Е. В. Бурлаченко
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
Настоящие заметки
посвящены изучению алгебры формальных степенных рядов. Формальный степенной ряд
отождествляется с вектором в бесконечномерном пространстве. Оказывается, что
представление векторов в виде степенных рядов находит отклик со стороны
структуры векторного пространства. Базисы, образованные степенными рядами, в
бесконечномерном пространстве играют такую же конструктивную роль, какую
ортогональные базисы играют в конечномерном пространстве. Алгебра формальных
степенных рядов как бы погружается в свою естественную среду обитания.
Освободившись от смысловых нагрузок, связанных с комбинаторикой и другими
математическими дисциплинами, она демонстрирует свойства, присущие ей как
организатору структуры бесконечномерного векторного пространства. Одним из
организующих начал является аналогичная вращению операция, знакомая нам по
разложению функции в ряд Лагранжа и образующая неразрывное единство с
операциями логарифмирования и возведения в степень. Благодаря пониманию этого
единства, факты, казавшиеся ранее разрозненными, начинают складываться в общую
схему.
Введение
Будем рассматривать
формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как
последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного
пространства. Обозначим:
Базис
пространства, в котором координаты каждой последовательности (т.е. коэффициенты
разложения по базисным векторам) совпадают с ее значениями, назовем основным.
Каждой матрице 
поставим в
соответствие преобразование, отоброжающее последовательность векторов основного
базиса на последовательность столбцов матрицы
. Матрицу и соответствующее ей преобразование будем
обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми
неотрицательными числами. Транспонированную к
матрицу обозначим 
. Образ вектора 
при
преобразовании обозначим 
.
Целые
неотрицательные числа будем обозначать буквами 
, 
, 
, 
, целые числа – буквами
, 
, действительные числа
– буквами 
, 
, 
.
Произведением 
назовем вектор 
, где
,
или, что то же самое, –
вектор 
, где
.
Матрицу
вида 
( -й член -го столбца матрицы равен 
и нулю при 
) назовем матрицей умножения на вектор .
Обратным
к назовем вектор 
, определяемый уравнением
.
Вектор
назовем -й степенью . -й вектор основного базиса представим как -ю степень 
. Каждый вектор запишется в виде
.
Матрицу,
-й столбец которой является -й степенью , назовем матрицей
степеней вектора и обозначим 
. Матрица степеней отображает произведение векторов на
произведение их образов:
,
так что
, 
.
Если рассматривать и 
как функции 
и 
, то выражению 
соответствует
подстановка 
.
Обозначим:
.
Убедимся, что векторы данного вида умножаются по
правилу
.
Так как
,
то
.
Обозначим:
,
так что
.
Пусть 
– элемент
матрицы 
, где – номер строки, – номер столбца. Тогда
,
где 
– комплексные числа.
Так как все члены вектора 
, начиная с 
-го, равны нулю, то 
. Таким образом,
.
Вектор
, 
,
назовем -й степенью . Так как
,
то
.
Пусть
.
Так как
, 
,
то
.
Получаем правило: если
,
то
.
Среди матриц степеней особое место занимает матрица 
: транспонированную к ней матрицу можно рассматривать
одновременно как произведение матрицы степеней и матрицы умножения и как
трансформацию матрицы умножения:
,
,
где 
– диагональная
матрица, диагональные элементы которой равны значениям вектора 
:
.
Например,
.
Первый
столбец матрицы обозначим 
. Вектор 
, , назовем логарифмом вектора и обозначим 
; вектор 
, где 
произвольно, назовем
экспонентой вектора 
и обозначим 
. Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Пусть 
и 
– преобразования,
соответствующие дифференцированию и интегрированию в алгебре формальных
степенных рядов:
, 
.
Обозначим:
, 
.
Убедимся, что
,
или
.
Следовательно,
,
,
или
.
Так как
,
то
,
.
Отсюда находим:
.
Таблицу, -й строкой которой является вектор 
, обозначим 
. Рассмотрим таблицу 
, например, при 
:
Каждую
строку таблицы 
заменим восходящей
диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим 
. С таблицей проделаем ту же
операцию, результат обозначим 
. С таблицей проделаем ту же
операцию, и т.д. Например:
Каждую
строку таблицы заменим нисходящей
диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим
. С таблицей проделаем ту же
операцию, и т.д. Например:
Найдем
преобразование 
, отображающее каждую строку таблицы на одноименную строку
таблицы 
.
Пусть 
и – формальные степенные
ряды, , 
, где – коэффициенты
ряда . раскладывается в ряд
Лагранжа по правилам [1, с.147]:
,
.
Если – нулевая строка
таблицы 
, то выражения 
и 
означают
соответственно -й член нулевой восходящей диагонали и -й член нулевой нисходящей диагонали таблицы . Пусть 
. -ю восходящую и -ю нисходящую диагонали таблицы 
обозначим
соответственно 
и 
. Так как
, 
,
то
,
.
Отсюда видно, что
,
,
где 
и 
– определенные
векторы,
,
.
Следовательно,
,
.
Вернемся к прежним
обозначениям:
.
Мы выяснили, что
,
,
,
.
Нулевая строка
таблицы 
совпадает с нулевой
строкой таблицы 
, нулевая строка таблицы
совпадает с нулевой строкой
таблицы 
. Следовательно,
, 
,
где 
означает -ю степень 
,
,
Таким образом, 
является решением
уравнения
.
Так как
то
Обозначим: . Тогда
.
Решая уравнение
,
находим:
.
Таким же образом находим 
и 
:
,
,
.
,
,
.
Обозначим: 
. Тогда
,
,
.
Применительно к : так как
,
то
.
Пусть
.
Так как
,
,
то
.
Например,
,
,
.
-ю строку матрицы
обозначим 
. Так как
,
то
.
В [2] показано, что если
, 
,
где 
– корни полинома , то -я строка матрицы
имеет вид
.
Например, если 
, то
, 
.
1. Теория биномиальных последовательностей
1.1
В математической литературе последовательности строк
матриц
, 
называются соответственно аппелевой и биномиальной последовательностями.
Оператор
называется оператором сдвига на (или просто оператором
сдвига, если 
) и обозначается 
. Операторы
,
где
– тождественный
оператор, и
называются соответственно разностным оператором и оператором
центральных разностей. Оператор
называется оператором дифференцирования и обозначается
.
Отсюда видно, что изучение биномиальных
последовательностей сводится к изучению свойств матриц 
, 
и применению к
полученным результатам операций трансформирования и транспонирования по правилу
умножения транспонированных матриц: если 
, то 
.
Основные свойства матриц и :
,
, 
,
где
левая формула имеет смысл всегда, правая – при
,
,
,
,
,
, 
,
,
,
где
, , 
.
Классическое определение [3, стр.124]:
последовательность полиномов 
называется
биномиальной, если
, 
,
что
в наших обозначениях соответствует равенству
.
Наше определение биномиальной последовательности
совпадает с другим традиционным определением: последовательность полиномов называется
биномиальной, если
для некоторого формального степенного ряда 
.
Оператор 
, удовлетворяющий условиям
, 
, 
,
называется базисным оператором последовательности
полиномов , которая, в свою очередь, называется базисной
последовательностью оператора .
Пусть
.
Так
как
,
то 
– базисный оператор последовательности строк матрицы . Например – базисный оператор
последовательности полиномов 
, 
– базисный оператор
последовательности строк матрицы 
, т.е. последовательности полиномов 
.
По определению преобразование 
является оператором,
перестановочным со сдвигами. Так как
,
то
.
Так
как
,
то элементы матрицы
равны произведению одноименных элементов матриц 
и 
:
,
где
.
Обозначим 
. Пусть
.
Тогда
,
где
.
Таким
образом,
,
где 
– базисный оператор
последовательности строк матрицы 
. Это тривиальное утверждение в теории биномиальных
последовательностей считается одним из основных результатов, что демонстрирует
преимущество наших обозначений по сравнению с традиционными. В классической
теории много энергии уходит на доказательство того, что заложено в наших
обозначениях.
Обозначим 
. Так как
,
то
.
Из равенства
вытекает,
что если
,
то
.
Следовательно,
,
что
равнозначно формуле Родригеса
, ,
где – -я строка матрицы , 
.
Если
– формальный степенной
ряд, то по правилу разложения в ряд Лагранжа
,
где выражение 
означает -й коэффициент ряда 
. В наших обозначениях:
,
где
. Так как
,
то
,
,
где
, 
.
Так как -й член вектора 
равен -му члену вектора 
, то 
-я строка матрицы 
совпадает с -й строкой матрицы 
.
Таким образом, равенство
равнозначно
формуле Стеффенсена
, ,
где – -я строка матрицы , 
– -я строка матрицы 
.
1.2
Рассмотрим два класса биномиальных
последовательностей, связанных с векторами
и .
Обозначим 
, 
. -ю строку матрицы 
обозначим 
. Тогда
, 
, 
,
.
Например,
,
,
,
.
Так
как
,
,
,
то
.
Так
как
,
,
то
.
Так как -й столбец матрицы 
, элементами которой являются числа Стирлинга второго рода,
имеет вид 
, -й столбец матрицы 
имеет вид 
, -й столбец матрицы 
имеет вид 
, то -й столбец матрицы
имеет
вид
Например,
-й столбец матрицы
имеет
вид
,
так
что четные и нечетные столбцы имеют вид
, 
.
Обозначим 
, . -ю строку матрицы 
обозначим 
. Тогда
, 
, 
,
.
Так как
,
то
,
.
Так как элементы матрицы 
равны произведению
одноименных элементов матриц 
, 
и 
, то -й столбец матрицы имеет вид
.
Полиномы
называются полиномами
Абеля, базисный оператор 
называется оператором
Абеля.
1.3
Введем в рассмотрение векторы нового вида.
Обозначим
, 
,
,
,
так
что
, 
,
, 
,
.
Так как
,
то
,
.
Так как
,
то
.
Так как
,
то
.
Таким образом, получаем равенство
.
Покажем, что преобразование, собственным
вектором которого является 
, , 
, с собственным значением , является трансформацией оператора . Так как
,
то
.
Следовательно,
,
.
Пусть 
– полином степени , т.е. вектор, все члены которого, начиная с 
-го номера, равны нулю. Тогда является собственным
вектором преобразования
с собственным значением 
.
Так как
, 
,
то
, 
,
или
, 
.
Отметим также равенство
.
1.4
Выявим одну интересную особенность строк
матрицы 
.
Представим таблицу, строки которой
образуются последовательным умножение различных векторов:
, , 
, 
, …
Алгоритм операции умножения приводит к тому, что
множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов
по различным ячейкам:
различным векторам соответствуют различные ячейки, номеру члена соответствует
число предметов в ячейке.
Если 
… , таблица принимает вид
Множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов
по неразличимым ячейкам:
выражение 
означает, что в
соответствующем слагаемому размещении 
ячеек содержат
одинаковое число предметов, равное . Коэффициент при равен 
.
Множество размещений неразличимых предметов
по неразличимым ячейкам можно разбить на подмножества размещений
с одинаковым числом пустых ячеек, равным . Каждому такому подмножеству соответствует множество разбиений
числа на 
слагаемых. При 
число подмножеств
равно , при 
число подмножеств
равно .
Таким образом, -й столбец таблицы можно представить в виде
,
где
, 
,
и суммирование ведется по всем разбиениям числа на слагаемых. Коэффициент при 
в 
-й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению
величины 
с ее долей
комбинаторного коэффициента, т.е. 
.
Матрицу, -й строкой которой является полином
, 
,
обозначим
. Тогда, как видно из таблицы,
,
и,
следовательно,
.
Отсюда, при , получаем выражение значений через значения : -й член равен
.
1.5
Найдем преобразование, отображающее -ю строку матрицы 
на -ю строку матрицы 
.
Рассмотрим равенства
,
,
где , 
.Так как -я строка матрицы 
, , – вектор 
, -я строка матрицы 
, , – вектор 
, то -я строка матрицы 
имеет вид 
, где 
– полином степени 
, -я строка матрицы 
имеет вид 
, где 
– полином степени .
Матрицу, которая получается из единичной
матрицы размерности 
перестоновкой столбцов
в обратном порядке, обозначим 
. Например,
.
-ю строку матрицы обозначим 
. Обозначим также 
, где – произвольный вектор.
Тогда, как показано в [2],
,
,
так что
.
Например,
если 
, то 
, 
.
-ю строку матрицы обозначим . Тогда
,
, 
.
Найдем корни полинома 
в разложении
при
, 
, 
.
Так
как, соответственно
, 
, 
,
то
,
,
.
Обобщая,
выводим
, 
.
Матрицу, -м столбцом которой является полином
, ,
обозначим
. Например
, 
, 
.
По определению преобразования , если
,
то
.
Таким
образом, если – -я строка матрицы , – -я строка матрицы , то
.
Так как
,
, то
.
Если 
, то , 
, где 
– полином Эйлера [4,
стр.253], [5, стр.139]:
, 
, 
,
, …
Так как
,
то
, .
Таким
образом, -м столбцом матрицы 
является полином 
:
, 
, 
.
Итак, если – -я строка матрицы , , , – -я строка матрицы , то
,
.
2. Обобщенные биномиальные коэффициенты
Рассмотрим известное обобщение
биномиальных коэффициентов [6, с.106].
Для последовательности , 
, 
при , обозначим:
, 
,
; 
, 
.
Тогда
.
Диагональную матрицу, диагональные
элементы которой равны значениям вектора , обозначим 
:
.
Вектор,
-й член которого является обратной величиной -го члена вектора , 
, обозначим 
:
, 
.
Рассмотрим
трансформацию
.
Первый столбец матрицы обозначим . Элемент матрицы, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца обозначим 
. Если , то
, 
.
Если 
– произвольная матрица
умножения, то элементы матрицы 
равны произведению
одноименных элементов матриц 
и 
.
Особый интерес представляет случай
, 
,
который
при 
принимает вид
.
Обозначим
, 
, , ,
, 
.
Элементы
матрицы 
равны коэффициентам Гаусса:
.
Пусть 
, 
– соседние столбцы
бесконечной матрицы. Если
, 
,
то
, 
.
Следовательно,
-й столбец матрицы имеет вид
.
В [6] показано, что если последовательность столбцов
матрицы имеет вид
,
где – произвольная последовательность чисел, то
последовательность строк обратной матрицы имеет вид
.
Например, при 
получаем матрицы 
и 
; при 
получаем матрицы 
и 
; при 
получаем матрицы 
и 
; при 
получаем матрицы и .
Таким образом, -я строка матрицы 
имеет вид
.
Гаусс показал, что
.
Следовательно,
,
где
, ,
.
Обозначим
.
Первый столбец матрицы 
обозначим , элемент, стоящий на пересечении -й строки и -го столбца обозначим 
. Тогда
,
.
Таким образом,
.
Представим 
как функцию от и 
. Тогда
.
(Продолжение
следует)
1.
Риордан Д. Комбинаторные тождества. М.: Наука, 1982.
2. Бурлаченко Е. В. Биномиальная форма записи
степенного ряда.
3.
Айгнер М. Комбинаторная теория. М.: Мир, 1982.
4.
Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. М.: ИЛ, 1963.
5. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной
математики. М.: Наука, 1977.
6. Платонов М. Л. Комбинаторные числа класса
отображений и их приложения. М.: Наука, 1979.