Длина береговой
линии. Фрактальная размерность.
(
По материалам сайта
programmersclub.ru )
При изучении географии вы,
конечно, помните, что каждая из стран имеет свою площадь территории и длину границы,
в частности, если страна омывается каким-либо морем или океаном, то она имеет
морскую границу определенной длины. Задумывались ли вы когда-либо, как эту
длину границы определяют? В 1977 г. американский математик Бенуа Мандельброт
поставил перед собой следующий вопрос: чему равна длина береговой линии
Великобритании? Оказалось, что корректно ответить на этот "детский
вопрос" не удается. В 1988 г. норвежский ученый Енс
Федер решил выяснить, чему равна длина береговой
линии Норвегии. Обратите внимание на то, что побережье Норвегии сильно изрезано
фиордами. Другие ученые задавали себе аналогичные вопросы о длинах береговых
линий побережий Австралии, Южной Африки, Германии, Португалии и других стран.
Мы можем измерить длину береговой линии
только приблизительно. По мере того как мы уменьшаем масштаб, нам приходится
измерять все больше маленьких мысов и бухт - длина береговой линии
увеличивается, и объективного предела уменьшению масштаба (и, тем самым,
увеличению длины береговой линии) просто не существует; мы вынуждены признать,
что эта линия имеет бесконечную длину. Мы знаем, что размерность прямой линии
равна одному, размерность квадрата - двум, а размерность куба - трем.
Мандельброт предложил использовать для измерения "чудовищных" кривых
дробные размерности - размерности Хаусдорфа - Безиковича. Бесконечно изломанные кривые, подобные
береговой линии - не вполне линии. Они как бы "заметают" часть
плоскости, подобно поверхности. Но они и не поверхности. Значит, резонно
предположить, что их размерность больше одного, но и меньше двух, то есть это
дробно-размерные объекты.
Норвежский ученый Е. Федер,
предложили другой способ измерения длины береговой линии. Карту покрыли
квадратной сеткой, ячейки которой имеют размеры е ? е.
Видно, что число N(e) таких ячеек, которые покрывают береговую линию на карте,
приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию
циркулем с раствором e. Если е уменьшать, то число N(e) будет возрастать. Если
бы длина береговой линии Великобритании имела определенную длину L, то число
шагов циркуля с раствором (или число квадратных ячеек N(e), покрывающих
береговую линию на карте) было бы обратно пропорционально e, а величина Ln(e)=N(e) ? e при уменьшении к
стремилась бы к постоянной L. К сожалению, расчеты, проведенные многими
учеными, показали, что это не совсем так. При уменьшении шага измеренная длина
возрастает. Оказалось, что взаимосвязь измеренной длины L(e) и шага e может
быть описана приближенным соотношением
Коэффициент D называется фрактальной
размерностью. Слово фрактал происходит от латинского слова fractal
- дробный, нецелый. Множество называется фрактальным, если оно имеет нецелую
размерность. Для Норвегии D=1,52, а для Великобритании D=1,3. Таким образом,
береговая линия Норвегии и Великобритании - фрактал с фрактальной размерностью
D. Расчеты были также проведены и для окружности, и фрактальная размерность
окружности D=1, что и следовало ожидать. Таким образом, фрактальная размерность
- обобщение обычной размерности.
Как это понимать и что бы это могло
означать? Математики стали вспоминать, было ли что-либо подобное раньше в
математике или нет? И вспомнили! Рассмотрим часть некоторой линии АВ на плоскости
(рис. 3). Возьмем квадрат с ребром e и спросим себя: сколько нужно квадратиков
N(е) с ребром длиной е, чтобы покрыть линию АВ такими квадратиками? Видно, что
N(e) пропорционально
Аналогично, если замкнутую ограниченную
область на плоскости (рис. 4) покрыть квадратной сеткой со стороной e, то
минимальное число квадратиков со стороной е, покрывающих область, будет равно
Если мы рассмотрим замкнутую ограниченную
область в трехмерном пространстве и возьмем кубик с ребром e, то количество
кубиков, заполняющих эту область,
Определим фрактальную размерность исходя из
выше изложенного в общем случае следующим образом:
Возьмем логарифм от левой и правой частей
Переходя к пределу при e, стремящемся к нулю (N, стремящемся к бесконечности), получим
Это равенство является определением размерности которая обозначается d.
Вернемся к нашей исходной задаче.
Рассмотрим длину береговой линии L(е) = аoe1-d и сделаем следующие
преобразования:
т.е. N(e) пропорционально
и переходя к пределу, имеем
Таким образом, d - размерность.
Расчеты показывают, что
Таким образом, береговые линии
Великобритании и Норвегии являются фракталами и имеют фрактальную размерность
1,3 и 1,52, соответственно.