Другие статьи

 

 

Обобщенная специальная теория относительности

Игорь Елкин

 

 СТО – это частный случай данной теории, поэтому это не опровержение СТО.

 Общие преобразования Лоренца используют математический аппарат, который опровергнуть невозможно. Если к ним добавить постулаты теории относительности и рассматривать пространство событий, описывающее физическое пространство, внутри всего светового конуса, то однозначно получаются коэффициенты преобразований из СТО. Если в пространстве событий рассмотреть поверхность светового (изотропного) конуса, то для этого подпространства можно ввести постоянный коэффициент для известных преобразований из СТО.
 Можно рассмотреть вариант, когда СТО  и сопутствующая СТО теория (ССТО) могут существовать одновременно.
 Право на существование любых предложенных преобразований координат в пространстве Минковского – это:
1.      существование инварианта двух точек, или неизменного интервала.
2.      ортогональность предложенных преобразований.

(1. и 2. покажем при дальнейшем рассмотрении).

 Изменение времени и расстояния обычного трехмерного пространства придвижении приводит нас к рассмотрению сигнала световых часов. Это означает, что мы рассматриваем событие прихода светового сигнала на зеркало и отправление сигнала от зеркала . Это означает, что информация об этих событиях могла быть доставлена только световым сигналом, что соответствует поверхности светового конуса.
 Так как мы рассматриваем движение тела относительно наблюдателя, то приближение или удаление тела, движение трансверсально, будут восприниматься разными наблюдателями по-разному. Поэтому наблюдатели находятся не в одинаковых условиях. При этом один наблюдатель видит одни размеры движущегося тела, другой другие. Ведь никого не удивляет разница звука приближающегося и удаляющегося поезда – разная длина волны звука у одного поезда.
Рассмотрение движения световых часов приводит к изучению расстояния между часами и наблюдателем или к полярным координатам. При движении тела в полярных координатах известны две скорости $V_r$ и $V_\beta$. Основное требование при таком рассмотрении – это сохранение пути сигнала в световых часах при разных положениях часов.
  Запишем эти скорости в Декартовых координатах. При прямолинейном движении всегда ось $x$можно направить параллельно прямой движения, значит координата $y$у нас не меняется. Тогда:
$V_r =\frac{dr}{dt}=\frac{Wx}{\sqrt{y^2+x^2}}$             (1)
$V_\beta=\frac{rd\beta}{dt}=\frac{rd(\arctg\frac{y}{x})}{dt}=\frac{Wy}{\sqrt {x^2+y^2}}$         
Где
$W=\frac{dx}{dt}$                                     
В пространстве событий на световом конусе преобразования координат Лоренца могут быть изменены на постоянный множитель $J$см. http://ielkin1.livejournal.com/ :

$x=\frac{J(x^1+Vt^1)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$           (2)
$t=\frac{J(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{\sqrt{1-(\frac{V^2}{c^2})}}$                                           
$y=Jy^1$,   $z=Jz^1$,                    
где                                          
$J=\frac{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt{1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$                             
$V=\sqrt {V_r^2+V_\beta ^2}$– модуль скорости.           
Получили преобразования:                                
x=$\frac{(x^1+Vt^1)}{(1-\frac{V_r}{c})(\sqrt{1-\frac{V_\beta ^2}{c^2}})}$                                                 (3)
t=$\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt {1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$
y=$\frac{y^1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt{1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$  
z=$\frac{z^1\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}{(1-\frac{V_r}{c})\sqrt {1-\frac{ V_\beta ^2}{c^2}}}$  

 Вернемся к вопросу об ортогональности преобразований (3) и наличии инварианта – интервала на поверхности изотропного конуса.
1.      В случае преобразований (3) постоянный множитель $J$может быть вынесен за скобку при вычислении интервала, в скобках остается вычисленный по СТО интервал, который на поверхности изотропного конуса =0. Следовательно, интервал в нашем случае с любой системе координат =0.
2.       Ортогональность преобразований доказывается похожим способом на сайте http://ielkin1.livejournal.com/

   .

Ясно, что при координате $x$<<$y$ или при совпадении оси $y$с осью $y^1$расстояние не меняется, поэтому $V_r$=0 и все формулы переходят в известные преобразования Лоренца для СТО, с известными выводами.

x=$\frac{(x^1+Vt^1)}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$          (4)
t=$\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{\sqrt{1-\frac{V^2}{c^2}}}$                                            
$y=y^1$,   $z=z^1$,
 При совпадении оси $x$и оси $x^1$или при $y$<<$ x$ угол не меняется, поэтому  можно считать  $ V_\beta $ =0 и преобразования  координат будут из ССТО:

$x=\frac{(x^1+Vt^1)}{1-\frac{V}{c}}$                            (5)
$t=\frac{(t^1+x^1\frac{V}{c^2})}{1-\frac{V}{c}}$                                               
$y=\frac{y^1\sqrt{1+\frac{V}{c}}}{\sqrt{1-\frac{V}{c}}}$
$z=\frac{z^1\sqrt{1+\frac{V}{c}}}{\sqrt{1-\frac{V}{c}}}$   
Обратные преобразования для (5) будут: решения уравнений(5) относительно штрихованных координат:

$x^1=\frac{(x-Vt)}{(1+\frac{V}{c})}$                               (6)
$t^1=\frac{(t-x\frac{V}{c^2})}{1+\frac{V}{c}}$                                               
$y^1=\frac{y\sqrt{1-\frac{V}{c}}}{\sqrt{1+\frac{V}{c}}}$
$z^1=\frac{z\sqrt{1-\frac{V}{c}}}{\sqrt{1+\frac{V}{c}}}$     
Здесь рассматривается положительное значение $V= V_r$– удаление.  В случае приближения знак скорости $V_r$поменяется.

Считаю важным отметить факт определения размеров. Так как рассматриваем все происходящее на световом конусе, и для того, чтобы рассматриваемые интервалы были бы пространственно подобными требуется рассмотрение различных наблюдателей из одной  временной точки. А так как любое перемещение у нас связано с изменением координаты времени и так как мы рассматриваем все с точки зрения пути светового сигнала, то разные пространственные координаты означают и разные временные координаты. Поэтому, чтобы рассмотреть размеры разных тел, надо совместить по пространственной координате движения всех наблюдателей и объекты измерения.

 

 

                     Обсуждение на форуме.

1. Вопрос:

Так в чем, собственно, состоит предложение? В замене преобразований Лоренца какими-то другими преобразованиями? Можно как-то это четко сформулировать?

  Ответ:

У нас основные преобразования – преобразования (3).  
Предельный случай:
1). - преобразования (3) переходят в известный вариант ПЛ - преобразования (4) - этот вариант возникает, когда изменением расстояния между центрами координат ИСО движущейся и неподвижной можно пренебречь.  Например, ось x' параллельна оси x и находится на расстоянии R = const, центр координат движущейся ИСО приближается к оси "y" на расстояние <<R. Движение предмета по окружности будет в точности описываться формулами СТО. Например поперечный Доплер эффект будет описываться СТО.
2). - преобразования (3) переходят в преобразования (5) - этот вариант возникает, когда ось" x' " совпадает с осью "x". Или расстояние R<<  расстояния между центрами координат. Это случай, когда изменением угла между прямой соединяющей центры координат и осью "x" можно пренебречь.
Здесь продольный Доплер эффект будет описываться точно (без всяких примерно) классической формулой, полученной из (5).    

 

 2. Вопрос:

А как вы считаете, что вообще описывают преобразования Лоренца?

 Ответ:

Преобразование
$X^1_i=\sum_{k=1}^{4}q_{ik}X_k+b_i$,  Det$q_{ik}\neq0$,
представляющее некоторое движение в пространстве Минковского, называется общим преобразованием Лоренца. Общее преобразование Лоренца характеризуется условием ортогональности матрицы   $Q=(q_{ik})$.
 Предложенные преобразования (3) являются преобразованиями Лоренца. В связи с рассмотрением изотропного конуса появляется возможность  задавать различные коэффициенты, отличающиеся на постоянный множитель, таковыми являются преобразования (3).
 Предельные случаи приведены для того, чтобы показать возможность использования более простых и привычных формул, при удалении из (3) малых членов.  

 

3. Вопрос:

«Давайте попробуем договориться о терминологии. В популярной литературе преобразованиями Лоренца обычно называют это

$$ x'=\frac{x-vt}{\sqrt{1-v^2}},\quad t'=\frac{t-vx}{\sqrt{1-v^2}} $$



(вы уж извините, но буду использовать систему единиц c=1). Вы это предлагаете обобщать?

Но тогда зачем они так сложно записываются? x'=ax, t'=bt --- вот вам и соотношение масштабов. ИМХО, в преобразованиях Лоренца есть кое-что сверх "сокращения длины" и "замедления времени". Вы не согласны?»

Ответ:

Да, указанные Вами преобразования в популярной литературе называют «преобразованиями Лоренца». Но на самом деле эти преобразования гораздо шире и не имеют определенных коэффициентов. Эти преобразования сводят к преобразованиям (3):
$\acute\\t=At+Bx$
$\acute\\x=Dt+Ex$                                                  (3)
$\acute\\y=y$
$\acute\\z=z$
Используя неизменность интервала и ограничение скорости скоростью света, получаем $A,B,D,E$. То есть физический смысл коэффициентов именно в этом.
Предложенное обобщение состоит в некотором пересмотре значений $A,B,D,E$. В одном из двух предложенных предельных случаях – эти коэффициенты совпадают с «преобразованиями Лоренца». 
Геометрический вывод преобразований Лоренца не поместился на сайт см. http://ielkin3.livejournal.com/