1. Понятие гармонии

Вот как пишет о гармонии Алексей Петрович Стахов, доктор технических наук (1972 г.), профессор (1974 г.), академик Академии инженерных наук Украины (www.goldenmuseum.com).

"С давних пор человек стремится окружать себя красивыми вещами. Уже предметы обихода жителей древности, которые, казалось бы, преследовали чисто утилитарную цель - служить хранилищем воды, оружием на охоте и т.д., демонстрируют стремление человека к красоте. На определенном этапе своего развития человек начал задаваться вопросом: почему тот или иной предмет является красивым и что является основой прекрасного? Уже в Древней Греции изучение сущности красоты, прекрасного, сформировалось в самостоятельную ветвь науки - эстетику, которая у античных философов была неотделима от космологии. Тогда же родилось представление о том, что основой прекрасного является гармония.

Красота и гармония стали важнейшими категориями познания, в определенной степени даже его целью, ибо в конечном итоге художник ищет истину в красоте, а ученый - красоту в истине.

Красота скульптуры, красота храма, красота картины, симфонии, поэмы... Что между ними общего? Разве можно сравнивать красоту храма с красотой ноктюрна? Оказывается можно, если будут найдены единые критерии прекрасного, если будут открыты общие формулы красоты, объединяющие понятие прекрасного самых различных объектов - от цветка ромашки до красоты обнаженного человеческого тела?.....".

Известный итальянский теоретик архитектуры Леон-Баттиста Альберти, написавший много книг о зодчестве, говорил о гармонии следующее:

"Есть нечто большее, слагающееся из сочетания и связи трех вещей (числа, ограничения и размещения), нечто, чем чудесно озаряется весь лик красоты. Это мы называем гармонией, которая, без сомнения, источник всякой прелести и красоты. Ведь назначение и цель гармонии - упорядочить части, вообще говоря, различные по природе, неким совершенным соотношением так, чтобы они одна другой соответствовали, создавая красоту... Она охватывает всю жизнь человеческую, пронизывает всю природу вещей. Ибо все, что производит природа, все это соизмеряется законом гармонии. И нет у природы большей заботы, чем та, чтобы произведенное ею было совершенным. Этого никак не достичь без гармонии, ибо без нее распадается высшее согласие частей".

В Большой Советской Энциклопедии дается следующее определение понятия "гармония":

"Гармония - соразмерность частей и целого, слияние различных компонентов объекта в единое органическое целое. В гармонии получают внешнее выявление внутренняя упорядоченность и мера бытия".

"Формул красоты" уже известно немало. Уже давно в своих творениях люди предпочитают правильные геометрические формы - квадрат, круг, равнобедренный треугольник, пирамиду и т.д. В пропорциях сооружений отдаются предпочтение целочисленным соотношениям.

Из многих пропорций, которыми издавна пользовался человек при создании гармонических произведений, существует одна, единственная и неповторимая, обладающая уникальными свойствами. Эту пропорцию называли по разному - "золотой", "божественной", "золотым сечением", "золотым числом", "золотой серединой".

рис. 1

"Золотая пропорция" - это понятие математическое и ее изучение - это прежде всего задача науки. Но она же является критерием гармонии и красоты, а это уже категория искусства и эстетики. И наш Музей, который посвящен изучению этого уникального феномена, является, несомненно, научным музеем, посвященным изучению гармонии и красоты с математической точки зрения".

На сайте А. П. Стахова (www.goldenmuseum.com) приводится много интересной и поучительной информации о замечательных свойствах золотого сечения. И это не удивительно.

С понятием «золотое сечение» связывают гармонию Природы. При этом с гармонией, как правило, связывают принципы симметрии в живой и неживой Природе.

Поэтому всеобщностью проявления принципа золотого сечения сегодня уже никого не удивишь. И каждое новое открытие в сфере выявления еще одной золотой пропорции уже никого не поражает, разве что самого автора такого открытия.

Всеобщность этого принципа ни у кого не вызывает сомнения. В различных справочниках приводятся сотни формул, связывающих ряд Фибоначчи с золотым сечением, в том числе и ряд формул, отражающих взаимодействия в мире элементарных частиц [92].

Среди этих формул хочется отметить одну- бином Ньютона для золотой пропорции

где -число перестановок.

А бином Ньютона, как известно, отражает степенную функцию двойственного отношения.

Данная формула привязывает бином золотого отношения к Единице.

Без этого принципа, по сути дела, нельзя рассмотреть ни одной фундаментальной проблемы. В милогии эта пропорция обоснована как принцип самодостаточности. И все же несмотря на всеобщность золотая пропорция на практике используется далеко не всегда, и не везде.

2. МОНАДА И ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ

Принципы симметрии лежат в основе теории относительности, квантовой механики, физики твердого тела, атомной и ядерной физики, физики элементарных частиц. Выше было показано, что симметрия - это одна из форм проявления двойственности. Поэтому нет ничего удивительного в том, что эти принципы наиболее ярко выражаются в свойствах инвариантности законов природы. В [1,2] показано, что симметрия и асимметрия не просто взаимосвязаны друг с другом, а они являются разными формами проявления закономерности двойственности.

Закономерность двойственности является одним из основных механизмов эволюции живой и неживой материи. Действительно, способность к размножению у живых организмов можно естественно объяснить только тем, что в процессе своего развития организм полностью достраивает свою оболочку и попытка дальнейшего усложнения структуры приводит, в силу закономерности об ограниченности и замкнутости, к трансформации из организма с внутренней двойственностью в организм с внешней двойственностью, т. е. удвоению, которое осуществляется путем деления оригинала. Затем процесс повторяется. Закономерность двойственности является ответственной за создание дублирующих органов в живом организме. Это дублирование не является следствием эволюции живых организмов.

В основе золотого сечения лежит простая пропорция, которая хорошо видна на рисунке золотой спирали:

Правила золотого сечения были известны еще в Вавилонии и древнем Египте. Пропорции пирамиды Хеопса, предметов из гробницы Тутанхамона, других произведений древнего искусства красноречиво об этом свидетельствуют, а сам термин “золотое сечение” принадлежит Леонардо да Винчи. С тех пор многие шедевры искусства, архитектуры и музыки выполняются при неукоснительном соблюдении золотой пропорции, несомненно отражающей строение наших сенсорных оболочек – глаз и ушей, головного мозга – анализатора геометрических, цветовых, световых, звуковых и других образов.

Золотое сечение обладает еще одной тайной. Оно скрывает в себе свойство самонормирования.

Академик Толкачев В.К. в своей книге "Роскошь системного мышления" так пишет об этом важном свойстве золотого сечения:

«Когда-то Клавдий Птолемей разделил равномерно рост человека на 21 отрезок и выделил две основные части: большую (мажор), состоящую из 13-и отрезков, и меньшую (минор) - из 8-и. При этом оказалось, что отношение длины всей фигуры человека к длине ее большей части равно отношению большей части к меньшей....

Проиллюстрировать золотое отношение можно следующим образом. Если единичный отрезок разделить на две неравные части (мажор и минор) так, что длина всего отрезка (т.е. мажор + минор = 1) относится к мажору точно так же, как мажор относится к минору:

(мажор + минор) / мажор = мажор / минор = Ф,

то такая задача имеет решение в виде корней уравнения х² - х - 1 =0, численное значение которых:

х₁ = - 0,618033989..., х₂ = 1,618033989...,

Первый корень обозначается буквой "Ф", а второй "- Ф", но мы будем пользоваться иными обозначениями: Ф=1,618033989..., а Ф^-1= 0,618033989...

Это - единственное число, которое обладает свойством быть ровно на единицу больше своего обратного отношения".

Отметим, что другое уравнение х² - y- 1 =xy превращается в тождество при следующих значениях

х₁ = + 0,618033989..., y₁ =- 1,618033989...,

x₂ = -1,618033989..., y₂= 0,618033989...,

Может быть в совокупности эти корни и порождают животворящий крест- крест золотого сечения?

Уравнение золотого сечения

Ф²-Ф=1

где Ф₁ = -Ф^-1= - 0,618033989..., и Ф₂ = Ф¹=1,618033989...,

удовлетворяют свойству самонормирования, позволяющее строить более сложные "конструкции" по "образу и подобию".

Подставляя корни в уравнение х(х-1)=1, мы получим

Ф¹(Ф¹-1)= 1,618..*1,618..-1,618..=2,618..-1,618..=1

Ф^-2-(-Ф^-1)=0,382...+0,6181=1.

Таким образом, данное уравнение отражает не только принцип самонормирования, вытекающего из Единого закона эволюции двойственного отношения (монады), но и связь золотого сечения с биномом Ньютона (с монадой).

Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества

Ф^-2=0,382...;

Ф^-1=0,618...;

Ф¹=1,618...;

Ф²=2,618...;

Откуда непосредственно можно увидеть, что корни уравнения Ф²-Ф=1 обладают еще и другим и замечательными свойствами Ф¹Ф^-1=Ф⁰ =1 и

Ф^-1(Ф¹-1)= 1-Ф^-1; Ф¹(Ф^-1-1)=1-Ф¹=1;

Оно характеризует инвариантность одной математической монады в другую, путем умножения её на обратную величину, т.е. можно сказать, что корни уравнения золотого сечения сами формируют золотую, самонормированную монаду <Ф^-1,Ф¹>.

Поэтому данное уравнение по праву можно назвать уравнением золотого сечения.

Дополнительные свойства этого уравнения может узнать каждый, используя бином Ньютона и производящие функции (Преемственность).

Нетрудно понять, что процесс все более сложных "золотых монад" будет осуществляться "по образу и подобию", т.е. этот процесс будет периодически повторяющимся, а все результаты оказываются как бы замкнутыми в рамки золотого сечения.

Но, пожалуй, самые замечательные свойства золотого сечения связаны, в первую очередь, с уравнением золотого сечения, приведенным выше. Это уравнение является двойственным

х² + х - 1 =0.

Корни этого уравнения численно равны:

х₁ = + 0,618033989..., х₂ = -1,618033989...,

Это значит, что уравнения золотого сечения формируют крест золотого сечения с перекладинами

рис. 2

Вот он, поистине золотой крест, лежащий в основе мироздания!

На правом рисунке непосредственно видно, что значения выражения в полюсах вертикальной перекладины равны 1. Из креста на левом рисунке видно также, что при каждом переходе с одной перекладины на вторую осуществляются самонормировки. Самонормировка происходит как при сложении, так и при умножении. Разница получается только в знаке. И это не случайно.

При движении по перекладинам мы получаем еще четыре значения

· при сложении: 0 и 0,

· при умножении: -0,382.., и -2,618.

Нетрудно показать, что будут справедливы следующие тождества

Ф^-2=0,382...;

Ф^-1=0,618...;

Ф¹=1,618...;

Ф²=2,618...;

Используя ряд этих значений, и совершая обход по кресту мы получим еще один золотосеченный крест.

Нетрудно показать, как из этих крестов, сформировать двойной крест, порождающий закон Куба.

рис. 3

Ниже мы покажем, что шесть полученных значений полностью вписываются в рамки сложного отношения - уникальной закономерности, известной из проективной геометрии.

А сейчас мы приведем еще один рисунок, который непосредственно говорит о связи золотого сечения и Куба Закона.

рис. 4

Сравните этот рисунок, нарисованный еще Леонардо да Винчи, с предыдущим. Увидели?

Поэтому гимн золотому сечению можно продолжать до бесконечности. Так итальянский математик Лука Пачолли в своем труде "Божественная пропорция" приводит 13 свойств золотого сечения, снабжая каждое из них эпитетами - исключительное, несказанное, замечательнейшее, сверхъестественное, и т.д.

Трудно сказать, связаны ли эти свойства с числом 13 или нет. Но вот хроматическая гамма связана и с числом 13, и с числом 8. Так, пропорцию 13/8 можно представить как 8/8+5/8. С этими

пропорциями связываются и многие духовные знания (Путь к себе).

3. РЯДЫ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Из вышеприведенных свойств золотого сечения следует вывод, что ряд

...; Ф^-2=0,382...; Ф^-1=0,618...; Ф⁰; Ф¹=1,618...; Ф²=2,618...; ...;

может быть продолжен как вправо, так и влево.

Более того, умножение это ряда на Ф⁺ⁿ или Ф^-ⁿ порождает новый ряд, сдвинутый соответственно вправо или влево от исходного. Коэффициенты Ф⁺ⁿ или Ф^-ⁿможно считать коэффициентами подобия золотосеченных рядов.

Золотосеченные ряды могут формировать натуральный ряд целых чисел.

Посмотрите, эти числа имеют удивительные свойства. Они формируют не только Великие Пределы двойственных"золотых монад". Они формируют Великие Пределы триад (числа 5, 8,..).

Они формируют и крест (число 9).

Но существуют и другие, более фундаментальные золотосеченные ряды. В первую очередь следует привести формулу "золотого" бинома Ньютона.

Бином Ньютона уже изначально свидетельствует о существовании монады (двойственного отношения) и его свойства лежат в основе биномиальных рядов (арифметический треугольник и др.). Теперь можно сказать и о том, что все биномиальные ряды могут быть выражены через золотую пропорцию. Золотая монада бинома Ньютона отражает еще одно важнейшее свойство мироздания. Она является нормированной (единичной).

4. О СВЯЗИ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ С РЯДОМ ФИБОНАЧЧИ

Природа как бы решает задачу сразу с двух сторон и складывает полученные результаты. Как только получает в сумме 1, то осуществляет переход в следующее измерение, где начинает строить все сначала. Но тогда она и должна строить это золотое сечение по определенному правилу. Природа не пользуется золотым сечением сразу. Она его получает путем последовательных итераций. Она для порождения золотого сечения пользуется другим рядом, - рядом Фибоначчи.

Рис. 5

Рис. 6. Спираль золотого сечения и спираль Фибоначчи

Замечательным свойством этого ряда является то, что по мере увеличения чисел ряда отношение двух соседних членов этого ряда асимптотически приближается к точной пропорции Золотого сечения (1:1,618) основе красоты и гармонии в окружающей нас природе, в том числе и в человеческих отношениях [59]. Отметим, что сам Фибоначчи открыл свой знаменитый ряд, размышляя над задачей о количестве кроликов, которые в течении одного года должны родиться от одной пары. У него получилось, что в каждом последующем месяце после второго число пар кроликов в точности следует цифровому ряду, которое ныне носит его имя. Поэтому не случайно, что и сам человек устроен по ряду Фибоначчи. Каждый орган устроен в соответствии с внутренней, или внешней двойственностью.

Следует сказать, что спираль Фибоначчи может быть двойной. Существуют многочисленные примеры этих двойных спиралей, встречающихся повсюду. Так спирали подсолнухов всегда соотносятся с рядом Фибоначчи. Даже в обычной сосновой шишке можно увидеть эту двойную спираль Фибоначчи. Первая спираль идет в одну сторону, вторая - в другую. Если посчитать число чешуек в спирали, вращающейся в одном направлении, и число чешуек в другой спирали, можно увидеть, что это всегда два последовательных числа ряда Фибоначчи. Может быть восемь в одном направлении и 13 в другом, или 13 в одном и 21 в другом [3].

В чем разница между спиралями золотого сечения и спиралью Фибоначчи? Спираль золотого сечения идеальна. Она соответствует Первоисточнику гармонии. Эта спираль не имеет ни начала, ни конца. Она бесконечна. Спираль Фибоначчи имеет начало, от которого она начинает “раскрутку”. Это очень важное свойство. Оно позволяет Природе после очередного замкнутого цикла осуществлять строительство новой спирали с “нуля”.

Эти факты еще раз подтверждают, что закон о двойственности дает не только качественные, но и количественные результаты. Они заставляют задуматься о том, что окружающий нас Макромир и Микромир эволюцирует по одним и тем же законам- законам иерархии, и что эти законы едины для живой и для неживой материи. Закон двойственности является виновником того, что Иерархия, имея в своем багаже только один этот алгоритм формирования инвариантных оболочек, позволяет строить производящие функции этих оболочек, строить Единый Периодический Закон Эволюции Материи [2]. Пусть мы имеем следующую производящую функцию

При n=1 мы будем иметь производящую функцию вида

и т.д. Теперь попробуем определять очередной член производящей функции по рекуррентной зависимости, полагая, что этот член функции будет получаться путем суммирования ее двух последних членов. Например, при n=1, значение третьего члена ряда будет равно 2. В итоге мы получим ряд (1-1х+2х2). Тогда, умножая производящую функцию на оператор (1-х) и используя рекуррентную зависимость для вычисления очередного члена ряда, мы и получим искомую производящую функцию. Обозначая через значение n-го члена ряда, а через предыдущее значение этого ряда и полагая n=1,2,3,…. процесс последовательного формирования членов ряда можно изобразить следующим образом (табл. 1).

Таблица 1.

Из таблицы видно, что после получения очередного результирующего члена ряда, этот член подставляется в исходный многочлен и производится сложение с предыдущим, затем новый результирующий член подставляется в исходный ряд и т. д. В результате мы получаем ряд Фибоначчи. Из таблицы непосредственно видно, что ряд Фибоначчи обладает свойством инвариантности относительно оператора (1-х) - он формируется как ряд, получаемый в результате умножения ряда Фибоначчи на оператор (1-х), т.е. производящая функция ряда Фибоначчи при умножении на оператор (1-х) порождает саму себя. И это замечательное свойство также является следствием проявления закономерности о двойственности. Действительно в [1], [2], было показано, что многократное применение оператора вида (1+х) оставляет структуру многочлена неизменной, а ряд Фибоначчи обладает дополнительным, еще более замечательными свойствами: каждый член этого ряда является суммой двух его последних членов. Поэтому Природе не надо помнить сам ряд Фибоначчи. Надо только помнить последние два члена ряда и оператор вида P*(x)=(1-x), ответственного за данный алгоритм удвоения, чтобы получать без ошибки ряд Фибоначчи.

Но почему в Природе именно этот ряд играет решающую роль? На этот вопрос может дать исчерпывающий ответ концепция тройственности, определяющая условия ее самосохранения. При нарушении «баланса интересов» триады одним из ее «партнеров», «мнения» двух других «партнеров» должны быть скорректированы. Особенно наглядно концепция тройственности проявляется в физике, где из кварков построили «почти» все элементарные частицы. Если вспомнить, что отношения дробных зарядов кварковых частиц составляют ряд , а это и есть первые члены ряда Фибоначчи, которые необходимы для формирования других элементарных частиц.

Возможно, что спираль Фибоначчи может играть решающую роль и в формировании закономерности ограниченности и замкнутости иерархических пространств. Действительно, представим, что на каком-то этапе эволюции спираль Фибоначчи достигла совершенства (она стала неотличима от спирали золотого сечения) и по этой причине частица должна трансформироваться в следующую «категорию».

Чудесные свойства ряда Фибоначчи проявляются и в самих числах, являющихся членами этого ряда. Расположим члены ряда Фибоначчи по вертикали., а затем вправо, в порядке убывания, запишем натуральные числа

1

2

3    2

5    4   3

8    7   6   5

13 12 11 1

1

0   9 8

21 20 19 18 17 16 15 14 13

34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21

55 54 53 52 51 50 49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37 36 35 34

....

Каждая строчка начинается и завершается числом Фибоначчи, т. е. в каждой строчке всего два таких числа. Подчеркнутые числа — 4, 7, 6, 11, 10, 18, 16, 29, 26, 47, 42 обладают особыми свойствами (второй уровень иерархии ряда Фибоначчи):

(5-4)/(4-3) = 1/1

(8-7)/(7-5) = 1/2 и (8-6)/(6-5) = 2/1

(13-11)/(11-8) = 2/3 и (13-10)/(10-8) = 3/2

(21-18)/(18-13) = 3/5 и (21-16)/(1б-13) = 5/3

(34-29)/(29-21) = 5/8 и (34-26)/(26-21) = 8/5

(55-47)/(47-34) = 8/13 и (55-42)/(42-34) = 13/8

Мы получили дробный ряд Фибоначчи, который, возможно, «исповедуют» коллективные спины элементарных частиц и атомов химических элементов.

Следующий уровень иерархии образуется в результате дробления интервалов между числами Фибоначчи и выделенными числами. Например, на третью ступень иерархии встанут числа 52 и 50 из интервала 55—47. Процесс структурирования ряда натуральных чисел может быть продолжен, т.к. свойства периодичности и многоуровневости строения материи отражается даже в свойствах самого ряда Фибоначчи.

Но у ряда Фибоначчи имеется еще одна тайна, вскрывающая сущность периодичности изменения свойств двойственного отношения (монады). Выше был определен диапазон изменения свойств двойственного отношения, характеризующего его норму самодостаточности

U=<2/3, 1)

Построим для данного диапазона ряд Фибоначчи

L=<l₁,l₂,l₃,l₄ >=<(-1/3), 0+(-1/3), (-1/3)+(-1/3), (-1/3)+(-2/3) >= <-1/3, -1/3, -2/3, -3/3>

Мы получим L-тетраэдр, характеризующий возрастающую спираль эволюции двойственного отношения. Продолжим этот процесс. Попытка выйти за пределы данного диапазона нормы самодостаточности приведет к его нормированию, т.е. первым элементом в D-тетраэдре будет характеризоваться нормой самодостаточности, равной 1,0. Но, продолжая далее этот процесс, мы будем вынуждены постоянно производить перенормировку. Следовательно, эволюция не может продолжаться? Но, в самом вопросе имеется и ответ. После перенормировки эволюция должна начаться сначала, но в противоположную сторону, т.е. при формировании "параллельного" D-тетраэдра должен измениться знак числа и ряд Фибоначчи начинает обратное движение.

D=<d₁,d₂,d₃,d₄ >=<(1/3), 0+(1/3), (1/3)+(1/3), (1/3)+(2/3) >= <1/3, 1/3, 2/3, 3/3>

Тогда общий ряд , характеризующий норму самодостаточности "звездного тетраэдра" будет характеризоваться соотношениями

U=<L, D>=const

Устойчивое состояние звездного тетраэдра будет зависеть от соответствующего сопряжения L- и D- тетраэдров. При U=1 будем иметь куб. При U=2/3 мы получим самодостаточный звездный тетраэдр, с самодостаточными L- и D- тетраэдрами. При меньших значениях устойчивое состояние звездного тетраэдра будет достигаться только совместными усилиями L- и D- тетраэдрами. Очевидно, что в этом случае минимальное значение нормы самодостаточности звездного тетраэдра будет равно U=1/3, т.е. два не самодостаточных тетраэдра совместными усилиями образуют самодостаточный звездный тетраэдр U. В самом общем случае устойчивые состояния звездного тетраэдра U можно проиллюстрировать, например, следующей схемой.

Рис. 7

На последнем рисунке приведена фигура, напоминающая мальтийский крест, с восемью вершинами. т.е. эта фигура снова навевает ассоциации со звездным тетраэдром.

О чудесных свойствах ряда Фибоначчи, о его периодичности свидетельствует следующая информация (Михайлов Владимир Дмитриевич,«Живая информационная Вселенная», 2000 г., Россия, 656008, г. Барнаул, ул. Партизанская дом. 242).

с.10. "Законы «золотой пропорции», «золотого сечения» связаны с цифровым рядом Фибоначчи, открытого в 1202 году, является направлением в теории кодирования информации.

За многовековую историю познания чисел Фибоначчи, образуемый его членами отношения (числа) и их различные инварианты скрупулезно изучены и обобщены, но так полностью и не расшифрованы.

Математическая последовательность ряда чисел Фибоначчи представляет из себя последовательность чисел, где каждый последующий член ряда, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233… до бесконечности.

…Цифровой код цивилизации можно определить с помощью различных методов в нумерологии. Например, с помощью приведения сложных чисел к однозначным (к примеру: 13 есть (1+3)=4, 21 есть (2+3)=5 и т.д.) Проводя подобную процедуру сложения со всеми сложными числами ряда Фибоначчи, получим следующий ряд из 24 цифр:

1,1,2,3,5,8,4,3,7,1,8,9,8,8,7,6,4,1,5,6,2,8,1,9

далее сколько не преобразовывай числа в цифры, через 24-ре цифры цикл будет последовательно повторяться бесконечное количество раз…

…не является ли набор из 24 цифр своеобразным цифровым кодом развития цивилизации?

С.17 Если Пифагорийскую Четверку в последовательности 24-х цифр Фибоначчи разделить между собой (как бы переломить) и наложить друг на друга, то возникает картина взаимоотношений 12-ти дуальностей противоположных цифр, где каждая пара цифр в сумме дает 9-ку (дуальность, рождающая троичность)....

1                 1       8                 =9

2                 1       8                 =9

3                 2       7                 =9

4                 3       6                 =9

5                 5       4                 =9

6                 8       1                 =9

7                 4       5                 =9

8                 3       6                 =9

9                 7       2                 =9

10               1       8                 =9

11               8       1                 =9

12               9       9                 =18=1+8=9 (моя редакция)

1 1 1 1 75025

2 1 1 1 75025

3 2 2 2 150050

4 3 3 3 225075

5 5 5 5 375125

6 8 8 8 600200

7 4 1+3 13 4 975325

8 3 2+1 21 3 1575525

9 7 3+4 34 7 2550850

10 1 5+5=10=1 55 1 4126375

11 8 8+9=17=1+7 89 8 6677225

12 9 1+4+4 144 9 10803600

13 8 2+3+3 233 8 17480825

14 8 3+7+7=17=1+7=8 377 8 28284425

15 7 6+1+0=7 610 7 45765250

16 6 9+8+7=24=2+4=6 987 6 74049675

17 4 1+5+9+7=22=2+2=4 1597 4 119814925

18 1 2+5+8+4=19+1+9=10=1 2584 1 193864600

19 5 4+1+8+1=14=1+4=5 4181 5 313679525

20 6 6+7+6+5=24=2+4=6 6765 6 507544125

21 2 1+0+9+4+6=20=2 10946 2 821223650

22 8 1+7+7+1+1=17=1+7=8 17711 8 1328767775

23 1 2+8+6+5+7=28=2+8=10=1 28657 1 2149991425

24 9 4+6+3+6+8=27+2+7=9 46368 9 3478759200"

Данная информация свидетельствует о том, что все "дороги ведут в Рим", т.е. множество периодически повторяющихся случайностей, совпадений. мистификаций и т.д., сливаясь в единый поток, с неизбежностью приводят к выводу о существовании периодической закономерности, отражаемой в ряде Фибоначчи.

А теперь рассмотрим еще одно, быть может, самое замечательное свойства ряда Фибоначчи.

На странице "Монадные формы" мы отмечали, что существует всего пять уникальных форм, имеющих первостепенное значение. Они называются Платановыми телами. Любое Платоново тело имеет некоторые особые характеристики.

Во-первых, все грани такого тела равны по размеру.

Во-вторых, ребра Платонова тела — одной длины.

В-третьих, внутренние углы между его смежными гранями равны.

И, в-четвертых, будучи вписанным в сферу, Платоново тело каждой своей вершиной касается поверхности этой сферы.

Рис. 8

Есть только четыре формы помимо куба (D), имеющие все эти характеристики. Второе тело (В) — это тетраэдр (тетра означает «четыре»), имеющий четыре грани в виде равносторонних треугольников и четыре вершины. Еще одно тело (C) — это октаэдр (окта означает «восемь»), восемь граней которого — это равносторонние треугольники одинакового размера. Октаэдр содержит 6 вершин. Куб имеет 6 граней и восемь вершин. Два других Платоновых тела несколько сложнее. Одно (E) называется икосаэдр, что означает «имеющий 20 граней», представленных равносторонними треугольниками. Икосаэдр имеет 12 вершин. Другое (F) называется додекаэдр (додека — это «двенадцать»). Его гранями являются 12 правильных пятиугольников. Додекаэдр имеет двадцать вершин.

Эти тела обладают замечательными свойствами быть вписанными все всего в две фигуры - сферу и куб. Подобная взаимосвязь с Платоновыми телами прослеживается во всех сферах. Так, например, системe орбит планет солнечной системы можно представить в виде вложенных друг в друга Платоновых тел, вписанных в соответствующие сферы, которые и определяют радиусы орбит соответствующих планет солнечной системы.

Фаза А (рис. 8) характеризует начало эволюции монадной формы. А потому эта форма является как бы самой простой (сферой). Затем рождается тетраэдр, и т.д. Куб, расположен в этой гексаде напротив сферы и потому он обладает сходными свойствами. Тогда свойствами, сходными с тетраэдром должны обладать монадная форма, расположенная в гексаде напротив тетраэдра. Это икосаэдр. Формы додекаэдра должны быть «родственны» октаэдру. И, наконец, последняя форма снова становится сферой. Последняя становится первой! Кроме того, в гексаде должна наблюдаться преемственность эволюции двух соседних Платоновых тел. И, действительно, октаэдр и куб, икосаэдр и додекаэдр взаимны. Если у одного из этих многогранников соединить отрезками прямых центры граней, имеющих общее ребро, то получится другой многогранник. В этих свойствах кроется их эволюционное происхождение друг от друга. В Платоновой гексаде можно выделить две триады: «сфера-октаэдр-икосаэдр» и «тетраэдр-куб-додекаэдр», наделяющие соседние вершины собственных триад свойствами взаимности.

Эти фигуры обладают еще одним замечательным качеством. Они связаны крепкими узами с рядом Фибоначчи -<1:1:2:3:5:8:13:21:...>, в котором каждый последующий член равен сумме двух предыдущих. Вычислим разности между членами ряда Фиббоначи и числом вершин в Платоновых телах :

·        2=2-А=2-2=0 (нулевой "заряд"),

·        3=3-В=3-4=-1 (отрицательный "заряд"),

·        4=5-С=5-6=-1 (отрицательный "заряд"),

·        5=8-D=8-8=0 (нулевой "заряд"),

·        6=13-Е=13-12=1 (положительный "заряд"),

·        7=21-F=21-20=1 (положительный "заряд"),

                                      Рис. 9

На первый взгляд может показаться, что "монадные заряды" Платоновых тел отражают как бы несоответствие идеальных форм от ряда Фибоначи. Однако, полагая, что начиная с куба, Платоновы тела могут формировать ВЕЛИКИЕ ПРЕДЕЛЫ (Великий Предел), то становится ясным, что додекаэдр и икосаэдр, отражая взаимодополнительное соответствие между число граней и числом вершин, характеризуемых числами 12 и 20, фактически выражают собой соотношения 13 и 21 ряда Фибоначчи.

Посмотрите, как происходит нормирование ряда Фибоначчи.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,...

12, 20, .....

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

Первая строка отражает "нормальный" алгоритм формирования ряда Фибоначчи.

Вторая строка начинается с икосаэдра, в котором 13 вершина оказалась центром структуры, отражая свойства ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА. Аналогичный ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ имеется и у додекаэдра.

Эти два кристалла порождают новое измерение - нормированную монаду "икосаэдр-додекаэдр", которая и начинает формировать новый виток ряда Фибоначчи (третья строка).

Первые Платоновы тела как бы отражают фазу анализа, когда происходит разворачивание ВЕЛИКОГО ПРЕДЕЛА из монады (1,1). Вторая фаза -синтез новой монады и сворачивание ее в ВЕЛИКИЙ ПРЕДЕЛ.

Так ряд Фибоначи порождает "золотую пропорцию", ответственную за рождение гармонии всего сущего, поэтому и Платоновы тела также будут характеризовать свойства всех материальных структур. Так, атомы всегда соотносятся с пятью Платоновыми телами. Даже если разбирать на части очень сложную молекулу, в ней можно найти более простые формы, и они всегда могут быть прослежены до одного из пяти Платоновых тел — независимо от того, какова ее структура. Не имеет значения, что это — металл, кристалл или что-то еще, — структура всегда восходит к одной из пяти первоначальных форм.

Следовательно, мы приходим к выводу, что число используемых природой первозданных монадных форм является ограниченным и замкнутым. К такому же выводу пришел еще много веков назад Платон, который считал, что сложные частицы элементов имеют форму многогранников, при дроблении эти многогранники дают треугольники, которые и являются истинными элементами мира.

Достигнув самой совершенной формы, природа берет эту форму в качестве элементарной и начинает строить следующие формы, используя последние в качестве «единичных» элементов. Поэтому все высшие формы неорганических, органических, биологических и полевых форм материи обязательно должны будут связаны с более простыми монадными кристаллами. Из этих форм должны строиться и самые сложные - высшие формы Высшего разума. И эти свойства монадных кристаллов должны проявляться на всех уровнях иерархии: в структуре элементарных частиц, в структуре Периодической системы элементарных частиц, в структуре атомов, в структуре Периодической системы химических элементов, и т.д. Так, в химических элементах, все подоболочки и оболочки могут быть представлены в форме монадных кристаллов. Естественно, что внутренняя структура атомов химических элементов должна отражаться в структуре кристаллов и клетках живых организмов.

«Любая форма есть производное одного из пяти Платоновых тел. Без исключений. И не имеет значения, какова структура кристалла, она всегда основана на одном из Платоновых тел...» [3].

Так в свойствах Платоновых тел отражается гармония золотого сечения и механизмы его порождения рядом Фибоначчи.

И снова мы приходим к самому фундаментальному свойству ЕДИНОГО ЗАКОНА - ПЕРИОДИЧНОСТИ.

Библейское "И ПОСЛЕДНИЙ СТАНОВИТСЯ ПЕРВЫМ" отражается во всех творениях мироздания. На следующем рисунке приводится схема хроматической гаммы, в которой 13-я нота находится за "границей осознанного мира", а любая соседняя пара может порождать новую хроматическую гамму (Законы Абсолюта).

рис. 10

Данный рисунок отражает принципы, в соответствии с которыми формируется ЕДИНОЕ САМОСОГЛАСОВАННОЕ ПОЛЕ ГАРМОНИИ ВСЕЛЕННОЙ.

5. ЗОЛОТОЕ СЕЧЕНИЕ И ПРИНЦИПЫ САМООРГАНИЗАЦИИ

5.1. САМОДОСТАТОЧНОСТЬ

Принципы саморганизации (самодостаточность, саморегулирование, самовоспроизведение, саморазвитие и самонормирование) очень тесно связаны с золотым сечением.

Рассматривая принципы самоорганизации и принципы нового мышления (О новом мышлении, О глобалистике) был обоснован вывод о том, что понятие самодостаточность определяет долю

вклада собственных целевых функций в общую целевую функцию того или иного объекта окружающего мира. Если собственная доля вклада в общую целевую функцию объект будет не ниже 2/3, то такой объект будет иметь "контрольный пакет акций" целевой функции объекта и, следовательно, будет являться самодостаточным, не "марионеточным" объектом.

Но 2/3=0,66..., а золотая пропорция равна 0,618... Очень близкое совпадение, или..? Вот именно ИЛИ! Поэтому более точной количественное оценкой самодостаточности можно считать пропорцию золотого сечения. Однако для практического использования мерой самодостаточности, определяющей качественное состояние объекта, живет он в гармонии с окружающим миром, или нет, оценка 2/3 является даже предпочтительнее.

Глубокая взаимосвязь этого принципа с золотым сечением показана на рис. 4, на котором рукой великого мастера -Леонардо да Винчи были приведены самые замечательные свойства золотого сечения и их взаимосвязь с ЕДИНЫМ ЗАКОНОМ. И очень жаль, что ЭТОГО НЕ ПОНИМАЮТ ЕЩЕ МНОГИЕ УЧЕНЫЕ ДАЖЕ СЕГОДНЯ. ПОЗОР!!!

5.2. САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ. САМОРАЗВИТИЕ.

Из принципов построения универсальной логики (подробнее) следует, что бесконечномерная логика в рамках эволюции одного и того же семейства, формирует бинарную спираль.

рис. 11

В этой схеме узловые точки характеризует нисходящую спираль эволюции логического семейства бинарной спирали (правый винт). По индукции можно определить, что левый винт будет определять восходящую спираль этого семейства.

Эта эволюционная бинарная спираль характеризует самовоспроизведение и саморазвитие логического семейства.

Пусть мы имеем начальную логику <-i,-1>. Тогда, изображая оси комплексной системы отсчета в соответствии с правилом обхода тетраэдра по кресту, эволюцию логик можно отразить так, как показано на рис.12

рис. 12

Из схемы видно, что при каждом переходе от одной логики к другой, по направлению стрелок, происходит зеркальное самокопирование логики. И когда мы завершим "круг эволюции", то последняя и первая логики окажутся противоположными друг к другу.

Следующая попытка приводит уже к логике бинарного удвоения, т.к. клетка оказывается занятой. В результате рождается логика, отличающаяся от первой масштабностью, вместо <-i,-1> рождается пара <-2i,-2>.

Отметим, что последовательное зеркальное копирование логик приводит к их зеркальной инверсии по диагоналям. Так, по диагонали -i,+1 мы имеем логики

<-i,-1> <+1,+i>. Из правил обхода вершин тетраэдра по кресту мы получаем, что эти логики образуют крест в тетраэдре, если соответствующие ребра спроектировать на плоскость.

По диагонали -1,+i мы получили взаимодополнительную пару логик <-1,-i> <+i,+1>, также образующую крест.

На рис. 11, стороны квадратов ориентированы по направлению крещения. Поэтому противоположные стороны этого квадрата являются перекладинами креста.

Отметим, что в тетраэдре существует еще и третий крест, образованной ребрами <+i,-i> и <-1,+1>. Но этот крест несет другие функции, о которых будет сказано в другом месте.

Но схема на рис. 6 обосновывает только простое самовоспризводство логик. Оно может порождать многомерный мир "черно-белых" копий, которые могут характеризоваться только разными "оттенками".

В соответствии с принципами самоорганизации логики должны иметь возможность к саморазвитию. И такая возможность реализуется (рис. 13).

рис. 13

Здесь в квадрате II вначале происходит самокопирование исходной логики, а в третьем квадрате, происходит процесс саморазвития. Здесь вначале первый и второй квадрат складываются со сдвигом, а затем воспроизводятся в квадрате III. Затем полученная цепочка зеркально копируется в квадрат IV, где происходит "замыкание" цепочки. В результате рождается тетраэдр, с четырьмя вершинами, т.е. рождается комплексная логика. Так из пары <1,1> рождается пара <2,2>. Так рождается Первый период Периодической системы логических элементов.

Возьмем теперь вторую пару, состоящую из двух логических соседних подоболочек -<1,2>.

расписывая эволюцию этой пары по квадратам в соответствии с вышеприведенными правилами, мы получим пару <3,3>. Присоединяя ее к начальной цепочке <1,1,2>, мы получим <1,1,2,3>/

Тогда эволюция пары <2,3> произведет пару <5,5> и, соответственно, цепочку

<1,1,3,5,>.

Нетрудно увидеть, что рождается ряд Фибоначчи, являющийся основой золотого сечения.

И этот ряд рождается естественным образом, в основе его лежит Единый Периодический закон эволюции и вытекающие из него принципы самоорганизации (самодостаточность, саморегуляция, самовоспроизведение, саморазвитие, самонормирование).

5.3. РЯД ФИБОНАЧЧИ И БИНАРНЫЙ РЯД

Возьмем теперь, в качестве логических пар целостную пару <2,2>. Эта пара будет характеризовать количественный состав первой логической оболочки. Тогда, в процессе ее "крещения" у нас произведется следующая бинарная пара <4,4>. Эта пара по своей структуре будет характеризовать звездный тетраэдр (или куб), имеющий восемь вершин. Мы получили первую подоболочку второго периода. Удвоение этих подоболочек даст пару <8,8>, эволюция которой приведет к паре <16,16>, а далее к паре <32,32>.

Соединяя полученные бинарные пары в единую цепочку, мы получаем ряд

<2, 8,16,32>. Именно такая последовательность характеризует количественный состав оболочек Периодической системы химических элементов.

Таким образом, единство ряда Фибоначчи и бинарного ряда является неоспоримым фактом. Периодическая система химических элементов, бинарный ряд, ряд Фибоначчи и золотое сечение оказываются тесно взаимосвязанными.

Рис. 14

Из последней схемы видно, что производящие функции этих рядов еще и тесно взаимосвязаны с биномом Ньютона (1-х)^-ⁿ.

Между рядом Фибоначчи и бинарным рядом также существует прямая связь (рис. 4)

Рис. 15

На этом рисунке видно, как из исходного соотношения (1-1-2), используя бинарный ряд, выстраивается весь ряд Фибоначчи. Эту схему приводит в своей книге Д. Мельхиседек ("Древняя тайна Цветка Жизни", том. 2, стр.283). Этот рисунок показывает семейное дерево трутня пчелы.

Мельхиседек подчеркивает, что ряд Фибоначчи (1-1-2-3-5-8-13-...) является женским рядом, в то время как бинарный ряд (1-2-4-8-16-32-...) является мужским.

И это правильно (Генная память, Информация, О времени ). На указанных страницах приводится обоснование того, что генная память, возрождая Прошлое, или синтезируя Будущее, формирует именно бинарный ряд и именно по закону, приведенному на рисунке 4.

6. О ДРУГИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ФИБОНАЧЧИ

Всем известно, что ритмы (волны) пронизывают всю нашу жизнь. Поэтому всеобщность пропорции золотого сечения необходимо проиллюстрировать и на примере волновых колебаний. Рассмотрим гармонический процесс колебаний струны (http://ftp.decsy.ru/nanoworld/index.htm). На струне могут создаваться стоячие волны основной и высших гармоник (обертонов). Длины полуволн гармонического ряда соответствуют функции 1/n, где n – натуральное число. Длины полуволн могут быть выражены в процентах от длины полуволны основной гармоники: 100%, 50%, 33%, 25%, 20%... В случае воздействия на произвольный участок струны будут возбуждаться все гармоники с различными амплитудными коэффициентами, которые зависят от координаты участка, от ширины участка и от частотно-временных характеристик воздействия. Учитывая разные знаки фаз четных и нечетных гармоник, можно получить знакопеременную функцию, которая выглядит приблизительно следующим образом:

Если точку закрепления принять за начало отсчета, а середину струны за 100%, то максимум восприимчивости по 1-ой гармонике будет соответствовать 100%, по 2-й – 50%, по 3-ей – 33% и т.д. Посмотрим, где будет наша функция пересекать ось абсцисс.

62%, 38%, 23.6%, 14.6%, 9%, 5.6%, 3.44%, 2.13%,1.31%, 0.81%, 0.5%, 0.31%, 0.19%, 0.12%, ...

Это пропорция золотого вурфа, под которым понимают последовательный ряд отрезков, когда смежные отрезки находятся в отношении золотого сечения. Каждое следующее число в 0.618 раз отличается от предыдущего. Получилось следующее:

Возбуждение струны в точке, делящей ее в отношении золотого сечения на частоте близкой к основной гармонике, не вызовет колебаний струны, т.е. точка золотого сечения – это точка компенсации, демпфирования.

Для демпфирования на более высоких частотах, к примеру, на 4-ой гармонике, точку компенсации нужно выбрать в 4-ом пересечении функции с осью абсцисс.

Таким образом, периодичность изменения свойств двойственного отношения оказывается связана с нормой самодостаточности, рядом Фибоначчи, а также и со свойствами звездного тетраэдра, отражающего принцип восходящей и нисходящей спирали. Поэтому можно сказать, что тайны Золотого сечения, тайны ряда Фибоначчи, тайны их всеобщности в мире живой и неживой Природы больше не существует. Золотое сечение и ряд Фибоначчи отражают самую фундаментальную закономерность Иерархии - закономерность двойственности, а сам ряд Фибоначчи отражает не только одну из главных форм проявления этой закономерности -триединство, но и характеризует нормы самодостаточности двойственного отношения в процессе его эволюции.

7. О СЛОЖНОМ ОТНОШЕНИИ

Рассмотренные выше свойства золотого сечения и ряда Фибоначчи и их взаимосвязь, позволяют высказать предположение о связи с Единым законом эволюции двойственного отношения еще одного замечательного отношения, которое в проективной геометрии известно как сложное отношение точек ABCD.

Рис. 16

Это число обладает тем свойством, что оно в точности одно и то же как. для изображения, так и для оригинала. Если вам нужно вычислить х, то не играет роли, измеряете ли вы расстояние на изображении или на самом участке.

Фотокамера может обмануть. Она обманывает, когда выдает равные длины за неравные и прямые углы за непрямые. Единственное, что она не искажает,- это выражение

Значение этого выражения может быть найдено прямо из фотографии. И все, что можно с уверенностью утверждать, пользуясь свидетельством фотографии, может быть выражено в терминах таких величин.

Обычно, в качестве сокращенной записи сложного отношения используется символ ABCD.

Перерисуем теперь схему сложного отношения в пространственном виде

Рис. 17

Известно, что золотое сечение выражается пропорцией

где числитель является меньшим числом, а знаменатель-большим.

Применительно к рисунку 17 золотая пропорция будет отражаться в треугольнике ABC, например, векторной суммой AB=BC+CA.

Если углы между катетами будут равны нулю, то получим деление отрезка пополам. Если угол равен π/2, то получим прямоугольный треугольник со сторонами 1, Ф, Ф^0,5;

Следовательно, мы имеем исходное уравнение Ф²-Ф=1, записанное в векторной форме -гипотенуза является единицей, а катеты являются ортогональными друг к другу, что и отражается в уравнении золотого сечения.

При любом другом угле описываются некие замкнутые пространства.

Сравнение рисунков 16 и 17 показывает также, что прямая линия (рис.16), порождающая сложное отношение, трансформируется в ломаную, и сложное отношение порождается процессом "обхода по кресту". При этом Последняя вершина ломаной линии замыкается на Первую.

В результате мы получаем уже известное из животворящего креста

Рис. 18

правило рычага-"выигрываешь в силе, проигрываешь в расстоянии":

- умножение перекладин креста и деление на длину плеч, определяющих

переход с одной перекладины на другую.

При построении этих более сложных отношений необходимо учитывать, что в формировании сложного отношения, точно также, как и в ряде Фибоначчи, участвуют только две соседних вершины ломаной линии.

Это правило рычага, с использованием золотого сечения можно записать в следующем виде

А теперь мы можем построить сложное отношение на тетраэдре, учитывая, что расстояния от всех вершин пирамиды до точки О одинаково.

Рис. 19

Из рисунков 14-19 можно понять и принципы построения более сложных отношений, для пространств с большей мерностью, т.е. можно сказать, что n-мерное сложное отношение отражает процесс формирования монадного кристалла n-мерности и потому "упражнения" по формированию более сложных отношений могут иметь самостоятельный интерес (Сложное отношение). Но все значения сложного отношения

х, (1/х), (х-1)/х, х/(х-1), 1/(1-х), (1-х), х,...

являются частями уравнения золотого сечения

х² - х - 1 =0 или х(х -1) =1.

7. ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЗОЛОТОГО СЕЧЕНИЯ

Рассмотренные выше свойства золотого сечения и, в первую очередь, свойства сложного отношения позволяют говорить о том, что золотое сечение формирует главный закон мироздания, отражающий в себе главный закон сохранения- закон сохранения золотого сечения.

Соотношения

x=0,618..., 1/x=1,618, 1-1/x=-0,618..., 1/(1-1/x)=-1,618,....

образуют бесконечный ряд, в котором первые четыре значения образуют крест золотого сечения.

При этом всякий раз, когда получается величина, большая значения золотого сечения, то происходит нормировка ОБЪЕКТа. От него вычленяется единица и процесс эволюции продолжается!

Однако для пятого и шестого значений мы получаем значения "-2,616" и "-0,382", после чего процесс начинается с начала.

Полученный бесконечный ряд значений 0,618 и 1,618 является причиной, по которой золотое сечение лежит в основе гармонии мира.

Закон сохранения (Законы сохранения) золотого сечения можно продемонстировать во вращающемся кресте (свастике).

Ниже, на странице, вскрывающей тайны информации (Информация, О времени) будут показано, что золотое сечение, генная память лежат в основе самого понятия информации,

о природных механизмах эволюции монады "ОБРАЗ-ПОДОБИЕ" во ВРЕМЕНИ.

Таким образом, сущность нормирования сводится к получению пропорций золотого сечения, т.е. все чудесные свойства сложного отношения четырех точек определяются свойствами животворящего креста, что сложное отношение тесно взаимосвязано с золотым сечением, формируя закон сохранения золотого сечения.

РЕЗЮМЕ

1. Ни у кого уже не возникает сомнений, что золотое сечение лежит в основе гармонии мироздания, а ряд Фибоначчи порождает эту замечательную пропорцию.

Дополнительную информацию о свойствах золотого сечения любознательные читатели могут получить на сайте www.goldenmuseum.com.

Эта поистине золотая пропорция имеет такое множество замечательных свойств, что открытие новых свойств уже ни у кого не вызывает удивления.

e-mail:ierarch@odintsovo.comcor.ru

С благодарностью приму все ваши замечания, предложения,

с признательностью отвечу на ваши вопросы.

Другие статьи

5.1. САМОДОСТАТОЧНОСТЬ

5.2. САМОВОСПРОИЗВЕДЕНИЕ. САМОРАЗВИТИЕ.

5.3. РЯД ФИБОНАЧЧИ И БИНАРНЫЙ РЯД

6. О ДРУГИХ СВОЙСТВАХ РЯДА ФИБОНАЧЧИ