Синергетика.
Этюды 70.
Посвящено
100-летию со дня рождения выдающегося учёного, профессора
Басина Абрама Моисеевича.
Басина
Г. И., Басин М. А.
НИЦ
«Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных.
Этюд 5
Алгебраические
и спиральные комплексные числа
24 апреля
2010г.
Введём одну из возможных модификаций комплексных чисел, использование которой позволяет, если это необходимо, рассматривать степенные функции комплексного переменного с комплексными показателями степени как однозначные функции, а следовательно, применить к их исследованию весь аппарат современного анализа.
Любое комплексное
число имеет, как минимум, два возможных представления: алгебраическое -
и экспоненциальное -
. При этом каждому алгебраическому представлению комплексного
числа соответствует счётное множество экспоненциальных представлений, в которых
величина 
отличается на
Предположим, следуя Б. Риману[1] и Г. Вейлю [2], что имеется
некоторая винтовая спиральная структура, пересекающая комплексную плоскость по
положительной оси 
со стремящимся к нулю шагом 
[3-5]. Каждой точке
такой спирали приведём в соответствие некоторое спиральное комплексное число,
которое может быть описано формулой 
. Величина 
характеризует расстояние от точки спиральной поверхности до
оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через
точку 
. При такой геометрической интерпретации все точки,
соответствующие спиральным комплексным числам, имеющим значения , отличающиеся належат на одной прямой, проекцией которой на плоскость 
является одно алгебраическое комплексное число , где 
. Каждому спиральному комплексному числу соответствует одно алгебраическое комплексное число. Но
каждому алгебраическому комплексному числу соответствует счётное множество
спиральных комплексных чисел. Введём в рассмотрение ещё одну комплексную
плоскость, которая соответствует полю алгебраических комплексных чисел, которые
получатся, если формально взять операцию логарифма от каждого спирального числа
. Функция 
и обратная ей 
являются взаимно
однозначными функциями, отображающими друг на друга область определения
спиральных чисел и комплексную
плоскость. Каждая горизонтальная полоса области высотой 
соответствует одному
листу спирали
.
Далее
рассмотрим в области совокупность взаимно-однозначных комплексных линейных
отображений 
. В качестве коэффициентов такого отображения примем поля
алгебраических комплексных чисел
. Эти отображения являются взаимно однозначными во всех
точках 
, кроме точки 
.
Далее введём ещё одно взаимно однозначное отображение
комплексной плоскости 
на область спиральных комплексных чисел 
. Тогда получим взаимно однозначное отображение
Константа 
также лежит в области
определения спиральных чисел. Таким образом, многозначная степенная функция с
комплексными показателями степени при рассмотрении её в области определения
спиральных чисел становится взаимно однозначной. И с ней можно осуществлять все
операции так же, как со степенными функциями, лежащими в области
действительного переменного. Введение спиральных комплексных чисел обеспечивает
условия для развития степенной геометрии с алгебраическими комплексными
показателями степени.
При этом, в некоторых случаях, когда 
является целым числом,
можно работать с проекциями спиральных чисел на комплексные плоскости 
.
Оставаясь в рамках алгебраических комплексных чисел, мы рискуем потерять возможные элементы множества точек, на которые отображает степенная функция данное алгебраическое комплексное число. Возникают многозначные и даже бесконечнозначные функции, а с ними понятие вероятности выбора той или иной ветви многозначного отображения.
Существует проблема взаимоотношений построенной
математической конструкции с реальными объектами, которые описываются при
помощи той или иной математической конструкции. Мы вовсе не всегда «видим»
спиральное число, чаще наблюдается его проекция на комплексную плоскость 
и описываемая обычными
степенными функциями комплексных чисел динамика системы «кажется» нам
бифуркационной.
Так как совокупность построенных однозначных степенных
функций является экспонентой алгебры линейных отображений над комплексными числами,
то в области определения спиральных чисел естественным образом вводится
умножение спиральных чисел как спиральный аналог сложения степеней экспонент
соответствующих алгебраических комплексных чисел. Аналогичное утверждение может
быть сделано относительно умножения степенных функций некоторой спиральной
переменной 
.
Пусть 
-две степенные функции
спиральной переменной 
.
Тогда функция
также будет
однозначной степенной функцией от .
, где 
.
Аналогичным образом доказывается, что возведение степенной
функции в комплексную степень 
порождает новую степенную функцию со степенью, равной 
, и коэффициентом, представляющим собой спиральное число,
являющимся коэффициентом первоначальной функции, возведённым в степень .
Значительно сложнее ввести понятие сложения спиральных
комплексных чисел, а следовательно, сложения степенных мономов. Эту проблему можно
назвать проблемой Лагранжа. [6]. Наметим лишь пути решения указанной задачи.
Пусть даны два спиральных числа или две степенные функции
спиральной переменной 
. Определить сумму этих спиральных чисел. В области
спиральных чисел такое определение дать довольно сложно. Однако, мы можем
спроектировать оба числа на плоскость алгебраических комплексных чисел и в этой
плоскости вычислить уже сумму двух соответствующих им алгебраических
комплексных чисел. Если считать, что сумма алгебраических комплексных чисел
является проекцией спирального комплексного числа, являющегося суммой
спиральных комплексных чисел, то наше определение позволяет с точностью до
бесконечного множества значений 
, отличающихся друг от друга на 
, такую сумму определить. Более подробно эта важная проблема,
на наш взгляд, имеющая решение, будет рассматриваться в следующем этюде.
Литература
1.Riemann B.
Theorie der Abelschen Funktionen. Borhardt’s Journ. für reine und
angewandte Math. 54.). 1857.
Werke.
2. Weyl H. Die Idee der Riemanischen Fläche. Leipzig-Berlin. 1913 (1-ste Aufl.). 1923 (2-te Aufl.). Stuttgart.1953 (3-te Aufl.)
3.Шабат Б. В.Введение в комплексный анализ. Ч.1. Функции одного переменного. М. 1976
4.Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. В 2 томах. Основные понятия и принципы. М.:1962.
5. Басин М. А. Спиральные числа. Степенные особенности. Волны. Вихри. Грибовидные структуры. Транспортно-информационные системы. Международная междисциплинарная научно-практическая конференция: «Современные проблемы науки и образования». Керчь 27.06-4.07.2001. Ч.1 Харьков. 2001. С.12-13.
6.Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической
механики. Ижевск 1999