АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

Е. В. Бурлаченко

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

(Продолжение; начало см. в [1])

3. Алгебра рядов Дирихле

3.1

Эйлер первым из математиков обнаружил, что структура множества простых чисел, которую безуспешно пытались разглядеть в рамках теории чисел, становится зримей при обращении к алгебре формальных степенных рядов.

Простое число имеет два делителя – единицу и самого себя. Если считать это определением, то единица не является простым числом. Эйлер открыл, что последовательность сумм делителей натуральных чисел является реккурентной, т.е. такой, каждый член которой по определенному правилу вычисляется по предыдущим членам. Его мемуар «Открытие наиболее необычайного закона чисел, относящегося к суммам их делителей» можно найти в [2, стр.112].

Изучая разбиения натуральных чисел, Эйлер придумал метод производящих функций, суть которого в том, что алгоритм получения искомых комбинаторных величин связывается с алгоритмом операции умножения в алгебре формальных степенных рядов. Отсюда, например, видно, что

где , – число всевозможных разбиений числа на слагаемые, т.е. число решений в неотрицательных целых числах уравнения

Раскладывая обратный ряд по степеням , находим:

Доказательство вытекает из другого равенства [3. стр.138]:

где – число разбиений на четное число неравных слагаемых, – число разбиений на нечетное число неравных слагаемых.

Пусть . Тогда

, ,

Если ряд конечен или его коэффициенты выражаются общей формулой, то последовательность коэффициентов ряда является рекуррентной. Таким образом,

Последовательность слагаемых обрывается, как только число, стоящее под знаком , становится отрицательным.

Следуя Эйлеру, прологарифмируем ряд , продифференцируем полученный результат и домножим на :

Разлагая каждый член суммы в геометрическую прогрессию, получаем:

«Мы легко здесь находим, – заключает Эйлер, – что каждая степень встречается столько раз, сколько ее показатель имеет делителей, и что каждый делитель появляется в качестве коэффициента при той же самой степени . Следовательно, если мы соберем члены с одинаковыми степенями, то коэффициент при каждой степени будет суммой делителей показателя степени». Таким образом,

где – сумма делителей числа .

С другой стороны,

Пользуясь разложением по степеням , получаем

Отсюда выводим:

Последовательность слагаемых обрывается, как только число, стоящее под знаком становится отрицательным; если появляется символ , он заменяется числом .

Формальный ряд

называется рядом Дирихле [4. стр.144]. На множестве рядов Дирихле задается операция умножения:

где

символ означает, что суммирование ведется по всем делителям числа :

Определенное таким образом умножение коммутативно и ассоциативно.

Отображение переводит алгебру рядов Дирихле в изоморфную ей алгебру, заданную на множестве

формальных степенных рядов вида

Умножение задается матрицей

-й столбец которой, , имеет вид . Как видим, это то самое преобразование, которым пользовался Эйлер для нахождения ряда : если первый столбец матрицы – ряд , то

3.2

На множестве векторов

зададим операцию - умножения:

где

-й столбец матрицы имеет вид , так что

Для обращения с величинами и можно ввести непротиворечивые правила, но нам это пока без надобности.

Так как

то

-обратным к назовем вектор , определяемый равенством

Это согласуется с тем, что – единичная матрица. Обозначим

Для краткости алгебру формальных степенных рядов будем называть - алгеброй, алгебру, задаваемую матрицами , – -алгеброй. Проследим аналогию:

, .

Так как

то

;

так как

то

Так как

то является степенным рядом:

;

так как

то является суммой и бесконечного множества степенных рядов вида

где и не принимает значений, равных степени натурального числа, отличной от .

Отсюда видно, что если при фиксированном из матрицы удалить все строки, кроме строк с номерами и все столбцы, кроме столбцов с номерами , то получится обычная матрица умножения. Например, при , :

, .

Действительно, матрицы вида

, ,

будучи степенными рядами, задают алгебру, изоморфную -алгебре: если

то

Например,

И вообще, если

то

Таким образом, в -алгебре существует аналог основной теоремы алгебры , но только для полиномов определенного вида.

В -алгебре векторы вида играют ту же роль, которую векторы вида играют в -алгебре. Последняя обладает свойством, позволяющим свободно манипулировать областью сходимости рядов. А именно, если

то

Это свойство обусловлено тем, что матрица как матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:

-алгебра обладает аналогичным свойством: если

то

Обозначим

так что , , где – оператор интегрирования. Тогда

Обозначим

Матрицу, -м столбцом которой является вектор , обозначим . Например,

, .

Видно, что матрица не имеет обратной.

Рассмотрим одностороннее произведение матрицы с матрицей степеней , . Так как

то

или

Таким образом, матрица отображает -произведение векторов на -произведение их образов. Следовательно,

Отсюда получаем для -алгебры аналоги операций возведения в степень и логарифмирования. Обозначим:

, ,

так что

;

, .

Так как

то

Отсюда вытекает, что

где

;

Так как

то

-ю строку матрицы , , , обозначим . Убедимся, что первых члена -го столбца матрицы равны нулю. Следовательно,

, ,

где – степень полинома . Так как (аналогично анализу, проведенному в разделе 1.5)

то -я строка матрицы , , имеет вид , -я строка матрицы , , имеет вид , где – степень полинома ,

-ю строку матрицы обозначим . Тогда

, .

3.3

Пусть

, .

В разделе 1.4 мы выяснили, что -я строка матрицы , , имеет вид

где

выражению соответствует разбиение , , и суммирование ведется по всем разбиениям числа на слагаемых:

Представление числа в виде произведения натуральных множителей, упорядоченных по возрастанию, будем называть разложением числа на множители. Выявим интересную аналогию между строками матриц и с одной стороны и разбиениями на слагаемые и разложениями на множители числа – с другой.

Рассмотрим таблицу, -й строкой которой является :

Представим ее в виде:

Алгоритм операции -умножения приводит к тому, что множеству слагаемых в разложении -го члена, , -й строки таблицы соответствует множество разложений числа на множителей: выражению соответствует разложение , ; коэффициент перед равен .

Множество разложений числа на множителей можно разбить на подмножества разложений с одинаковым числом единичных множителей, равным ; каждому такому подмножеству соответствует множество разложений числа на неединичных множителей. Число подмножеств не может быть больше числа множителей в разложении на простые множители.

Таким образом, -й столбец таблицы, , можно представить в виде

где – число множителей в разложении на простые множители,

, ,

выражению соответствует разложение , , и суммирование ведется по всем разложениям числа на неединичных множителей. Коэффициент перед в -й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению величины с ее долей комбинаторного коэффициента, т.е. .

Матрицу, -й строкой которой является полином

, , ,

обозначим . Тогда, как видно из таблицы,

и, следовательно,

Отсюда при получаем выражение значений через значения : -й член равен

где – число множителей в разложении на простые множители.

3.4

Рассмотрим фрагмент таблицы, -й строкой которой является (аналогичная таблица для получается умножением -го столбца на ):

Пусть символ означает единицу. Символ , , определим рекуррентной формулой

так что означает число делителей числа , и т.д.:

, , …

По определению -й член вектора , , , равен .

Представим таблицу, -й строкой которой, является вектор :

-й член -й строки таблицы – обозначим его – равен сумме первых членов предыдущей строки. Если – простое число, то, как видно из таблицы,

Пусть , где , – различные простые числа, , – натуральные числа. Тогда

Отсюда выводим

Обобщая, выводим: если

то

Так как

то

где – возрастающий факториал длины , – показатель степени простого числа в каноническом разложении числа .

Матрицу, нулевая и первая строки которой соответственно и , а -я строка имеет вид

обозначим . Тогда

Таким образом, если – -я строка матрицы

то

, , ,

где

– показатель степени простого числа в каноническом разложении числа ,

Последовательность коэффициентов ряда , рассматриваемая как функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется функцией Мёбиуса, обозначается и определяется следующим образом: если

– каноническое разложение числа , то

, если какое-либо ,

, если все .

Это соответствует нашему определению:

при ,

Обозначим:

, .

Согласно результатам предыдущего раздела,

, , ,

где – число множителей в разложении на простые множители,

, , ,

и суммирование ведется по всем разложениям числа на неединичных множителей.

Из определения полинома вытекает, что , если не является степенью простого числа, так как в этом случае первый член полинома , т.е. -й строки матрицы , равен нулю. Если , где – простое число, то первый член полинома равен . Так как первый столбец матрицы совпадает с первым столбцом матрицы , то , если .