БИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ СТЕПЕННОГО РЯДА

Е. В. Бурлаченко

БИНОМИАЛЬНАЯ ФОРМА ЗАПИСИ СТЕПЕННОГО РЯДА

ПРЕДИСЛОВИЕ

Для формального степенного ряда

выражение

назовем биномиальной формой записи полинома . Любой ряд , два первых коэффициента которого равны единице, имеет биномиальную форму записи

но коэффициенты выражаются общей формулой только в особых случаях.

В статье рассматривается связь биномиальной формы записи с рядами Лагранжа. Выводится формула, объединяющая биномиальные формы записи рядов

, и .

Ставится задача найти более общую формулу для коэффициентов в биноминальной форме записи ряда .

Рассматривается связь полиномов деления круга с рядами

При этом в новой роли выступают полиномы Чебышева

, ,

, .

Рассматриваются связанные с биномиальной формой записи преобразования. При этом в новой роли выступают полиномы Эйлера

Будем рассматривать формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного пространства. Обозначим:

Базис пространства, в котором координаты каждой последовательности (т.е. коэффициенты разложения по базисным векторам) совпадают с ее значениями, назовем основным. Каждой матрице поставим в соответствие преобразование, отоброжающее последовательность векторов основного базиса на последовательность столбцов матрицы . Матрицу и соответствующее ей преобразование будем обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми неотрицательными числами. Транспонированную к матрицу обозначим . Образ вектора при преобразовании обозначим .

Целые неотрицательные числа будем обозначать буквами целые числа – буквами действительные числа – буквами .

Произведением назовем вектор , где

или, что то же самое, – вектор , где

Матрицу вида ( -й член -го столбца матрицы равен и нулю при ) назовем матрицей умножения на вектор .

Обратным к назовем вектор , определяемый уравнением

Вектор

назовем -й степенью . -й вектор основного базиса представим как -ю степень . Каждый вектор запишется в виде

Матрицу, -й столбец которой является -й степенью , назовем матрицей степеней вектора и обозначим . Матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:

так что

, .

Если рассматривать и как функции и , то выражению соответствует подстановка .

Обозначим:

Убедимся, что векторы данного вида умножаются по правилу

Так как

то

Обозначим:

так что

Пусть – элемент матрицы , где – номер строки, – номер столбца. Тогда

где – комплексные числа. Так как все члены вектора , начиная с -го, равны нулю, то . Таким образом,

Вектор

, ,

назовем -й степенью . Так как

то

Пусть

Так как

, ,

то

Получаем правило: если

то

Среди матриц степеней особое место занимает матрица : транспонированную к ней матрицу можно рассматривать одновременно как произведение матрицы степеней и матрицы умножения и как трансформацию матрицы умножения:

где – диагональная матрица, диагональные элементы которой равны значениям вектора :

Например,

Преобразование принято называть оператором сдвига. Также последовательности строк матриц и принято называть соответственно аппелевой и биномиальной последовательностями.

Первый столбец матрицы обозначим . Вектор , , назовем логарифмом вектора и обозначим ; вектор , где произвольно, назовем экспонентой вектора и обозначим . Так как

то

Так как

то

Так как

то

Пусть и – преобразования, соответствующие дифференцированию и интегрированию в алгебре формальных степенных рядов:

, .

Обозначим:

, .

Убедимся, что

или

Следовательно,

или

Так как

то

Отсюда находим:

Предметом дальнейшего изучения будет множество векторов

, , .

Таблицу, -й строкой которой является вектор , обозначим . Множество строк с положительными номерами назовем верхней половиной таблицы, множество строк с отрицательными номерами – нижней половиной таблицы.

Рассмотрим таблицу , например, при :

Каждую строку таблицы заменим восходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, результат обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т.д. Например:

Каждую строку таблицы заменим нисходящей диагональю, имеющей со строкой общий нулевой член. Полученную таблицу обозначим . С таблицей проделаем ту же операцию, и т.д. Например:

Найдем преобразование , отображающее каждую строку таблицы на одноименную строку таблицы .

Пусть и – формальные степенные ряды, , , где – коэффициенты ряда . раскладывается в ряд Лагранжа по правилам [1, с.147]:

Если – нулевая строка таблицы , то выражения и означают соответственно -й член нулевой восходящей диагонали и -й член нулевой нисходящей диагонали таблицы . Пусть . -ю восходящую и -ю нисходящую диагонали таблицы обозначим соответственно и . Тогда

Отсюда видно, что

где и – определенные векторы. Следовательно,

Вернемся к прежним обозначениям:

Мы выяснили, что

, ,

, .

Нулевая строка таблицы совпадает с нулевой строкой таблицы , нулевая строка таблицы совпадает с нулевой строкой таблицы . Следовательно,

, ,

где означает -ю степень ,

, .

Так как

то

Таким образом, является решением уравнения

Обозначим: . Тогда

Решая уравнение

находим:

Таким же образом находим и :

Обозначим: . Тогда

Так как

то

Применительно к : так как

то

Пусть

Так как

то

Например,

-й член вектора обозначим , , -й член вектора (т.е. -й член -ой строки таблицы ) обозначим .Так как

то

Так как

то

, .

По определению логарифма и экспоненты

Отсюда вытекает, что если

– последовательность строк матрицы , то

Соответствие между строками матрицы , , и значениями вектора , обобщая биномиальный ряд, назовем биномиальной формой записи вектора и обозначим

В формуле общего члена подразумевается, что , . Коэффициенты могут быть комплексными числами, необходимыми для представления вектора в виде

Используя биномиальную форму записи вектора , мысленно составим таблицу (по определению ). Первый член -ой строки таблицы равен , -й член -ой строки равен . Пользуясь равенством и подстановкой , выводим, что -й член -ой строки верхней половины таблицы , , равен , , -й член -ой строки нижней половины таблицы , , равен , .

Обозначим: , , где – матрица, нулевая и первая строка которой соответственно и , а -я строка имеет вид . Тогда

Таким образом,

Например,

или

Обобщая, выводим: если

то

В биномиальной форме записи вектора все коэффициенты равны нулю, следовательно

Например,

, .

Равенство

где , означает, что если

то

Применительно к , выводим:

Так как

то

Биномиальная форма записи определена для с условиями: , . Формулы же

справедливы для : , , , . В частности, если

то

, .

Обозначим:

, ; , если .

Тогда

Обозначим:

Тогда

Предположив, что в биномиальной форме записи вектора коэффициенты выражаются общей формулой, как в случае , , , попробуем очертить ее контуры.

Пусть . Составим фрагменты таблиц и , например, при :

Для верхней половины таблицы справедливо равенство , . Учитывая, что , выводим:

где – полином степени (т.е. вектор, все члены которого, начиная с номера , равны нулю), .

Таким образом, если

то

-й член нулевой нисходящей диагонали таблицы , т.е. -й член вектора , равен . Эйлер нашел, что [2, с.16]:

Следовательно, если , то

Кроме того, [2, с.15]:

Следовательно,

Матрицу, которая получается из единичной матрицы рамерности перестановкой в обратном порядке строк или столбцов, обозначим . Например

Преобразование

отображает -ю строку таблицы на -ю нисходящую диагональ. Отсюда вытекает, что -я строка матрицы совпадает с -й строкой матрицы .

Таким образом, полином , , совпадает с -й строкой матрицы

Так как

то

где , , – -я строка матрицы

Из таблицы видно, что для таблицы , где

справедливо равенство

где – полином степени ; совпадает с -й строкой матрицы

так что

где – -я строка матрицы

Таким образом,

;

Пусть . Составим фрагменты таблиц и , например, при :

Легко доказать, что если – полином степени , то

Поэтому, если

как в случае с полиномом , то

Таким образом, для верхней половины таблицы справедливо равенство

, .

Следовательно,

где , совпадает с -й строкой матрицы

где , , – -я строка матрицы

Из таблицы видно, что для таблицы , где

справедливо равенство

где совпадает с -й строкой матрицы

где – -я строка матрицы

Таким образом,

Перейдем к общему случаю. Пусть , . Тогда

Пусть теперь , – любые действительные числа. -ю строку матрицы

, обозначим ; -ю строку матрицы

обозначим . Тогда

где , – -я строка матрицы

– -я строка матрицы

Отметим, что

, ,

, .

Отметим также равенство

Рассмотрим метод, позволяющий выражать корни некоторых полиномов через корни полиномов .

Обозначим:

, .

Тогда:

Запомним правила: если

, ,

то

Следовательно,

где

, .

Так как

то

Аналогично

Найдем корни полиномов

и ,

где

Обозначим:

Так как

то

Из таблицы

видно, что совпадает с -й строкой матрицы

Так как

то

где – целая часть от , , . Обозначим:

Тогда

Таким образом,

Найдем корни полиномов

и .

Обозначим:

Из таблицы

видно, что

где совпадает с -й строкой матрицы

Так как

то

где

, , .

Обозначим:

Тогда

Таким образом,

В общем случае:

где , , . Если один из сомножителей множетеля равен нулю (в этом случае , поскольку – действительное число) он заменяется на , соответствующий ему полином заменяется на .

Аналогично

где , , .

Обозначим:

где по определению . Тогда

, .

Раскладывая в бином Ньютона и группируя члены, можно представить его в виде

где – полином степени , четные члены которого равны нулю, если нечетно, нечетные члены равны нулю, если четно; – полином степени , четные члены которого равны нулю, если четно, нечетные члены равны нулю, если нечетно. Например:

, ;

, ,

, .

Так как

то

-й член -й восходящей диагонали таблицы , т.е. -й член вектора

равен -му члену полинома . Отсюда вытекает, что совпадает с -й строкой матрицы

Например:

Обозначим:

Так как

то

Так как

то

Так как

то

, , ,

где

, ,

где множитель равен , если четно, и , если нечетно (проверяется подстановкой , ); если один из сомножителей (в случае – любой из сомножителей) множителя равен нулю, он заменяется на , соответствующая ему пара полиномов заменятся на . Отметим также, что .

-й член вектора равен -му члену полинома и нулю, если степень меньше . Следовательно,

где , , множитель равен нулю, если один из сомножителей равен нулю.

Обозначим:

, .

Тогда

Так как

то

Убедимся, что

Следовательно, -я строка верхней половины таблицы

имеет вид

-й член -й восходящей диагонали таблицы , , т.е. -й член вектора , равен -му члену полинома . Отсюда вытекает, что совпадпнт с -й строкой матрицы

Например:

Обозначим:

Так как

то

Так как

то

Так как

, , ,

то

где

, ,

где множитель равен , если четно, и , если нечетно; если один из сомножителей (в случае – любой из сомножителей) множителя равен нулю, он заменяется на , соответствующая ему пара полиномов заменяется на . Отметим, что .

-й член вектора равен -му члену полинома и нулю, если степень меньше . Следовательно,

где , , множитель равен нулю, если один из сомножителей равен нулю.

Обозначим:

, .

Тогда

Последовательности столбцов матриц и , , , совпадают с последовательностями строк верхней и нижней половин таблицы . Формулы

позволяют изучать таблицу , рассматривая в качестве ее элементов не строки, а столбцы.

Единичную матрицу размерности обозначим . Матрицу, которая получается из перестановкой столбцов в обратном порядке , как и прежде, будем обозначать .

-ю строку матрицы , , обозначим

Так как -я строка матрицы , , – вектор , то -я строка матрицы имеет вид

-ю строку матрицы , , обозначим

Так как -я строка матрицы , , – вектор , то -я строка матрицы имеет вид

Так как

то

Таким образом, -я строка матрицы имеет вид

Так как

, ,

то

Например,

-ю строку матрицы обозначим , -ю строку матрицы обозначим . Мы выяснили, что

где – -я строка матрицы , умноженная на , и, что самое интересное,

Например, если , то , .

Пусть . Тогда

Преобразование -ю строку матрицы отображает на -ю строку матрицы

т.е., при , на полином

, , .

Следовательно,

где , ; если один из сомножителей множителя равен нулю, он заменяется на , соответствующий полином заменяется на .

-ю строку матрицы , где , обозначим , . Найдем преобразование , такое, что

Воспользуемся биномиальной формой записи.

Для формулы общего члена последовательности введем обозначение

Если – -я строка матрицы , , – -я строка матрицы , , то

Рассмотрим выражение

Так как

, , ,

то

должно равняться нулю при подстановках

Следовательно,

Обобщая, выводим:

, .

Матрицу, -м столбцом которой является полином

, обозначим . Например:

, , .

По определению преобразования , если

то

Таким образом, преобразование отображает на -ю строку матрицы , умноженную на . Так как

то

Обозначим: . Тогда полином совпадает с . Так как

то из определения преобразования вытекает, что

-ю строку матрицы , , в порядке исключения выделив множитель, обозначим , где совпадает с полиномом Эйлера [3, с.254], [4, c.139]:

, , ,

, …

Так как

то

, .

Таким образом, -м столбцом матрицы является вектор :

, , .

Мы знаем, что если -я строка матрицы имеет вид , где , то -я строка матрицы имеет вид . Окончательно получаем:

Например:

, , .

Из определения преобразования вытекает, что если , то . Действительно, так как

то

Таким образом, матрица получается из перестановкой в обратном порядке строк и столбцов.

Обозначим:

Так как

то

Например:

Так как каждый столбец матрицы , кроме последнего, содержит множитель , то каждый столбец матрицы , , также содержит множитель и сумма его членов равна нулю. Следовательно, сумма членов каждого столбца матрицы равна единице.