Другие статьи

 

Технический перевод: новости

 

 

 

 

Е. В. Бурлаченко

 

АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЗАМЕТКИ

 

(Продолжение; начало см. в [1])

 

4.3. Трансформации

 

4.3.1

 

Единичную матрицу размерности  обозначим . Матрицу, которая получается из  перестановкой столбцов в обратном порядке обозначим . Например,

.

 

 

 

 

 

 

Матрица  состоит из  первых столбцов матрицы ; матрица  состоит из  первых столбцов матрицы , переставленных в обратном порядке; матрица  состоит из  первых строк матрицы , переставленных в обратном порядке.

Обозначим:

.

Например:

,   ,   .

 

 

 

 

 

 

-м столбцом матрицы  является , .

 

.

 

Например:

,   ,   .

 

 

 

 

 

 

-м столбцом матрицы  является , .

Изучая преобразование «поворот», мы выяснили, что

 

,

 

.

 

Рассмотрим таблицы

 

                                       

       :                        :

 

 ,               ;

 

 

 

 

 

 

 

 

                    

:                      :   

 

 ,          .

 

 

 

 

 

 

 

 

-й столбец верхней половины таблицы  совпадает с -й строкой; -й столбец верхней половины таблицы , , совпадает с -й строкой, умноженной на ; -й столбец верхней половины таблицы , , совпадает с -й строкой таблицы  .

Отметим,что

,

 

,

 

.

 

Пусть  – полином степени . Тогда:

 

 

,

 

 

так как  первых столбцов матрицы  совпадают со столбцами матрицы . Например,

 

 

;

 

 

 

 

 

,

 

так как  первых столбцов матрицы  совпадают со столбцами матрицы . Например,

 

 

.

 

 

 

Таким образом, если

,

то

.

Так как

,

то

.

 

 

Таким образом, -й столбец верхней половины таблицы  , , совпадает с -й строкой таблицы , или -й член вектора , , равен -му члену вектора , и наоборот: -й член вектора , , равен -му члену вектора .

 

 

 

4.3.2

 

Последовательности столбцов матриц   и  ,  ,  , совпадают с последовательностями строк верхней и нижней половин таблицы  . Формулы

 

,

 

,

 

 

позволяют изучать таблицу  , рассматривая в качестве ее элементов не строки, а столбцы.

-ю строку матрицы  ,  , обозначим

 

,

 

 

так что  – полином степени . Тогда -я строка матрицы  имеет вид

 

 

 

,

 

где

,

 

 

так как  первых столбцов матрицы  совпадают со столбцами матрицы   . Например,

 

.

 

 

 

 

 

Так как

,

 

 

 

 

 

то -я строка матрицы , , имеет вид

 

 

,

 

где

,

 

 

так как  первых столбцов матрицы   совпадают со столбцами матрицы  . Например,

 

,

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

Таким образом, -я строка матрицы , , имеет вид , где  – полином степени ; -я строка матрицы , , имеет вид , где  – полином степени ; и, что самое интересное,

 

.

 

 

Например, если  ,  то , , .

 

 

-ю строку матрицы  , где  , обозначим  ,  . Найдем преобразование  , такое, что 

.

 

 

 

Диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны значениям вектора  обозначим :

 

 

,   ,

 

 

 

 

 

 

,          ,

 

,         .

 

 

Мы знаем, что элементы матриц  и  связаны равенством

 

,      ,

 

 

где верхний индекс – номер столбца, нижний индекс – номер строки. Следовательно, если -я строка матрицы  имеет вид , то -я строка матрицы   имеет вид .

 

Преобразование  отображает  на ; преобразование ,

 

 

 

,

 

 

отображает  на -ю строку матрицы , т.е. на . Таким образом,

 

,

 

.

 

 

Так как

,

то

.

 

 

 

Применительно к  :

 

,

 

,

 

.

 

Так как

,

то

.

 

Окончательно получаем:

 

 

,

 

 

 

так как  первых столбцов матрицы    совпадают со столбцами матрицы . Например,

 

,

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Пусть . Тогда . Так как -я строка матрицы  имеет вид , -я строка матрицы  имеет вид  , то

,

 

.

 

Т.е. преобразование  является отражением, и 

 

.

 

Таким образом,  получается из  перестановкой в обратном порядке строк и столбцов:

 

,  ,  .

 

 

 

 

 

 

 

Так как  – определенная модификация невырожденной матрицы умножения, естественным образом определяется ее степень:

 

.

Например,

,     ,

 

 

 

 

 

,    

 

 

 

 

 

-ю строку матрицы  обозначим . Тогда

 

,

 

,

 

.

 

 

 

4.3.3

 

Структура преобразования  станет более прозрачной, если воспользоваться биномиальной формой записи.

Для формулы общего члена последовательности введем обозначение

 

,    

 

Если  – -я строка матрицы , ,  – -я строка матрицы  , , то

 

,

 

 

 

 

.

 

 

 

 

Рассмотрим выражение

,    

 

 

Так как

,     ,     ,

 

 

то

   должно равняться нулю при подстановках

 

 должно равняться нулю при подстановках 

 

 должно равняться нулю при подстановках 

 

 

Следовательно,

,

 

,

 

 .

 

Обобщая, выводим:

,    .

 

 

 

Матрицу, -м столбцом которой является полином

 

,

 

 

, обозначим  . Например:

 ,   ,     .

 

 

 

 

 

 

(В разделе 1.5, посвященном биномиальным последовательностям, символ  означает  из настоящего раздела; понятия биномиальной последовательности и биномиальной формы записи почти совпадают, но для наших целей биномиальная форма записи более удобна.)

По определению преобразования , если 

 

,

то

,

 

так как

,

 

где

.

 

 

Таким образом, преобразование   отображает   на -ю строку матрицы  , умноженную на  . Так как

 

,

 

то

,

 

 

.

 

 

 

Если , то . Так как -я строка матрицы  имеет вид , то

 

.

 

 

-ю строку матрицы  , , в порядке исключения выделив множитель, обозначим  , где   совпадает с полиномом Эйлера   [1, с.254], [2, c.139]:

 

 

,     ,     ,

 

,     …

 

 

Так как

,

 

то

,   .

 

 

Таким образом, -м столбцом матрицы   является вектор :

 

 

 ,     ,     .

 

 

 

 

 

 

Мы знаем, что если -я строка матрицы   имеет вид , где , то -я строка матрицы  имеет вид . Окончательно получаем:

 

.

 

 

Таким образом, равенство  вытекает также из равенств:

 

,

 

,

 

 

Обозначим:

,

 

.

 

 

Так как

,

то

.

 

 

Например:

 

 ,

 

 

 

 

 

 ,

 

 

 

 

 

 

 .

 

 

 

 

 

 

 

Так как каждый столбец матрицы  , кроме последнего, содержит множитель , то каждый столбец матрицы  , , также содержит множитель  и сумма его членов равна нулю. Следовательно, сумма членов каждого столбца матрицы   равна единице.

 

Таким образом, преобразование   сохраняет сумму значений вектора.

-ю строку матрицы  ,  , обозначим  . Тогда 

 

 

.

 

Так как

 ,

 

 ,

то

 .

 

 

 

4.3.4

 

Обозначим:

.

 

Диагональную матрицу, диагональные элементы которой равны значениям вектора  , обозначим  :

 

.

 

Вектор    раскладывается на составляющие по правилу

 

 ,

где

,

 

.

 

 

Например,

.

 

 

 

-ю строку матрицы  обозначим . Так как -й член вектора    равен -му члену вектора  , т.е.

,

где

,

то

 

,

где

.

 

Обозначим:

.

 

Например,

 

.

 

 

 

 

 

 

 

Убедимся, что  – квадратная матрица размерности :

 

,

,

.

,        ,        .

 

 

 

 

,  

,

.

 

,       ,       .

 

 

 

 

,

,

.

 

,     ,     .

 

 

 

 

,

.

 

 ,         .

 

 

 

 

 

Матрицу можно также представить следующим образом. Матрицу, -я строка которой совпадает с -й строкой матрицы , обозначим . Например:

 

,   .

 

 

 

 

 

 

Матрица  образована пересечением  первых строк и  первых столбцов матрицы   при подстановке .

Преобразование   отображает   на  . Отсюда вытекает, что, во-первых,

 

,

во-вторых,

,

 

так как преобразование  отображает -ю строку матрицы  на -ю строку матрицы .

 

Таким образом,  является собственным вектором преобразования   с собственным значением  .

 

Рассмотрим равенство

.

 

Каждый член вектора , начиная с -го, равен сумме членов вектора , т.е. . Следовательно, сумма членов вектора ,  , также равна  .

 

Таким образом, сумма членов каждого столбца матрицы   равна   и на эту величину преобразование   умножает сумму значений вектора.

 

Отметим также, что

,

 

.

 

 

-ю строку матрицы    обозначим  . Так как

 

,

то

 

 

;

 

.

 

 

-ю строку матрицы  обозначим , так что

 

.

 

 

Если , то -я строка матрицы  совпадает с . Так как

 

 

:

 

 

,

 

 

 

 

 

то

,

 

.



 

 

 

1. Е. В. Бурлаченко. Алгебраические заметки.

2. Риордан Д. Введение в комбинаторный анализ. – М.: ИЛ, 1963.

3. Сачков В. Н. Комбинаторные методы дискретной математики. – М.: Наука, 1977.