АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

Е. В. Бурлаченко

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

(Продолжение; начало см. в [1])

4.2. Преобразование «поворот»

4.2.1

Рассмотрим множество векторов , где принимает все целочисленные значения, , , , (т.е. первый отличный от нуля член положителен), – произвольный вектор. Таблицу, -й строкой которой является ,обозначим :

где . Каждую строку таблицы заменим восходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, результат обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т. д. Например:

: :

, .

Каждую строку таблицы заменим нисходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т. д. Например:

: :

Преобразование, отображающее каждую строку таблицы на одноименную строку таблицы , назовем -м поворотом таблицы и обозначим , имея в виду, что для всех преобразование одно и то же.

Во введении было показано, что

где определяется уравнениями

, .

Доказательство опиралось на ряды Лагранжа. Чтобы подчеркнуть элементарность рассматриваемой конструкции, опишем ее, не ссылаясь на ряды Лагранжа.

Представим таблицу, нулевая строка которой совпадает с вектором , все члены нулевого столбца равны . Остальные элементы не определены. Отталкиваясь от этих начальных условий, составим таблицу , где – -я нисходящая диагональ составляемой таблицы, – определенный вектор (по определению ).

Умножая вектор , два первых члена которого известны, на , где последовательно принимает все значения, получаем первый столбец составляемой таблицы. Умножая , три первых члена которого известны, на , получаем второй столбец составляемой таблицы, и т. д. Таким образом действительно получаем таблицу, нисходящие диагонали которой связаны равенством

Аналогичным образом, отталкиваясь от тех же начальных условий, можно составить таблицу , где – -я восходящая диагональ составляемой таблицы. Например, при :

При замене нулевой строки таблицы на , должна получиться таблица, -й столбец которой совпадает с -м столбцом таблицы . Тем самым доказывается, что коэффициент при в разложении -го члена -й строки таблицы по членам нулевой строки равен коэффициенту при в разложении -го члена. Следовательно, -я строка таблицы имеет вид , где – определенный вектор. При замене нулевой строки на должна получиться таблица, -я строка которой ( – целое число) совпадает с -й строкой таблицы . Тем самым доказывается, что – это -я степень .

Аналогичные рассуждения применимы и к таблице .

Таким образом,

, .

Другими словами, если строки таблицы связаны равенством , то ее восходящие диагонали связаны равенством , нисходящие диагонали связаны равенством .

Обобщая, выводим:

где , – определенные векторы.

Обозначим: . -й член -й строки таблицы обозначим . Тогда . Если , то , . -й член -й строки таблицы обозначим . Так как нулевая строка и нулевой столбец таблицы известны, остальные элементы таблицы находим по правилам:

Например,

: :

, .

Так как при

то

Например,

: :

, .

Преобразование отображает -ю строку таблицы на -ю восходящую диагональ, -й член которой равен . Следовательно, -я строка матрицы совпадает с -й строкой матрицы , и, как видно из таблицы , -й столбец матрицы совпадает с умноженной на -й восходящей диагональю таблицы .

Таким образом,

где – нулевая восходящая диагональ таблицы . Например,

Аналогично, -я строка матрицы совпадает с -й строкой матрицы , -й столбец совпадает с умноженной на

минус -й нисходящей диагональю таблицы :

где – нулевая нисходящая диагональ таблицы . Например,

Так как является матрицей поворота таблицы :

где – нулевая восходящая диагональ таблицы , она также является матрицей поворота таблицы , где – произвольный вектор. То же относится к матрице .

По определению -я строка таблицы совпадает с -й строкой таблицы , так что

Так как

то

т.е

Аналогично, -я строка таблицы совпадает с -й строкой таблицы , так что

Переобозначим:

Обозначим:

Тогда

Вектор находим из уравнения

Пусть

, ; при , .

Тогда

Пусть

, ; при , .

Тогда

Пусть

, ; при , .

Тогда

Пусть

, ; при , .

Тогда

4.2.2

Пусть , – векторы, связанные первым поворотом таблицы и минус первым поворотом таблицы :

-ю строку таблицы , , умножим на , нулевую восходящую диагональ умножим на . Полученную таблицу обозначим ; -ю строку таблицы , , умножим на , нулевую нисходящую диагональ умножим на . Полученную таблицу обозначим . Сформулируем основное свойство изучаемой структуры в виде утверждения: -я восходящая диагональ таблицы совпадает с -й строкой таблицы , -я строка таблицы совпадает с -й нисходящей диагональю таблицы . Например:

: :

Рассмотрим вектор

Если вектор имеет вид , его -й член равен нулю. Умножая каждую строку таблицы на , получаем таблицу, нулевой нисходящей диагональю которой является :

Аналогично,

Так как

то

Таким образом,

Так как

то

-й член -й строки таблицы обозначим , -й член -й строки таблицы обозначим , . Так как

то

Так как

то

, .

При получаем доказательство утверждения о таблицах и .

4.2.3

По определению логарифма и экспоненты

Отсюда вытекает, что если

– последовательность строк матрицы , то

Соответствие между строками матрицы , , и значениями вектора , обобщая биномиальный ряд, назовем биномиальной формой записи вектора и обозначим

В формуле общего члена подразумевается, что , . Коэффициенты могут быть комплексными числами, необходимыми для представления вектора в виде

Используя биномиальную форму записи вектора , составим таблицу (по определению ). Первый член -ой строки таблицы равен , -й член -ой строки равен :

Множество строк с положительными номерами назовем верхней половиной таблицы, множество строк с отрицательными номерами – нижней половиной таблицы. Пользуясь равенством и подстановкой , выводим, что -й член -ой строки верхней половины таблицы , , равен :