Другие статьи


 

 

Синергетика. Этюды 70.

Посвящено 100-летию со дня рождения выдающегося учёного, профессора

Басина Абрама Моисеевича.

 

Басина Г. И., Басин М. А.

НИЦ «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных.

Этюд 3

 

Экспонента окружности как фазовая траектория нелинейного итерационного соотношения.

 

02 декабря 2009

 

 

 

            В настоящем этюде установлены критерии эквивалентности комплексного дифференциального уравнения первого порядка и нелинейного итерационного соотношения. Установлены условия, при которых точки, соответствующие решению итерационного соотношения, лежат на экспоненте окружности.

            При исследовании динамических систем может быть введён комплексный параметр целого, найдено и решено комплексное обыкновенное дифференциальное уравнение, которому он удовлетворяет:

 

.                                                    (1)

 

Здесь  может быть комплексной алгебраической переменной  или комплексной спиральной переменной . Семейство фазовых траекторий, являющихся совокупностью решений уравнения (1), может быть представлено в виде:

 

,-                  (2)

 

где - значение комплексной координаты фазовой траектории, проходящей через точку  в момент времени 0. Это решение может быть записано и в спиральных переменных:

 

.                        (3)

 

Построим итерационное соотношение, эквивалентное описанной динамической системе.

Разрешим равенства (2, 3) относительно :

 

.                                                 (4)

 

Предположим, что мы знаем состояние одномерной комплексной динамической системы в момент , соответствующее точке , и хотим определить состояние той же системы в момент . Тогда, воспользовавшись предыдущими формулами, получим:

 

.          (5)

 

Введём понятие оператора :

 

.                                 (6)

 

Оператор порождает итерационный процесс и указывает преобразование состояния динамической системы в момент времени  в её состояние  в момент времени

 

.                                                        (7)

 

Последнее уравнение описывает дискретную по отношению к времени систему, полностью эквивалентную непрерывной динамической системе.

            Существует ещё один способ перехода от непрерывной модели к дискретной. Вместо системы (1) запишем приближённую систему

 

,                                               (8)

 

 которая, после ряда преобразований, приводится к виду:

 

.                               (9)

 

Операторы ине эквивалентны и один сходится к другому при стремлении  к нулю.

            Рассмотрим один практически важный частный случай. В качестве основного примем линейное комплексное уравнение

 

.                                                                    (10)

 

Решение этого уравнения имеет вид:

 

.                                    (11)

 

Окончательно получаем итерационное соотношение:

 

.                                                      (12).

 

Тем самым, в случае постоянного временного интервала итерационный процесс первого типа, удовлетворяющий равенствам (5-7), представляет собой геометрическую прогрессию в области комплексных чисел. Если величина  является мнимой, то все члены ряда (12) лежат на окружности радиуса.

Итерационный процесс (9) в нашем частном случае примет вид:

 

.                                                (13)

 

Формулы (12) и (13) совпадают лишь в пределе при . В случае конечных значений итерационные процессы отличаются друг от друга тем более, чем больше модуль величины .

Далее введём в рассмотрение новую комплексную переменную:

 

.                                              (14)

 

Тогда уравнение (1) преобразуется к виду:

 

 

,-                                             (15)

 

а соответствующие итерационные процессы будут иметь следующий вид:

 

.                                   (16)

 

Последнее уравнение описывает итерационный процесс, эквивалентный уравнению (15).

Другой, приближённый вариант итерационного процесса, соответствующий  уравнению (15), имеет вид:

 

.                                                     (17)

 

В рассмотренном ранее частном случае линейного дифференциального уравнения примем, что зависимость  новой переменной от старой имеет  вид .

Тогда итерационное соотношение (12) после ряда преобразований примет форму

 

.                                                      (18)

 

Итерационный процесс (18) в правой своей части содержит степенную функцию с комплексным показателем степени. Для адекватного описания таких функций необходимо ввести представление о спиральных комплексных числах, которое даётся в этюде 5. В случае, если величина  представляет собой мнимое число, все точки итерационного процесса (18) лежат на одной из экспонент окружности, параметры которой определяются значением .

            И, наконец, второй тип итерационного процесса даёт нам следующее равенство:

 

.                                                 (19)

 

В данном случае мы также имеем в правой части уравнения (19) степенную функцию с комплексным показателем степени, однако члены итерационного процесса ложатся на экспоненту окружности только в случае мнимых значений и стремления модуля этой величины к нулю.

 

 

 

 

 

Рейтинг@Mail.ru