АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

Е. В. Бурлаченко

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

(Продолжение; начало см. в [1])

4. Обобщенное преобразование Эйлера и оператор сдвига

4.1. Собственные базисы

4.1.1

Обобщенным преобразованием Эйлера называется преобразование, матрица которого транспонирована к матрице оператора сдвига на :

Обозначим:

, ,

Тогда

, ,

, .

Преобразования и являются отражениями:

, .

Пространство векторов, отображаемых преобразованием на себя, назовем тождественным подпространством преобразования и обозначим ; пространство векторов, отображаемых на противоположные, назовем антитождественным подпространством преобразования и обозначим . Аналогичные подпространства преобразования обозначим и .

Векторы и назовем спаренными.

Преобразования и не имеют собственных векторов, кроме и , соответственно, поэтому их удобно представлять в виде композиции отражений:

, .

Таким образом, преобразование векторы пространства отображает на спаренные, векторы пространства – на противоположные спаренным. Преобразование векторы пространства отображает на спаренные, векторы пространства – на противоположные спаренным.

Поскольку мы не затрагиваем вопроса о сходимости рядов, в область определения преобразований и входят только конечные векторы, иначе говоря – полиномы. Хотя, казалось бы, если

то

безотносительно к вопросу о сходимости рядов. Например, так как

то справедливо равенство

где

Но

так как

Дело в том, что произведение бесконечных матриц ассоциативно, только если все строки или все столбцы матриц , , конечны [2, стр.21]. Все строки и столбцы матрицы конечны, но строки матрицы бесконечны. Поэтому, если – бесконечный вектор, то

Последовательность векторов, четные члены которой образуют базис пространства , а нечетные – базис пространства , назовем собственным базисом преобразования . Аналогичным образом определим собственный базис преобразования .

Равенство

означает, что преобразование четные столбцы матрицы умножает на , а нечетные столбцы умножает на . Следовательно, последовательность столбцов матрицы образует собственный базис преобразования .

Равенство

означает, что последовательность столбцов матрицы образует собственный базис преобразования .

Отметим характерные свойства преобразований , :

;

Составляющие вектора в пространствах и соответственно равны

, ,

так что

Между преобразованиями , и векторами вида существует определенная связь, изучению которой посвящены статья [3] и разделы 4 – 6 статьи [4]. Отметим, например, равенства:

которые при транспонировании выражают: корни строк матрицы через корни строк матрицы , -я строка которой, , имеет вид

;

корни сторок матрицы через корни строк матрицы , -я строка которой, , имеет вид

;

корни строк матрицы через корни строк матрицы , -я строка которой, , имеет вид

, , ,

где – целая часть от ; корни строк матрицы через корни строк матрицы , -я строка которой, , имеет вид

, , .

Матрицу и базис, образованный ее столбцами, будем обозначать одним и тем же символом. Отметим трансформации транспонированных матриц умножения в базисах , , , . Так как

где – конечный вектор, то

4.2

Рассмотрим преобразования

, .

Отметим равенства:

;

, ,

, .

Так как

то столбцы матрицы

образуют базис пространства .

Так как

то столбцы матрицы

образуют базис пространства .

Если – произвольный вектор, – конечный вектор, скалярным произведением и назовем число

Если скалярное произведение равно нулю, будем называть векторы ортогональными. Пусть матрица – двусторонняя обратная к матрице . Каждый столбец матрицы ортогонален каждому столбцу матрицы , за исключением одноименного, скалярное произведение с которым равно единице. То же самое касается столбцов матриц и . Базисы и назовем биортогональными. Для бесконечных треугольных матриц биортогональные базисы можно рассматривать как естественную замену ортогональному базису, для которого (среди бесконечных треугольных матриц этим свойством обладают только диагональные матрицы с диагональными элементами, равными ). Если – последовательность координат вектора в базисе , – последовательность координат вектора в базисе , то

Таким образом, -я координата вектора в базисе равна скалярному произведению с -м столбцом матрицы , -я координата вектора в базисе равна скалярному произведению с -м столбцом матрицы .

Понятие биортогональности обычно вводится при объединении пары взаимодополнительных векторных пространств в единую конструкцию. Взаимодополнительными в определенном смысле [2, стр.310] являются пространство всех последовательностей и пространство всех конечных последовательностей. Можно иметь это в виду, рассматривая нижние треугольные матрицы как базисы пространства всех последовательностей, а верхние треугольные – как базисы пространства всех конечных последовательностей.

Базисы и являются биортогональными.

Так как и – сопряженные преобразования, то

Если

, ,

то

, ,

Таким образом,каждый вектор пространства ортогонален каждому конечному вектору пространства .

Так как

то столбцы матрицы

образуют базис пространства .

Так как

то столбцы матрицы

образуют базис пространства .

Рассуждая так же, как в отношении матриц и , выводим, что каждый столбец матрицы ортогонален каждому столбцу матрицы .

Сопоставим столбцы матрицы со столбцами матрицы . -й столбец матрицы ортогонален первым столбцам матрицы . Его скалярное произведение с -м столбцом матрицы равно . Его скалярное произведение с -м столбцом равно -му члену вектора

т.е. нулю.

Подобным образом доказывается, что каждый столбец матрицы ортогонален каждому столбцу матрицы , за исключением одноименного, скалярное произведение с которым равно .

Таким образом,

Отметим характерную деталь. Сумма столбцов матрицы – это последовательность чисел Фибоначчи:

, , , ;

сумма столбцов матрицы – последовательность чисел Фибоначчи, «продолженная в другую сторону»:

, ;

сумма столбцов матрицы – последовательность чисел Люка:

, , , ;

сумма столбцов матрицы – последовательность чисел Люка, «продолженная в другую сторону»:

, .

Иначе говоря,

, ,

, .

В [4] показано, что

где

, ,

, ;

, , ,

, .

Так как

то

Так как

то

В [4] также показано, что -я строка матрицы совпадает с полиномом , -я строка матрицы совпадает с полиномом . Отсюда получаем равенства:

, ,

;

Аналогичные равенства получаем для транспонированных матриц.

Отметим, что -я строка матрицы , , совпадает с полиномом

-я строка матрицы , , совпадает с полиномом

Собственный базис преобразования , четные члены которого совпадают с последовательностью столбцов матрицы , а нечетные – с последовательностью столбцов матрицы , обозначим ; собственный базис преобразования , четные члены которого совпадают с последовательностью столбцов матрицы , а нечетные – с последовательностью столбцов матрицы , обозначим :

, .

Каждый столбец матрицы ортогонален каждому столбцу матрицы , за исключением одноименного, скалярное произведение с которым равно . Следовательно, если четные столбцы матрицы и нечетные столбцы матрицы умножить на , получится пара биортогональных базисов.

По сравнению с другими собственными базисами преобразования , базис интересен тем, что в -мерном пространстве, образованном первыми столбцами матрицы , содержится пространство полиномов степени . Любой вектор вида , где – полином, выражается конечной комбинацией столбцов матрицы . Другими словами, преобразование взаимно однозначно отображает пространство всех конечных последовательностей на пространство векторов вида , подпространством которого является пространство всех конечных последовательностей. Чтобы в этом убедиться, достаточно представить матрицу в виде суммы:

Отметим, что

4.3

Рассмотрим общий метод построения собственных базисов преобразований и с помощью матриц степеней.

Если

то

, .

Пусть

, , ,

где, символ означает умножение на :

Тогда

Равенство

означает, что

или

, , .

Очевидно, этим свойством обладают векторы и . Так как

то является вектором того же типа. Действительно, пусть

, .

Тогда

Пусть

В разделе 1.2 мы выяснили, что для вектора

, , ,

так что

Так как

то cтолбцы матрицы

образуют собственный базис преобразования ; столбцы матрицы

где , образуют собственный базис преобразования . Так как -я восходящая диагональ таблицы

совпадает с вектором

то -я строка матрицы совпадает с вектором

Так как (см. введение)

то

Пусть

Тогда

Так как

то

Если

то

Таким образом, если и – собственные базисы преобразований соответственно и , то и также являются собственными базисами преобразований и .

Следовательно, столбцы матрицы

образуют собственный базис преобразования ; столбцы матрицы

где

образуют собственный базис преобразования . Так как -я восходящая диагональ таблицы

совпадает с вектором , то -я строка матрицы совпадает с вектором .

4.1.4

Выделим общую схему.

Пусть

Так как

то

Так как

то

Если также

то

Таким образом, столбцы матрицы , , , образуют собственный базис преобразования .

Как мы выяснили в предыдущем разделе, если , то и .

Строки матрицы образуют собственный базис преобразования . Мы выяснили, что

Пусть , – собственные базисы преобразования ; , – собственные базисы преобразования . Так как каждый вектор пространства ортогонален каждому конечному вектору пространства , а каждый вектор пространства ортогонален каждому конечному вектору пространства , то объединив четные столбцы матрицы с нечетными столбцами матрицы , а четные столбцы матрицы с нечетными столбцами матрицы , мы получим пару биортогональных базисов.

Пусть

Тогда

Обозначим: , – базисы, образованные соответственно последовательностью четных столбцов и последовательностью нечетных столбцов матрицы ; , – базисы, образованные соответственно последовательностью четных столбцов и последовательностью нечетных столбцов матрицы . Тогда