Е. В. Бурлаченко
АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ
(Продолжение; начало см. в [1])
6.
«Металлические пропорции»
6.1
«Металлической пропорцией» (в честь «золотой
пропорции») [2] называется положительный корень уравнения 
:
, 
.
Отсюда видно, что если 
, то 
. Следовательно,
.
«Золотая
пропорция»
характеризуется следующими
свойствами:
,
где 
– целое число,
, 
,
где
, 
, 
,
, 
, 
.
Так как производящие функции чисел 
(числа Люка) и 
(числа Фибоначчи)
имеют вид
, 
,
, 
,
то
, 
,
, 
.
Любое положительное число является «металлической пропорцией»,
т.е. значением функции 
. Перечисленные свойства «золотой пропорции» являются
функциональными свойствами «металлической пропорции» и зависят от параметра 
, который при 
равен единице.
Так как формула «металлической пропорции» является
частным случаем формулы корня квадратного уравнения, она указывает на
определенную связь квадратных уравнений с гиперболическими функциями.
Покажем, что проблематика «металлических пропорций»
неразрывно связана с обобщенным преобразованием
Эйлера.
Рассмотрим преобразования
,
.
Для вектора 
имеем
,
.
Если
, 
,
то
, 
,
, 
,
где
.
Составляющие произвольного вектора 
в пространствах 
и 
соответственно равны
, 
,
так
что
,
.
Рассмотрим вектор
, 
, обладающий свойством
.
Его
составляющие в пространствах 
и 
обозначим соответственно
и 
. Так как
, ,
то
, 
,
,
,
,
.
Числу
поставим в
соответствие ряд ,
,
,
,
по правилу:
,
где 
– аналитическая запись
ряда . Тогда
,
где 
– аналитическая запись
ряда 
. В разделе 5.3 мы выяснили, что
,
,
где
:
, 
;
:
, 
, 
.
Отсюда видно, что
,
, 
,
,
, 
.
Пусть
, 
. Тогда
,
.
Следовательно,
, 
,
, 
,
,
.
6.2
Рассмотрим аналогичный случай. Чтобы не усложнять
символику и подчеркнуть аналогию, будем пользоваться обозначениями из
предыдущего раздела.
Рассмотрим вектор , , обладающий свойством
.
Его
составляющие в пространствах 
и 
обозначим
соответственно и 
. Так как
, 
,
то
, 
,
,
,
,
.
Числу
поставим в
соответствие ряд ,
,
,
.
Раскладывая 
в бином Ньютона и группируя
члены, можно представить его в виде
,
где
– полином степени 
, 
– полином степени 
. Сравнивая алгоритм получения полиномов 
и 
с алгоритмом получения
полиномов 
и 
при разложении в бином
Ньютона
,
заключаем,
что и получаются из и перестановкой
коэффициентов в обратном порядке и понижением степени на единицу для 
и 
. Например:
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
,
, 
.
Таким образом,
, 
,
,
где
, 
;
, 
, 
,
,
где
, 
.
В
разделе 5.2 мы получили этот же результат, сопоставляя корни полиномов 
и 
с корнями полиномов 
и 
.
Так
как
,
или
,
то
.
Отсюда видно, что
,
.
Так
как при 
,
то пусть
, 
.
Тогда
,
.
Но
нет необходимости искать выражение чисел 
, 
таким образом. Так как
,
,
то
числа 
, из настоящего раздела
отличаются от чисел 
, 
из предыдущего раздела
множителями 
, 
соответственно.
Например,
,
где
, 
, так как множитель 
равен 
, если 
четно, и 
, если нечетно.
Аналогично,
,
где
, 
, так как множитель 
равен 
, если четно, и 
, если нечетно.
6.3
Для полноты картины рассмотрим еще один аналогичный случай.
Ради удобства записи введем нормирующий множитель 
, тем самым немного нарушив аналогию.
Пусть
вектор , , обладает свойством
,
Его
составляющие в пространствах 
и 
обозначим
соответственно 
и 
. Так как
, 
,
то
, 
,
, 
,
, 
.
Числу
поставим в
соответствие ряд ,
,
,
,
,
где
, 
.
Так
как
, 
,
, 
, 
,
то
, , 
,
, 
, .
Так
как при 
,
то пусть
, 
.
Тогда
,
,
, 
,
, 
,
,
.
Так как
, 
,
то
, 
, 
,
или
;
, 
, 
,
или
.
Так как при 
,
то пусть
, 
.
Тогда
,
,
, 
,
, 
;
, 
,
,
;
,
.
6.4
Из
рассмотренных примеров выделим суть.
В разделе 4.1, посвященном собственным базисам
преобразования 
, мы выяснили, что если
, 
,
то
, 
.
Пусть
.
Тогда
,
, 
.
Обозначим:
, 
,
, 
, 
.
Тогда
,
.
Так
как при 
(напомним, что присутствие мнимой единицы
мы допускаем только в корнях
полиномов)
,
,
то
,
,
где
,
.
Таким образом,
, 
,
или
, 
.
Тогда,
учитывая, что 
, 
, совпадают с
полиномами Чебышева 
, 
(см. раздел 5.2),
;
.
Таким образом, 
и 
, 
, являются соответственно 
– составляющей и 
– составляющей вектора 
.
Воспользуемся мнимой единицей для вспомогательных вычислений.
Если 
, то пусть 
, 
. Тогда
,
,
, 
.
Если 
, то пусть 
, 
. Тогда
,
,
, 
.
Если
, или 
, формула 
остается применимой:
, 
, 
;
, 
;
,
, ;
,
, .
Пусть
по-прежнему . Обозначим:
,
,
где
,
.
Тогда
, 
,
или
, 
;
;
.
Пусть
, 
. Тогда
,
,
, 
,
, 
.
Например,
при 
, 
, 
:
, 
,
,
, 
;
,
, .
Отдельно
выделим случай:
; , 
; 
, 
; 
;
, 
,
, 
,
, 
.
В заключение предупредим одно возможное замечание.
Может показаться, что наши подробные
выкладки сводятся к элементарным
равенствам:
,
;
,
;
,
,
,
.
Но
нашей целью является не получение равенств, а изучение алгебраического
механизма, взаимодействие частей которого
эти равенства обеспечивают. Что касается перечисленных равенств, то мы определили их основное место
работы – механизм обобщенного преобразования Эйлера.
Отметим, что так как матрица преобразования 
является
трансформацией матрицы 
:
,
то
операция
является
трансформацией операции
.
Но
не следует придавать этому факту решающего значения. В данном случае
трансформация вызывает синергетический
эффект – будучи произведением матрицы умножения и матрицы степеней, а
также транспонированной матрицей степеней, матрица обладает свойствами,
аналоги которых у матрицы отсутствуют.
Отметим также, что благодаря преобразованию «поворот»,
частным случаем которого является и обобщенное преобразование Эйлера, корень
уравнения 
,
,
воплощается в ряды
,
.
Как мы выяснили, этот факт
имеет прямое отношение к рассмотренной конструкции.
1.
Е. В. Бурлаченко. Алгебраические заметки.
2.
Стахов А. П . Металлические Пропорции – новые математические константы Природы.
www.trinitas.ru/rus/doc/0232/004a/02321079.htm
.