Е. В.
Бурлаченко
ОБОБЩЕНИЕ
ОДНОЙ КЛАССИЧЕСКОЙ ПАРЫ ПОЛИНОМОВ
1
Рассмотрим последовательность преобразований,
связывающую корни полиномов деления круга с корнями полиномов
, 
.
Обозначим:
,
, 
.
Тогда
.
Заменим
на 
:
,
.
Переставим
коэффициенты в обратном порядке:
,
,
где
, 
.
Заменим
на 
:
.
Следовательно,
.
Аналогично
.
Отметим аналогию с
полиномами Чебышева первого и второго рода
,
.
Обозначим
, 
,
, 
, 
.
Так как
,
,
то
,
.
Обозначим
.
Так как
, 
то
,
.
Раскладывая
в бином Ньютона и
группируя члены, можно представить его в виде
,
где
– полином степени 
, четные члены которого равны нулю, если 
нечетно, нечетные члены
равны нулю, если четно,
– полином
степени 
, четные члены которого равны нулю, если четно, нечетные члены
равны нулю, если нечетно. Например:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Докажем, что
, 
,
, 
,
где условие 
означает, что степень 
равна , условие 
означает, что степень 
равна 
.
Убедимся, что
при 
,
при 
, 
.
Если 
, 
– формальные степенные
ряды, раскладывается в ряд
Лагранжа по правилу [1, с.147]:
, 
где выражение 
означает -й коэффициент ряда 
. Обозначим 
. Пусть 
, . Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как [2, с.172]
,
где
, 
,
то
,
где
,
.
-й коэффициент ряда 
равен -му коэффициенту полинома , обозначенному нами 
. Следовательно,
.
Пусть в
формуле , 
. Тогда
,
.
Так как
,
где
, 
,
то
,
где
.
-й коэффициент ряда
равен -му коэффициенту полинома 
, обозначенному нами 
.Следовательно,
.
Подставляя в формулы , 
, 
, получаем равенства
, 
,
где 
– целая часть от 
.
Отметим также равенство
,
вытекающее из уравнения .
2
Рассмотрим аналогичный случай.
Обозначим
.
Так как
, 
то
,
.
Раскладывая
в бином Ньютона и
группируя члены, можно представить его в виде
,
где
– полином степени,
– полином степени . Например
, 
,
, 
,
, 
.
Докажем, что
,
,
,
,
где условие 
означает, что степень 
равна , условие 
означает, что степень 
равна .
Убедимся,
что
при 
,
при 
, .
Пусть в
формуле , . Тогда
,
откуда, пользуясь уравнением , находим
.
Так как
,
то 
, 
, равен -му коэффициенту полинома .
Пусть в
формуле , 
. Тогда
,
.
Так как
,
то 
равен -му коэффициенту полинома 
.
Отметим
также равенство
,
вытекающее из уравнения .
1. Риордан Д. Комбинаторные тождества. – М.: Наука,
1982.
2. Справочная математическая библиотека.
Математический анализ. Вычисление элементарных функций. – М.: Физматгиз, 1963.