Синергетика.
Этюды 70.
Посвящено
100-летию со дня рождения выдающегося учёного, профессора
Басина Абрама Моисеевича.
Басина
Г. И., Басин М. А.
НИЦ
«Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных.
Этюд 1
Бифуркации
экспоненты окружности. Числа Басина.
21 октября
2009
Фазовыми
траекториями линейных динамических систем часто бывают замкнутые циклы, близкие
к окружностям. В комплексной области 
окружность радиуса 
может быть описана
формулой 
, где 
Наиболее характерной
нелинейной проблемой, поддающейся аналитическому решению, является, проблема
определения динамики системы, логарифмы параметров динамики которой подчинены
линейным закономерностям. Назовём экспонентой окружности замкнутую кривую в
комплексной плоскости, получающуюся как отображение 
. Отделим в последнем выражении действительную часть от
мнимой 
.
Найдём точки пересечения
экспоненты окружности с осью абсцисс. Условие для их отыскания записывается в
виде: 
. Отсюда следует, что при 
. Последнее уравнение имеет счётное множество решений 
. Отсюда получаем 
. Решения последнего уравнения подчиняются ограничению 
или 
Если 
, тогда 
. Реальная координата экспоненты окружности в точках
пересечения с осью абсцисс определяется по следующим формулам
Если 
то 
.
Если 
то 
.
Если 
то 
.
Если 
то 
.
Если рассматривать
параметрическое семейство экспонент окружности, зависящее от параметра , то значения 
являются
бифуркационными. Если 
, то при достижении появляются «из ничего»
два отрицательных значения точек пересечения экспоненты окружности с осью
абсцисс (корней) в области спиральных чисел, которые могут быть отождествлены в
области алгебраических комплексных чисел с минус единицей (-1). Затем при
увеличении эти корни расщепляются
и уходят от минус единицы – один вправо, а другой - влево. Таким образом,
появляются и плавно изменяются четыре (два сдвоенных) корня. Этот процесс
продолжается до тех пор, пока не достигнет величины 
. Затем возникает новая бифуркация: в области спиральных
комплексных чисел появляется два новых корня, имеющих в области алгебраических
комплексных чисел одно и то же значение 
. Затем происходит расщепление каждого из этих корней на два,
которые расходятся от единицы в разные стороны. Объяснение этих «фокусов» можно
найти, если проследить характер изменения экспоненты окружности в зависимости
от параметра в комплексной
плоскости. Рассмотрим динамику точки, соответствующей 
. Имеем 
.
То есть эта точка перемещается с
изменением по окружности с
радиусом, равным единице, вращаясь тем быстрее, чем больше величина . Эта окружность
пересекает ось абсцисс в точках -1 и +1. Поэтому новые корни формируются именно
в этих точках.
Таким образом, значения реальной координаты экспоненты окружности в точках пересечения с осью абсцисс определяются по следующим формулам.
Если то 
.
Если то
.
Если то 
.
Если то 
.
Числа 
, являющиеся комбинацией трансцендентных и алгебраических
иррациональных чисел - универсальные безразмерные величины, которые
характеризуют бифуркационную динамику системы экспонент окружности.
В честь 100 – летия со дня рождения выдающегося учёного, профессора Абрама Моисеевича Басина, мы назвали их числами Басина.
Ввиду универсальности выполненного анализа эти числа в том или ином виде должны быть обнаружены при исследовании нелинейных динамических систем.