ДВЕ АЛГЕБРЫ И СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Е. В. Бурлаченко

ДВЕ АЛГЕБРЫ И СВОЙСТВА НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ

Будем рассматривать формальный степенной ряд с действительными коэффициентами как последовательность этих коэффициентов, т.е. как элемент векторного пространства. Обозначим:

Базис пространства, в котором координаты каждой последовательности (т.е. коэффициенты разложения по базисным векторам) совпадают с ее значениями, назовем основным. Каждой матрице поставим в соответствие преобразование, отоброжающее последовательность векторов основного базиса на последовательность столбцов матрицы . Матрицу и соответствующее ей преобразование будем обозначать одним и тем же символом. Столбцы и строки матрицы пронумеруем целыми неотрицательными числами. Образ вектора при преобразовании обозначим .

Целые неотрицательные числа будем обозначать буквами , , , , , целые числа – буквой , действительные числа – буквами , , .

Произведением назовем вектор , где

Матрицу вида ( -й член -го столбца матрицы равен и нулю при ) назовем матрицей умножения на вектор .

Обратным к назовем вектор , определяемый уравнением

Вектор

назовем -й степенью . -й вектор основного базиса представим как -ю степень . Каждый вектор запишется в виде

-й столбец матрицы принимает вид . Сама матрица умножения представима в виде

Матрицу, -й столбец которой является -й степенью , назовем матрицей степеней вектора и обозначим . Например,

, , ;

, .

Так как

то

Например,

т.е.

Таким образом, матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:

так что

Если рассматривать и как функции и , то выражению соответствует подстановка .

Обозначим:

Убедимся, что векторы данного вида умножаются по правилу

Так как

то

Обозначим:

так что

Пусть – элемент матрицы , где – номер строки, – номер столбца. Тогда

где – комплексные числа. Так как все члены вектора , начиная с -го, равны нулю, то . Таким образом,

Вектор

, ,

назовем -й степенью . Так как

то

Первый столбец матрицы обозначим . Вектор , , назовем логарифмом вектора и обозначим ; вектор , где произвольно, назовем экспонентой вектора и обозначим . Так как

то

Так как

то

Так как

то

Диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны значениям вектора , обозначим :

, .

-ю строку матрицы

обозначим . Так как

то

Например, если , то

Пусть и – преобразования, соответствующие дифференцированию и интегрированию в алгебре формальных степенных рядов:

где знак * означает транспонирование,

Обозначим:

, .

Убедимся, что

или

Следовательно,

или

Так как

то

Отсюда находим:

Эйлер первым из математиков обнаружил, что некоторые свойства натуральных чисел, плохо различимые в рамках теории чисел, становятся зримей при обращении к алгебре формальных степенных рядов.

Простое число имеет два делителя – единицу и самого себя. Если считать это определением, то единица не является простым числом. Распределение простых чисел не подчиняется строгому закону, но Эйлер открыл, что последовательность сумм делителей натуральных чисел является реккурентной, т.е. такой, каждый член которой по определенному правилу вычисляется по предыдущим членам. Его мемуар «Открытие наиболее необычайного закона чисел, относящегося к суммам их делителей» можно найти в [1, стр.112].

Изучая разбиения натуральных чисел, Эйлер придумал метод производящих функций, суть которого в том, что алгоритм получения искомых комбинаторных величин связывается с алгоритмом операции умножения в алгебре формальных степенных рядов. Отсюда, например, видно, что

где , – число всевозможных разбиений числа на слагаемые, т.е. число решений в неотрицательных целых числах уравнения

Раскладывая обратный ряд по степеням , находим:

Доказательство вытекает из другого равенства [2. стр.138]:

где – число разбиений на четное число неравных слагаемых, – число разбиений на нечетное число неравных слагаемых.

Таким образом,

Последовательность слагаемых обрывается, как только число, стоящее под знаком , становится отрицательным.

Следуя Эйлеру, прологарифмируем ряд , продифференцируем полученный результат и домножим на :

Разлагая каждый член суммы в геометрическую прогрессию, получаем:

«Мы легко здесь находим, – заключает Эйлер, – что каждая степень встречается столько раз, сколько ее показатель имеет делителей, и что каждый делитель появляется в качестве коэффициента при той же самой степени . Следовательно, если мы соберем члены с одинаковыми степенями, то коэффициент при каждой степени будет суммой делителей показателя степени». Таким образом,

где – сумма делителей числа .

С другой стороны,

Пользуясь разложением по степеням , получаем

Отсюда выводим:

Последовательность слагаемых обрывается, как только число, стоящее под знаком , становится отрицательным; если появляется символ , он заменяется числом .

Формальный ряд

называется рядом Дирихле [3. стр.144]. На множестве рядов Дирихле задается операция умножения:

где

символ означает, что суммирование ведется по всем делителям числа :

Определенное таким образом умножение коммутативно и ассоциативно.

Отображение переводит алгебру рядов Дирихле в изоморфную ей алгебру, заданную на множестве формальных степенных рядов вида

Умножение задается матрицей

-й столбец которой, , имеет вид . Как видим, это то самое преобразование, которым пользовался Эйлер для нахождения ряда : если первый столбец матрицы – ряд , то

На множестве векторов

зададим операцию - умножения:

где

-й столбец матрицы имеет вид , так что

Для обращения с величинами и можно ввести непротиворечивые правила, но нам это без надобности.

Так как

то

-обратным к назовем вектор , определяемый равенством

Это согласуется с тем, что – единичная матрица. Обозначим

Для краткости алгебру формальных степенных рядов будем называть - алгеброй, алгебру, задаваемую матрицами , – -алгеброй. Проследим аналогию:

, .

Так как

то

;

так как

то

Так как

то является степенным рядом:

;

так как

то является суммой и бесконечного множества степенных рядов вида

где и не принимает значений, равных степени натурального числа, отличной от .

Отсюда видно, что если при фиксированном из матрицы удалить все строки, кроме строк с номерами и все столбцы, кроме столбцов с номерами , то получится обычная матрица умножения. Например, при , :

, .

Действительно, матрицы вида

, ,

будучи степенными рядами, задают алгебру, изоморфную -алгебре: если

то

Например,

И вообше, если

то

, .

В -алгебре векторы вида играют ту же роль, которую векторы вида играют в -алгебре. Последняя обладает свойством, позволяющим свободно манипулировать областью сходимости рядов. А именно, если

то

Это свойство обусловлено тем, что матрица как матрица степеней отображает произведение векторов на произведение их образов:

-алгебра обладает аналогичным свойством: если

то

Обозначим

Матрицу, -м столбцом которой является вектор , обозначим . Например,

, .

Видно, что матрица не имеет обратной.

Рассмотрим одностороннее произведение матрицы с матрицей степеней , . Так как

то

или

Таким образом, матрица отображает -произведение векторов на -произведение их образов. Следовательно,

Отсюда получаем для -алгебры аналоги операций возведения в степень и логарифмирования. Обозначим:

, ,

так что

;

, .

Так как

то

Отсюда вытекает, что

где

;

Так как

то

-ю строку матрицы обозначим . Тогда

Представление числа в виде произведения натуральных множителей, упорядоченных по возрастанию, будем называть разложением числа на множители. Пусть

, .

Выявим интересную аналогию между строками матриц и с одной стороны и разбиениями на слагаемые и разложениями на множители числа – с другой.

Представим таблицу, строки которой образуются последовательным умножение различных векторов:

, , , , …

Алгоритм операции умножения приводит к тому, что множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов по различным ячейкам: различным векторам соответствуют различные ячейки, номеру члена соответствует число предметов в ячейке.

Если , таблица принимает вид

Множеству слагаемых в разложении -го члена -й строки таблицы соответствует множество размещений неразличимых предметов по неразличимым ячейкам: выражение означает, что в соответствующем слагаемому размещении ячеек содержат одинаковое число предметов, равное . Коэффициент при равен .

Множество размещений неразличимых предметов по неразличимым ячейкам можно разбить на подмножества размещений с одинаковым числом пустых ячеек, равным . Каждому такому подмножеству соответствует множество разбиений числа на слагаемых. При число подмножеств равно , при число подмножеств равно .

Таким образом, -й столбец таблицы, , можно представить в виде

где

, ,

выражению соответствует разбиение , и суммирование ведется по всем разбиениям числа на слагаемых. Коэффициент при в -й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению величины с ее долей комбинаторного коэффициента, т.е. .

Матрицу, -й строкой которой является полином

, ,

обозначим . Тогда, как видно из таблицы,

и, следовательно,

Отсюда, при , получаем выражение значений и через значения : -й член , , равен

-й член равен

При

, ; ,

где

, , ,

и суммирование ведется по всем разбиениям числа на слагаемых.

Рассмотрим таблицу, -й строкой которой является :

Представим ее в виде:

Алгоритм операции -умножения приводит к тому, что множеству слагаемых в разложении -го члена, , -й строки таблицы соответствует множество разложений числа на множителей: выражению соответствует разложение , ; коэффициент перед равен .

Множество разложений числа на множителей можно разбить на подмножества разложений с одинаковым числом единичных множителей, равным ; каждому такому подмножеству соответствует множество разложений числа на неединичных множителей. Число подмножеств не может быть больше числа множителей в разложении на простые множители.

Таким образом, -й столбец таблицы, , можно представить в виде

где – число множителей в разложении на простые множители,

, ,

выражению соответствует разложение , , и суммирование ведется по всем разложениям числа на неединичных множителей. Коэффициент перед в -й строке таблицы равен вынесенному за знак суммы произведению величины с ее долей комбинаторного коэффициента, т.е. .

Матрицу, -й строкой которой является полином

, , ,

обозначим . Тогда, как видно из таблицы,

и, следовательно,

Отсюда при получаем выражение значений и через значения : -й член , , равен

где – число множителей в разложении на простые множители, -й член равен

Рассмотрим фрагмент таблицы, -й строкой которой является :

Пусть символ означает единицу. Символ , , определим рекуррентной формулой

так что означает число делителей числа , и т.д.:

, , …

По определению -й член вектора , , , равен .

Представим таблицу, -й строкой которой, является вектор :

-й член -й строки таблицы – обозначим его – равен сумме первых членов предыдущей строки. Если – простое число, то, как видно из таблицы,

Пусть , где , – различные простые числа, , – натуральные числа. Тогда

Отсюда выводим

Обобщая, выводим: если

то

Так как

то

где – возрастающий факториал длины , – показатель степени простого числа в каноническом разложении числа .

Матрицу, нулевая и первая строки которой соответственно и , а -я строка имеет вид

обозначим . Тогда

Таким образом, если – -я строка матрицы

то

, , ,

где

– показатель степени простого числа в каноническом разложении числа ,

Последовательность коэффициентов ряда , рассматриваемая как функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется функцией Мёбиуса, обозначается и определяется следующим образом: если

– каноническое разложение числа , то

, если какое-либо ,

, если все .

Это соответствует нашему определению:

при ,

Обозначим:

, .

Согласно результатам предыдущего раздела,

, , ,

где – число множителей в разложении на простые множители,

, , ,

и суммирование ведется по всем разложениям числа на неединичных множителей.

Из определения полинома вытекает, что , если не является степенью простого числа, так как в этом случае первый член полинома , т.е. -й строки матрицы , равен нулю. Если , где – простое число, то первый член полинома равен . Так как первый столбец матрицы совпадает с первым столбцом матрицы , то , если .