Другие статьи

К ВОПРОСУ ЗАДАНИЯ В АНАЛИТИЧЕСКОМ ВИДЕ

СТУПЕНЧАТЫХ И ИМПУЛЬСНЫХ ФУНКЦИЙ 

        А.М. Белов                                 

К ступенчатым функциям обычно относят функции постоянные на каждом из конечного множества интервалов. При стремлении интервала к нулю, т.е. превращении интервала в точку ступенчатая функция переходит в единичную импульсную функцию. К импульсным так же относят функции, претерпевающие скачкообразные изменения на множестве конечных интервалов, описывающие импульсы прямоугольной, треугольной и иной формы. Примеры именно таких функций с использованием в  их наименовании терминов ступенчатые и импульсные можно найти в справочнике [1].

Необходимо отметить, что термины ступенчатые и импульсные функции используются не всегда. К ступенчатым и импульсным функции по существу относятся обобщенные функции. Из обобщенных функций наиболее известной представительницей ступенчатой функции является функция     Хевисайда, а импульсной дельта-функция Дирака [2,3].

Введение ступенчатых и импульсных функций было вызвано появлением в ХХ столетии потребностей в описании новых явлений и процессов в различных быстро развивающихся областях знаний. Однако появление таких функций нельзя связывать только с началом ХХ столетия, так, например символ Кронекера был введен в 1866 году.

В настоящее время уже введено и применяется большое количество ступенчатых и импульсных функций. При этом наличие у них особых свойств привело к тому, что при их задании в основном используется способ задания функций словесной формулировкой иногда с совмещением способа задания функций разными формулами на разных частях области определения. Например, функция Хевисайда задается следующим описанием:

Q(x)=0 при x<0 или =0 и Q(x)=1 при x>0, производная равна единичному импульсу, где Q(x) обозначение функции Хевисайда.      

В связи с этим ступенчатые и импульсные функции часто называют не функциями, а символами или аппроксимируют их различными непрерывными функциями.

Далее будут приведены методы и конкретные примеры задания ступенчатых и импульсных функций аналитическим способом  (уравнениями) без использования словесных формулировок (условий), в том числе для описания области определения функций.

Реализация аналитического способа задания функций этого типа была осуществлена за счет применения специального уравнения (1) [4].

   y=[x/x_i]·[x_i/x] ,                                                                                             (1)

где [ ] – знак, обозначающий целую часть числа; x_i – любое число.

Замечание: Знак [ ] в выражении (1) и далее по тексту статьи предполагает выполнение процедуры по отбрасыванию дробной части числа. Именно эту операцию обычно выполняют все компьютерные математические программы. Однако существуют иные определения целой части числа, которые называют целой частью числа  х наибольшее целое число, не превосходящее х. Эти различия существенны для отрицательных чисел. Например, если над числом –5,4 выполнить операцию по отбрасыванию целой части числа, то будет получено число –5, а если найти наибольшее целое число, не превосходящее число –5,4, то будет получено число –6.

Функция заданная уравнением (1) определена везде кроме точки х=0 и у=0 для всех значений х кроме х=х_i и –x_i, где y=1.

Если уравнение (1) разделить само на себя, то будет получено уравнение (2).

y=([x/x_i]·[x_i/x])/ ([x/x_i]·[x_i/x])                                                                                  (2)

График уравнения (2) состоит из двух точек (x_i,1) и (-x_i,1). Для всех иных значений х функция (2) значений не имеет из-за возникновения ситуаций деления на ноль. Проводить сокращения в уравнении (2) нельзя, так как тогда у всегда будет равно 1 и ситуаций деления на ноль возникать не будет.

Исходя из свойств уравнений (1) и (2) можно сделать вывод, что путем изменения значений x_i или замены их в уравнениях различными функциями, а так же комбинации уравнений (1) и (2) можно составить уравнения, задающие импульсные и ступенчатые функции практически любой формы.  За счет проведения таких преобразований в уравнениях (1,2) и были получены ниже приведенные уравнения наиболее важных импульсных и ступенчатых функций:

Импульсная функция равная единице при х=0 и равная нулю при всех прочих значениях х в аналитическом виде может быть задана уравнением (3), а функция равная единице при х=0 и равная нулю при всех прочих значениях х, уравнением (4).

y=[(1+2·|x|)/(1+|x|)]·[(1+|x|)/(1+2·|x|)]                                                                              (3)

y=[(1+2·|x|)/(1+|x+1|)]·[(1+|x+1|)/(1+2·|x|)]                                                                    (4)

Импульсная функция принимающая значения от нуля до единицы при х=0 и равная нулю при всех прочих значениях х в аналитическом виде может быть задана уравнением (5).

             y=(M·y·S₁)/(M·S₁ + S₂ ),                                                                                                   (5)

где

            M=[|y|+|1-y|]·[1/(|y|+|1-y|)] ;

            S₁ =[(1+2·|x|)/(1+|x|)]·[(1+|x|)/(1+2·|x|)] ;

            S₂ =[(1+2·|y|)/(1+|y|)]·[(1+|y|)/(1+2·|y|)].

        Импульсная функция принимающая значения от нуля до единицы при х=1 и равная нулю при всех прочих значениях х в аналитическом виде может быть задана уравнением (6).

              y=(M·y·S₁)/(M·S₁ + S₂ ),                                                                                                   (6)

где

            M=[|y|+|1-y|]·[1/(|y|+|1-y|)] ;

            S₁ =[(1+2·|x|)/(1+|x+1|)]·[(1+|x+1|)/(1+2·|x|)] ;

            S₂ =[(1+2·|y|)/(1+|y|)]·[(1+|y|)/(1+2·|y|)].

Уравнения (5) и (6) отличаются друг от друга лишь значениями своих коэффициентов S₁.

Так как, функции, заданные уравнениями (5) и (6) являются многозначными и более того могут иметь бесконечно большое количество значений, то аналитически они заданы, как неявные функции. 

            Импульсная разрывная функция, равная единице при х принадлежащем интервалу от нуля до единицы и равная нулю при всех прочих значениях х в аналитическом виде может быть задана уравнением (7).

у=[|x|+|1-x|]·[1/( |x|+|1-x|)]                                                                                                  (7)

Импульсные единичные непрерывные функции, описывающие импульсы прямоугольной и треугольной формы в аналитическом виде они могут быть заданы соответственно уравнениями (8) и (9).

y=y·(S₁ ·M₂ +M₁ ·(S₂ +S₃ ))/(M₃ ·(1-S₁)+S₁ ·M₂ +M₁ ·(S₂ +S₃ )),                                      (8)

где

S₁ =[|x|+|1-x|]·[1/(|x|+|1-x|)] ;

S₂ =[(1+2·|x|)/(1+|x|)]·[(1+|x|)/(1+2·|x|)] ;

S₃ =[(1+2·|x|)/(1+|x+1|)]·[(1+|x+1|)/(1+2·|x|)] ;

M₁ =[|y|+|1-y|]·[1/(|y|+|1-y|)] ;

M₂ =[(1+2·|y|)/(1+|y+1|)]·[(1+|y+1|)/(1+2·|y|)] ;

M₃ =[(1+2·|y|)/(1+|y|)]·[(1+|y|)/(1+2·|y|)].

 y= S₁ ·(2·x- S₃ )+2· S₂ ·(1-x) ,                                                                                         (9)

где

S₁ =[2·(|x|+|0,5-x|)]·[0,5/(|x|+|0,5-x|)] ;

S₂ =[0,5+|0,5-x|+|1-x|]·[1/(0,5+|0,5-x|+|1-x|)] ;

 S₃ =[(1+2·|x|)/(1,5+|x|)]·[(1,5+|x|)/(1+2·|x|)].

            Уравнение (10) задает ступенчатую разрывную функцию равную нулю для х<0 и равную единице для всех остальных значений х.

            y=[(1+2·|x|)/(1+x+|x|)]·[(1+x+|x|)/ (1+2·|x|)]                                                                   (10)

            Уравнение (11) задает ступенчатую непрерывную функцию равную нулю для х<0, принимающая значения от нуля до единицы при х=0 и равную единице для всех остальных значений х.

              y=S₄ -(S₁ ·S·(1-y))/(S₁ ·S+(1-S)·(S₂ ·(1-S₄ )+S₃ ·S₄ ) ,                                                       (11)

где

            S=[(1+2·|x|)/(1+|x|)]·[(1+|x|)/(1+2·|x|)] ;

             S₁ =[|y|+|1-y|]·[1/(|y|+|1-y|)] ;

            S₂ =[(1+2·|y|)/(1+|y|)]·[(1+|y|)/(1+2·|y|)] ;

            S₃ =[(1+2·|y|)/(1+|y+1|)]·[(1+|y+1|)/(1+2·|y|)] ;

            S₄ =[(1+2·|x|)/(1+x+|x|)]·[(1+x+|x|)/(1+2·|x|)] .

            Уравнение (12) задает непрерывную многозначную функцию, описывающую единичный импульс, изменяющийся по величине в точке x=0 от нуля до бесконечности. Причем для всех иных значениях х все значения этой функции равны нулю. Во избежание получения в ходе вычислений по уравнению (12) неправильных результатов дальнейшие сокращения в этом уравнении производить нельзя.

           y=y· S₂ /(S₁ + S₂ )·(S₁ +|y|+y)/(S₁ +|y|+y) ,                                                                             (12)

            где

            S₁ =[(1+2·|y|)/(1+|y|)]·[(1+|y|)/(1+2·|y|)] ;

            S₂ =[(1+2·|x|)/(1+|x|)]·[(1+|x|)/(1+2·|x|)] .

Нетрудно заметить, что уравнение (12) практически задает дельта-функцию Дирака. Однако, необходимо отметить, что уравнение (12) все же имеет отличия от описания дельта-функции Дирака. Так  согласно описанию, функция Дирака при х=0 равна бесконечности, а уравнение (12) при х=0 обеспечивает изменение значений у от нуля до бесконечности. Это отличие в свою очередь порождает отличие в значении интеграла с бесконечными пределами от функции Дирака и уравнения (12). Согласно описанию дельта-функции Дирака интеграл с бесконечными пределами этой функции равен единице. Значение интеграла уравнения (12) можно оценить из произведения у на бесконечно малую величину 1/∞. Это произведение при y=0 равно нулю, а при у=∞ равно единице. Таким образом, значение интеграла уравнения (12) изменяется от нуля до единицы, а дельта-функцию Дирака можно рассматривать, как частный случай уравнения (12).  

            Уравнение (10) в аналитическом виде задает функцию Хевисайда. Уравнение (11) так же обеспечивает задание функции Хевисайда, но с обеспечением дополнительных возможностей заключающихся в том, что при х=0 у не только равно 1, а может изменяться от 0 до 1 и при этом иметь бесконечно много значений.

            Производная от уравнения (11) для всех х<0 и х>0 равна 0. Для х=0 значение производной можно оценить, как отношение изменения у к бесконечно малому изменению х=1/∞. Для х=0 значения у могут изменяться от 0 до 1 и следовательно значения этого отношения могут изменяться в диапазоне от 0 до ∞ (можно так же утверждать, что принимает значения равные либо 0, либо ∞). Таким образом, производная от уравнения (11) выражается уравнением (12).

            Приведенные примеры показывают принципиальную возможность задания на основе использования уравнения (1)  аналитическим способом в виде уравнений, как разрывных, так и непрерывных импульсных и ступенчатых функций. При этом возможен полный отказ от сопровождения этих уравнений дополнительными словесными формулировками, а сами уравнения имеют более широкий диапазон своих возможных значений, что может обеспечить реализацию различных дополнительных возможностей, например, наложение на них различных законов распределения.

    Литература

    1. Г. Корн, Т. Корн Справочник по математике.  - М. Наука. 1974.

    2. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. - М.: Наука, 1981.

    3. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике. - М. Наука, 1979.

    4. Белов А.М. Функция для описания скачкообразно и качественно изменяющихся процессов // Тульские ученые накануне третьего тысячелетия: Сб. аналит. и информ. материалов. - Тула: Гриф и К^о , 2000. - С. 40-41.   

    Версию статьи с иллюстрациями можно найти на laboratory.ru.