E_кин = P'c - кинетическая энергия системы из двух фотонов; c в первом слагаемом – относительная скорость фотонов, равная скорости света.

E = Pc/2 (1 - R_g / R)………………… (4)

где R_g = 2kP/ c³ - так называемый гравитационный радиус геона, который, как нетрудно видеть, отличается по форме от гравитационного радиуса обычных частиц, имеющего вид R_g = 2k M/ c². Это связано с тем,что в геоне М необходимо заменить на P/c .

Уравнение (3) аналогично уравнению для полной энергии атома водорода. Из квантовой механики известно, что оценить энергию основного состояния атома водорода можно с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга. Аналогичным образом мы поступим и в данном случае. Чтобы использовать уравнение (3) в квантовой теории (в качественном приближении), будем рассматривать величины P и R, входящие в уравнение (3), как неопределенности импульса и координаты. Отметим, что R в (3) характеризует размер области, занимаемой геоном. С другой стороны, R можно трактовать, как радиус кривизны траектории фотонов.

Согласно соотношению неопределенностей, величины P и R связаны друг с другом. Положим PЧR = ћ, где ћ - постоянная Планка. Используя это соотношение, исключим величину R из (3).

E(P) = Pc/2 - kP³/ ћ c² = Pc/2(1 - 2P²/P²_пл) …………. (5)

где P_пл = (ћ c³/k)^1/2 - планковский импульс.

Функция Е(P) имеет максимум при некотором значении P = P₁. Обозначим ее через E₁. Величину E₁ можно рассматривать как оценку энергии основного состояния геона, а величину R₁ = ћ /P₁ - как оценку линейных размеров геона. Приравнивая нулю производную dE/dP находим, что

P₁ = (ћ c³/6k)^1/2;……..R₁ = ћ /P₁ = (6k ћ /c³)^1/2 ” l_пл = 10 ^-33 см

E₁ = (ћ c⁵/54k)^1/2 ” 10¹⁹ Гэв

Используя соотношение неопределенностей, найдем из (3) зависимость E(R). Имеем

E(R) = ћ c/2R - ћ ²k/c²R³ = ћ c/2R(1 - 2l²_пл /R²)………. (6)

где l_пл - фундаментальная планковская длина.

График зависимости E(R) имеет вид

Из фиг.1 видно, что свободных фотонов с энергией, большей 10¹⁹ Гэв в природе быть не может. На этом энергетическом уровне безмассовые кванты энергии взаимодействуют друг с другом, превращаясь в микроскопические чёрные дыры с размером 10 ^{- 33} см.

Точка пересечения графика функции E(R) с осью R на фиг.1 соответствует горизонту событий, отстоящем от сингулярного состояния геона ( R=0 ) на расстоянии 2^1/2 l_пл. Отметим, что для внешнего наблюдателя уменьшение полной энергии геона с ростом импульсов фотонов выглядит, как уменьшение их частоты ("покраснение"), что непосредственно связано с замедлением временных процессов вблизи горизонта событий.

E = m R²/2 + N²/2m R² + U(r)…………….. (7)

где m - приведенная масса, N - орбитальный момент импульса приведенной массы, U(r) - потенциальная энергия взаимодействия частиц.

E = P'c (1 - R_g/R + P²j /(2P')²)………………. (8)

где P'- приведенный импульс фотонов, R_g - гравитационный радиус геона, Pj = N/R - орбитальный импульс “приведенного” фотона.

Наличие центробежной энергии, обращающейся при R® 0 в бесконечность как 1/R² приводит обычно к невозможности проникновения движущихся частиц к центру поля (R=0), даже если последнее само по себе имеет характер притяжения. Таким образом, наличие центробежной энергии могло бы снять проблему сингулярного состояния геона.

Необходимость рассмотрения в этом параграфе взаимодействия фотонов в рамках ньютоновской физики обусловлено тем, что при таком подходе естественным образом появляется величина R_g = 2kP/ c ³, которую можно трактовать как гравитационный радиус геона. В рамках же общей теории относительности сразу обосновать появление этой величины несколько сложнее. Тем не менее ясно, что для более полного анализа необходимо обратиться к общей теории относительности, описывающей сильные гравитационные поля.

Рассмотрим движение “приведенного” фотона в центрально-симметричном гравитационном поле. Как и во всяком центральном поле, движение будет происходить в одной плоскости, проходящей через начало координат; выберем эту плоскость в качестве плоскости q = p/2. Воспользуемся уравнением Гамильтона-Якоби, с учетом того, что масса частицы равна нулю

g^ik ¶ S/¶ xⁱ Ч ¶ S/¶ x^k = 0

где S - действие.

Коэффициенты g^ik возьмем из решения Шварцшильда. Тогда получим уравнение движения “приведенного” фотона в центрально-симметричном гравитационном поле

e^-vE² - e^v (P'_R )² c² - N ²c²/R² = 0 …………….(9)

где e^v = 1 - R_g/R ;…….. R_g = 2kP/ c ³ - гравитационный радиус геона,

P_R - импульс каждого из фотонов; N - орбитальный момент импульса “приведенного” фотона; N c/R - центробежная энергия “приведенного” фотона.

Разложим (9) в ряд по степеням 1/R. Получим

E = P'c (1 - R_g/R + P²j /(2P')² + ...)…………….. (10)

E² = ( 1 - 2kP_R /Rc ³)² Ч(P²_R c²)/4 + ( 1 - 2kP_R /Rc ³) N ²c²/R² …….. (11)

Пусть 2pR - длина n-ой боровской орбиты. По орбите движется “приведенный” фотон с дебройлевской длиной волны l_n = 2p ћ /P_n. На длине орбиты должно укладываться n раз длина волны “приведенного” фотона l_n . Следовательно 2pR = nl_n

P_n = n ћ /R……………….(12)

где n – главное квантовое число.

N ² = ћ ² l ( l + 1 ) ………….(13)

где l –целое число.

Если учесть, что полный момент импульса J “приведенного” фотона состоит из двух слагаемых: орбитального момента l и спинового момента s , которые складываются векторно, то (13) перепишется следующим образом

J ² = ћ ² j ( j + 1 ) …………… (14)

где j - квантовое число полного момента импульса. При качественном анализе, подставляя в (11) вместо P_R величину n ћ /R, вместо N ² величину ћ ² j ( j + 1 ) , получим

E ² = n² ћ ² c²/4R² (1 - 2 l²_пл n/R²) ² + ћ ² c²/R² (1 - 2 l²_пл n/R²)[ j ( j + 1 )] ….(15)

где l_пл - фундаментальная планковская длина, которая здесь появляется автоматически благодаря найденному нами новому выражению для гравитационного радиуса геона.

Отметим, что если для одиночного фотона полный момент импульса j пробегает значения 1,2,3,… j № 0, то для системы из двух фотонов полный момент импульса j пробегает значения 0,2,3,4,5….Значение j = 1 невозможно ([6],с.33,с.47).

Полный момент импульса существенным образом влияет на график зависимости E(R) полной энергии геона вблизи сингулярной точки R=0. Действительно, пусть n=1 , j=2 .

Тогда график функции E(R) будет иметь вид (фиг.2).

Hа фиг.2 изображена только правая часть графика E(R) при R>0. При R<0 левая часть графика симметрична правой его части. Kривая графика между точками 1 и 2 отсутствует (является мнимой), что характерно для любой черной дыры.

Из фиг.2 видно, что наличие центробежной энергии N c / R в корне меняет поведение геона вблизи сингулярной точки (R=0). Геон в этом случае имеет не один, а два горизонта событий - внешний и внутренний ( точки 1 и 2), разделенные промежутком ”0,9 l_пл. Сингулярное состояние достигается геоном при R=0. Однако из фиг.2 видно, что при приближении геона к сингулярному состоянию его полная энергия растет, что соответствует отталкиванию от сингулярности. Таким образом, область R, меньшая ”0,5 l_пл, соответствует антигравитации. Рост полной энергии геона и, соответственно, отталкивание от сингулярной точки обусловлено центробежной энергией геона.

В том случае, когда безмассовые кванты энергии обладают еще и зарядами, выражение для e^v из соотношения (9), согласно решения Райснера-Hордстрема, необходимо записать следующим образом

e^v = 1 - R_g/R + kQ²/c⁴R²…………….. (16)

где Q- общий заряд геона.

E² = (1 - R_g/R + kQ²/c⁴R²)²(P'_R)²c² + (1 - R_g/R + kQ²/c⁴R²)P²jc²………(17)

Вспомним теперь, что заряд частицы можно выразить через постоянную тонкой структуры a

Q² = a ћ c

Отметим, что постоянная тонкой структуры или константа Зоммерфельда a при v= c в планковских масштабах должна быть равна 1. Здесь гравитация также становится сильным взаимодействием. Так как заряженный безмассовый квант движется со скоростью света, то для него отсюда следует

kQ² /c⁴ R² = k ћ /c³ R² = l²_пл /R²…………… (18)

При качественном анализе, подставляя в (17) вместо P²_R величину n² ћ ²/R² , вместо P²j величину ћ ²/R² j ( j + 1 ), а вместо заряда Q² величину ћ c, получим следующее уравнение

E ² = n² ћ ² c²/4R² (1 - l²_пл n/R²) ² + ћ ² c²/R² (1 - l²_пл n/R²)[ j ( j +1)]……(19)

Отметим также,что в геоне при j і 2 выполняется так называемое правило космической этики:"нельзя обнаружить сингулярность", сформулированноe Пенроузом.Для этого рассмотрим эволюцию графика E(R) на фиг.3 в зависимости от величины полного момента импульса N.

Действительно, сингулярность, открытая во внешний мир и доступная наблюдателю, на графике имела бы вид, как показано на фиг.3а. Фигура 3б. отражает ситуацию так называемого экстремального керровского отона (вращающейся черной дыры), когда оба горизонта событий (точки 1 и 2 ) совпадают. Фиг.3в. отражает ситуацию с двумя разделенными горизонтами событий. Наконец, рис.3г. отражает ситуацию с одним горизонтом событий, когда полный момент импульса равен нулю, то есть вращения черной дыры нет. В случае вращающейся массивной черной дыры расстояние между горизонтами событий зависит от скорости вращения. Однако в геоне скорость фотонов на "круговой орбите" максимальная и равна скорости света, тем не менее здесь оба горизонта событий разделены промежутком 0,9 l _пл, что и подтверждает правило, сформулированноe Пенроузом.

Отметим также, что теперь мы больше уже не имеем права писать выражение для инвариантного интервала dS без метрических коэффициентов g _ik , так как в планковских масштабах они не могут быть приравнены к единице даже в инерциальных системах отсчета.

dS ² = (1 - R_g / R)c²dt ² - dR² / (1 - R_g / R) - R²(dq ² + sin² q dj ² ); ………(20)

Это решение описывает геометрические свойства пространства-времени, обусловленные точечной массой М , находящейся в начале "сферической" системы координат. На больших расстояниях, когда величиной R_g / R можно пренебречь по сравнению с единицей, выражение для интервала (20) переходит в интервал СТО, записанный в сферической системе координат, а именно

dS ² = c²dt ² - dR² - R²(dq ² + sin² q dj ² );…………(21)

dS ² = (1 - 2l²_пл / R²) c²dt ² - dR² / (1 - 2l²_пл / R²) - R ²(dq ² + sin² q dj ² );….(22)

Из (22) видно, что даже в микромире вплоть до расстояний 10 ^-30 см мы с большой точностью все еще можем пользоваться интервалом (21), т.е. вплоть до этих расстояний справедливы соотношения специальной теории относительности.

Уравнения (11) и (17) для полной энергии незаряженного и заряженного геонов можно исследовать не только качественно, но и подвергнуть строгому математическому анализу, заменив соответствующие величины их операторами и, возможно даже, линеаризовав эти уравнения по аналогии с уравнением Дирака. Эту сложную задачу автор не рассматривает и предлагает её для тех читателей, кто заинтересуется данной проблемой. Тем не менее изложенное выше качественное рассмотрение взаимодействия фотонов в планковских масштабах позволяет понять многие существенные стороны поведения материи на наиболее глубоком уровне физической реальности.

В статье рассмотрена модель геона - объекта с линейным размером l_пл =10 ^-33 cм и массой m_пл= 10 ^-5г. Здесь мы вплотную приблизились к области, где действуют законы планковской физики. Какие можно сделать выводы ?

Фундаментальные планковская длина l_пл =10 ^-33 см и планковская масса m_пл= 10 ^-5 г, видимо, могут появиться только в модели геона. Именно здесь константы ћ, c, k объединяются естественным образом. В противовес феноменологическим концепциям теорий, где планковские величины насильно вводятся в 4 – мерный континуум (как, например, в теории струн [9]), в рамках модели геона l_пл и m_пл появляются автоматически, как следствие гравитационного взаимодействия безмассовых квантов энергии.

Планковские геоны могут претендовать на роль “истинно элементарных частиц”. При этом, как явствует из статьи, “истинно элементарные частицы” в итоге оказываются микроскопическими черными дырами, что, вероятнее всего, решает проблему ультрафиолетовых расходимостей в квантовой теории поля. Действительно, как отмечалось в ([4],с.469) , многочисленные попытки ввести в рамках СТО фундаментальную длину, чтобы построить свободную от расходимостей теорию, неизбежно приводит к нарушению принципа причинности. Однако там же ([4],с.479) было указано, что в рамках ОТО длина l_пл лишала бы понятие пространства внутри сферы Шварцшильда его физического смысла, а R_g отделяло бы эту область от реального мира физических явлений, сохраняя в нем причинные связи в их первоначальном виде. Планковские геоны как раз и являются объектами с указанными свойствами.

Отмечалось также, что " …одна из наиболее ощутимых неприятностей в динамической (на основе гамильтонова формализма) квантовой теории поля состоит в возникновении расходящихся интегралов при решении квантово-полевых задач…Устранение расходимостей при помощи перенормировки масс и зарядов является некоторой удачной полумерой, которая всегда вызывала у физиков определенное чувство неудовлетворенности. Возникновение расходимостей, по всей вероятности, обусловлено использованием в современной теории поля метрики специальной теории относительности, что связано с пренебрежением в теории поля гравитационными эффектами. Последнее обстоятельство, по всей видимости, приводит к существенному пороку теории: к неприменимости ее для очень малых областей пространства и расходимостям при больших импульсах. Вполне возможно, что квантовую теорию поля следует строить на базе общей теории относительности, т.е. на базе общековариантного формализма. При этом необходимо решить вопрос о квантовании нелинейных уравнений поля, что представляет, как известно, определенную математическую трудность. Можно надеяться, что на этом пути удастся построить квантовую теорию поля, применимую для сколь угодно малых областей пространства и лишенных таких пороков, как расходимость. В такой теории можно будет найти соотношения между "затравочными" и экспериментальными массами и зарядами. Определив из этих соотношений "затравочные" массы и заряды, мы избавимся от необходимости выполнения процедуры перенормировки масс и зарядов." ([7], стр. 6-7).

Далее. Изложенные в § 2 и § 3 рассуждения по гравитационному взаимодействию двух фотонов можно перенести и на одиночный безмассовый квант энергии, взаимодействующий с собственным гравитационным полем. Полная энергия такого самодействующего фотона будет иметь не привычный нам вид E = P c, а будет выглядеть следующим образом :

E² = P² c² ( 1 - kP/Rc ³)² + N ²c²/R² ( 1 - kP/Rc ³)

что аналогично уравнению (11), но здесь R необходимо сопоставить с длиной волны l фотона.

Тогда при энергии E_пл = 10¹⁹ Гэв одиночный фотон должен превратиться в микроскопическую черную дыру (самоколлапсировать), но, видимо только в поле другой частицы (согласно закону сохранения импульса), так как планковская черная дыра имеет планковскую массу и поэтому не может двигаться со скоростью света.

При этом полный момент импульса фотона j не может принимать значения равные нулю в силу поперечного характера волновой функции фотона. Это автоматически исключает возможность достижения коллапсирующим фотоном сингулярного состояния из-за отталкивающего характера центробежной энергии Pj c. Поэтому одиночный фотон, взаимодействующий с собственным гравитационным полем, с физической точки зрения, более предпочтителен, чем система из двух фотонов, в которой возможно состояние j = 0.

Однако возможность самоколлапса, видимо, предполагает наличие внутренней структуры у фотона и, следовательно, его массы, что на самом деле не соответствует действительности. Тем не менее, исходя из общих соображений (наличие у фотона собственной гравитационной энергии), вариант самоколлапсирования одиночного безмассового кванта с энергией E_пл = 10¹⁹ Гэв вполне реален. По крайней мере, автор статьи в этом не сомневается.

Сверхмалые расстояния можно “прощупать” с помощью высокоэнергичных безмассовых квантов энергии (фотонов и т.п.). Но так как при планковской энергии 10¹⁹ Гэв безмассовые кванты превращаются в микроскопические черные дыры (коллапсируют), то в этом случае больше не существует инструментария для исследования расстояний, меньших l_пл = 10 ^-33см. Следовательно, представление о расстояниях, меньших l_пл =10 ^-33см, то есть вне пределов их возможной физической верификации, беспредметно. Это противоречило бы принципу наблюдаемости, согласно которому в науку нельзя вводить принципиально ненаблюдаемые величины, в данном случае расстояния, меньшие планковской длины.

В связи с этим отметим следующее. Уравнение (3) в применении его к одиночному фотону ( с учетом того, что PЧR = ћ ) можно записать таким образом

E = Pc - kP²/c²R = Pc - kc ³P ³ /c⁵ ћ = Pc (1- (Pc/E_пл)^{1 / 2})………. (3'')

где E_пл = (ћ c⁵ /k)^{1 / 2} = 10 ¹⁹ Гэв

Объединение электромагнитного, слабого и сильного взаимодействий происходит при энергии 10 ¹⁵ Гэв. Проанализируем, как ведет себя фотон при таких энергиях. Из (3'') имеем

Мы видим, что зависимость полной энергии фотона от его гравитационной составляющей при кинетической энергии фотона 10¹⁵ Гэв практически нулевая. Это будет сверхжесткий фотон, еще вполне способный строить пространственно - временные отношения между телами. При энергии же 10¹⁹ Гэв фотон свою способность к созданию пространственно-временных отношений уже теряет (как и любой другой безмассовый квант энергии) , превращаясь в микроскопическую черную дыру с планковскими размерами 10 ^-33 см. Именно в этом смысле и можно ,по нашему мнению, говорить о квантовании пространства-времени в планковских масштабах (если вообще в данном случае можно пользоваться понятием “квантование пространства-времени”?).

Мы считаем также, что реальные планковские геоны с массой 10 ^-5 г не “испаряются”, а являются устойчивыми образованиями. Дело в том, что может “испариться” вся масса чёрной дыры, за исключением той её части, которая связана с энергией нулевых, квантовых колебаний вещества чёрной дыры. Такие колебания не повышают температуру объекта и их энергия не может излучиться. Остаточная масса составляет10 ^-5 г, независимо от того, какова была начальная масса чёрной дыры ([5],с.210). В таком случае планковские геоны могли бы служить “затравочными” ядрами других элементарных частиц. Наблюдаемые массы элементарных частиц, которые гораздо меньше планковской массы, могут быть следствием дефекта масс при образовании связанной системы из нескольких геонов (см.[4]).

В заключение отметим следующее. Большинство современных моделей Вселенной опираются на допущение, что в течение времени от планковского с t_пл = 10 ^{- 43} с до t_u = 10 ^{- 35} с (время, характерное для большого объединения) Вселенная развивалась по де Ситтеру и увеличила свои размеры от планковского (10 ^{- 33} см) до гигантского размера, существенно превышающего размеры Метагалактики. В некоторых моделях размер “пузыря” достигает 10^1000000 см. Если это действительно так, то ясно, что планковские геоны, возникающие при энергии E_пл = 10¹⁹ Гэв, оказываются разбросанными на огромные расстояния и поэтому их экспериментальное обнаружение вряд ли возможно. Однако в последнее время появились указания на то, что инфляционный сценарий начальной стадии эволюции Вселенной, по-видимому, неверен [8]. Тогда можно было бы отождествить планковские черные дыры с темной материей.

1. Misner C., Wheeler J., Ann. of Phys., 2 №6, (1957)

3.Klimets A.P. FIZIKA B (Zagreb) 9 (2000) 1, 23-42 или http://fizika.hfd.hr/fizika_b/bv00/b9p023.htm

4. Марков М.А., Может ли гравитационное поле оказаться существенным в теории элементарных частиц ? в сб. “Альберт Эйнштейн и теория гравитации”, Москва, Мир, 1979

8. Глинер Э.Б., УФН 172 221 (2002)

9. Маршаков А.В., УФН 172 977 (2002)

E-mail: aklimets@mail.ru

Вернуться к содержанию

Вернуться на главную страницу