Синергетика. Этюды 70.
Памяти наших
родителей
Смирновой Полины Викторовны, Басиной Цицилии Рувимовны,
Смирнова Ивана Ивановича,
Басина Абрама Моисеевича
посвящается
Басина Г. И., Басин М. А.
НИЦ «Синергетика» Санкт-Петербургского союза учёных.
Этюд 12
Синергетика.
Теория Synergonet. Бифуркационный процесс.
В монографиях [4-5] М. А. Басиным и И. И. Шиловичем при анализе совместного развития Человечества и Internet было введено понятие Synergonet, сложной самоорганизующейся системы, сочетающей в себе детерминизм компьютерных расчётов и неопределённость поведения массы людей, управляющих расчётами и передачей информации внутри сети. Ими было указано не только на достоинства объединения Человечества и Internet в единую систему, но и на возможные опасности такого объединения. Указанные обстоятельства приводят к необходимости построения теоретических основ динамики развития Synergonet, базирующихся на синергетической методологии анализа сложных самоорганизующихся систем. В монографии [3] нами показано, что такая теория может быть построена на базе нового типа компьютера, названного нами целостным [1] и должна быть единой для всех живых объектов, от вируса до Человечества и Synergonet. Основы такой теории, названной информационно-волновой, кратко изложены нами в монографиях [2] - [8]. В настоящей серии этюдов мы более подробно останавливаемся на фундаментальных положениях развиваемой теории.
Каждая изучаемая человеком или искусственно создаваемая им система в каждый момент времени находится в некотором состоянии, которое может быть математически приближённо описано некоторой совокупностью обобщённых координат. С изменением момента времени система переходит в некоторое новое состояние. Процесс перехода системы с изменением момента времени в некоторое новое состояние будем называть событием. В большинстве неживых систем, подчиняющихся уравнениям динамики Ньютона, обладающих теоретически неограниченным числом непрерывно изменяющихся во времени состояний, переход из одного состояния в другие определяется однозначными функциями. Такие системы могут быть названы детерминированными. К детерминированным системам могут быть отнесены и многие компьютерные программы с фиксированными исходными данными. Те системы, которые мы собираемся рассматривать при создании теории Synergonet, обладают обычно как дискретным спектром с очень большим числом состояний, так и непрерывным. По счастью, описание такого спектра с переходом от одного способа описания к другому было выполнено в теории вероятностей и квантовой механике. Поэтому в дальнейшем мы рассмотрим кажущийся более простым, но на наш взгляд, более общий, так как он не содержит условия непрерывности, случай дискретного спектра состояний, считая, что переход к непрерывному и комбинированному спектрам может быть осуществлён с использованием известных процедур.
Нас в дальнейшем будут интересовать процессы, отличные от детерминированных, то есть такие, в результате свершения которых, принципиально или в результате ограниченности наших знаний, может осуществляться переход не к одному, определённому однозначно состоянию, а к нескольким альтернативным состояниям. Здесь необходимо ввести представления о процессе кванте и обобщенной волне почти идентичных процессов. У детерминированных процессов результат перехода будет идентичным у всех процессов - квантов, входящих в данную обобщённую волну. Процессы, которые нас интересуют, и которые мы назовём бифуркационными, не обладают таким свойством. Оставляя пока в стороне философский вопрос, существуют ли такие процессы в действительности или мы скрываем за их определением недостаточность наших методов выбора обобщённой волны, соответствующей процессу-кванту, считаем, что такие процессы существуют и составляют основу поведения живых систем и Synergonet.
В этюде 11 мы ввели представление о бифуркационном событии, то есть таком событии, результат которого не может быть заранее однозначно предсказан, и выяснили, что необходимо ввести понятия события-кванта и события обобщённой волны.
В результате совершения бифуркационного события-кванта система из заданного состояния переходит в некоторое конкретное состояние, предсказать которое однозначно мы не можем, так как при переходе к другому кванту той же обобщённой волны-события система из того же состояния может перейти в иное состояние. Таких новых состояний может быть два, несколько, бесконечное количество как дискретных, так и непрерывно меняющихся. Совокупность этих состояний была названа спектром бифуркационного события-обобщённой волны при заданном начальном состоянии.
При совершении бифуркационного события-кванта система из заданного начального состояния переходит лишь в одно состояние из спектра события - волны. Если повторять события-кванты многократно, то различные результирующие состояния могут повторяться с различной частотой и соотношение этих частот может в пределе стремиться к устойчивым значениям, которые в некоторых случаях можно определить, например, из соображений симметрии. Существование в природе таких устойчивых соотношений позволяет присвоить состояниям спектра бифуркационного события-волны некоторое действительное или комплексное число, каким либо образом связанное с частотой встречи состояния в спектре бифуркационного события - волны.
Данное определение является обобщением ряда определений, введённых ранее различными авторами при создании теории вероятности, теории случайных процессов, квантовой динамики. Благодаря своей общности, именно оно наиболее адекватно подходит для исследования различных типов наиболее сложных динамических процессов различной природы.
В настоящем этюде мы вводим понятие бифуркационного процесса как
последовательности следующих одно за другим бифуркационных событий. Рассмотрим, как и ранее, частный случай
общего подхода, сближающий его с классической теорией вероятности и теорией
случайных процессов. Предположим, что каждому состоянию из конечного спектра
состояний бифуркационного процесса-волны присвоено некоторое положительное
действительное число, меньшее или равное единице, которое по аналогии с теорией
вероятности назовём вероятностью реализации данного состояния при свершении
бифуркационного процесса. Обозначим его 
, где 
- номер данного
состояния в спектре состояний бифуркационного процесса – волны, всего таких
состояний 
. Примем, что сумма всех значений равна единице 
.
Если считать процессы-кванты независимыми, то аналогично случаю теории
вероятности можно показать, что асимптотически при числе процессов – квантов,
стремящемся к бесконечности, относительное число реализации -того состояния стремится к величине. Тем самым абстрактные числа приобретают некоторый
физический смысл. Однако, в отличие от случая теории вероятности, в реальных
системах подобное отождествление полностью реализовать не удаётся, поэтому у
целостных систем их контроллер либо получает информацию о величинах извне, либо «учится» в
процессе существования системы, уточняя значения после каждого
свершившегося процесса-кванта.
Введение в рассмотрение представления о бифуркационном процессе позволяет по-новому взглянуть на проблему времени. Ось времени в этом случае разделяется на три отрезка. Первый отрезок соответствует времени до свершения данного бифуркационного процесса-кванта. В этот период времени мы в лучшем случае знаем лишь прошлые и исходное состояния и спектр возможных будущих состояний системы и их вероятности. Второй отрезок соответствует течению бифуркационного процесса. В этот период времени осуществляется выбор одного из спектра возможных состояний, реализуется процесс-квант. В следующий момент времени система готова к свершению следующего бифуркационного процесса.
Применительно к бифуркационному процессу-волне по аналогии с теорией вероятностей может быть введено понятие энтропии бифуркационного процесса, которая определяется по формуле
.
В случае, если процесс имеет только один исход
(детерминированный процесс), все значения , кроме одного, равны нулю, а это значение равно единице.
Энтропия процесса в этом случае равна нулю. Максимальное значение энтропии 
достигается, когда все
значения равны между собой. В
момент завершения процесса энтропия обращается в нуль - приобретается новая
информация о свершившемся процессе-кванте
,
которая может быть затем использована наблюдателем или
контроллером системы для уточнения величин процесса-волны.
Таким образом, бифуркационный процесс обладает всеми свойствами бифуркационного события. Однако он является сложным бифуркационным событием. Возникает вопрос о связи параметров бифуркационного процесса со свойствами входящих в него бифуркационных событий.
Предположим, что бифуркационный процесс состоит из 
последовательно происходящих бифуркационных событий.
Рассмотрим, что происходит до и после первого бифуркационного события. В момент
перед свершением этого события система находится в некотором 
-том состоянии. Вероятность перехода в некоторое -тое состояние 
. Таким образом, формируется матрица перехода для первого
бифуркационного события 
. После гипотетического перехода к началу второго
бифуркационного события вероятность нахождения системы в-том состоянии 
.Тем самым мы априори
в момент начала бифуркационного процесса знаем вероятности реализации каждого
из возможных состояний перед вторым бифуркационным событием. Далее, пусть нам
известна матрица вероятностей перехода из одного состояния в другое при
совершении второго бифуркационного события 
. Это означает, что, если система до совершения второго
события находилась в-том состоянии, то вероятность её перехода в
-тое состояние равняется 
. Однако, система предположительно перед вторым
бифуркационным событием находится в -том состоянии лишь с вероятностью . Можно предположить,
что вероятность системы оказаться в 
- том состоянии,
пройдя при этом -тое состояние 
. Общая вероятность реализации -того состояния в результате второго события представляет
результат смешения по всем . В общем случае это смешение может производиться различными
способами. Здесь мы примем простейший способ смешения. Общая вероятность
реализации -того состояния равен сумме частных вероятностей.
.
Таким образом, матрица вероятности перехода от
нулевого момента ко второму определяется как произведение матриц первого и
второго бифуркационных событий
.
Распространяя указанный подход на все события изучаемого
процесса, получим, что матрица перехода бифуркационного процесса равна
произведению матриц перехода входящих в него бифуркационных событий 
.Таким образом, зная матрицы перехода всех событий данного
бифуркационного процесса можно определить матрицу перехода самого процесса.
Если мы имеем матрицы перехода каких либо событий или процессов, то их произведение также удовлетворяет свойствам матрицы перехода. Таким образом, матрицы перехода формируют полугруппу матриц, сумма элементов которых в каждой строке равна единице. Этим свойством должны обладать все матрицы перехода как для бифуркационных событий, так и для бифуркационных процесов. Единицей этой полугруппы является матрица, диагональные члены которой представляют собой единицы, а остальные – нули. Изменение нумерации состояний системы не меняет сути физических процессов. Поэтому матрицы с переставленными строками и соответствующим образом переставленными столбцами могут считаться эквивалентными. Единичная матрица сохраняет любое наперёд заданное состояние и описывает абсолютный покой. Обратные матрицы не относятся к исследуемой полугруппе. Однако полугруппа обратных матриц также имеет определённый физический смысл. Пусть некоторый процесс или некоторое событие имеет некоторую матрицу перехода, преобразующую вектор вероятности в начальный момент времени в вектор вероятности в конечный момент времени, Тогда обратная матрица преобразует вектор вероятности в конечный момент в вектор вероятности в начальный момент. В связи с этим интерес представляет определитель матрицы перехода. Определитель единичной матрицы равен единице. Как показал анализ матриц перехода второго порядка, он меняется от минус единицы до плюс единицы , проходя через нуль [3]. Можно предположить, что этим же свойством обладает совокупность матриц перехода любого порядка. Если определитель матрицы перехода равняется нулю, что происходит, например, в случае, когда две строки матрицы перехода равны между собой, то определитель обратной матрицы стремится к бесконечности. Это означает, что в этом случае по распределению вероятностей в конечный момент времени нельзя однозначно определить распределение вероятности реализации состояний в начальный момент.
Особую роль среди бифуркационных процессов играют процессы, которые могут быть названы квази - стационарными. У этих процессов матрица перехода для всех входящих в процесс событий постоянна и не зависит от номера события. В этом случае, если определитель матрицы перехода для события меньше единицы, то при повторении событий определитель процесса стремится к нулю и возрастает неопределенность в определении начального состояния по конечному.
Теперь рассмотрим другую проблему. Пусть нам задана матрица
перехода для какого-либо бифуркационного события 
или бифуркационного процесса 
и пусть в результате
свершения этого события или процесса система приобрела некоторое -тое состояние. Какова вероятность того, что до свершения события
или процесса система находилась в 
-том состоянии. Эта вероятность может быть определена как
вероятность перехода из -того состояния в -тое, делённая на суммы вероятностей перехода в -тое по всем-тым состояниям.
. 
.
Две последние матрицы являются в некотором смысле трансформированными матрицами к матрицам перехода. Матрицы, обратные к этим матрицам, также имеют некоторый физический смысл., так как преобразуют вектор вероятности прошлого в единичный вектор реализации настоящего.
Таким образом, сформирована квазигруппа вероятностных матриц, обладающих специфическими свойствами, отличающими их от классических матриц. Изучение свойств этой квазигруппы и анализ её подгрупп явится одним из основных положений теории Synergonet.
Литература.
1. Баранцев Р. Г. Становление тринитарного мышления. М. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая механика» 2005. 124 с.
2. Басин М. А. Волны. Кванты. События. Волновая теория взаимодействия структур и систем Ч. 1. СПб: Норма. 2000.168 с.
3. Басин М. А. Компьютеры. Вихри. Резонансы. Волновая теория взаимодействия структур и систем. Часть 2. СПб.: Норма. 2002. 144 с.
4. Басин М. А., Шилович И. И. Синергетика и Internet. (Путь к Synergonet). СПб.: Наука. 1999. 71 с.
5. Басин М. А., Шилович И. И. Путь в Synergonet. СПб.: Норма. 2004. 128 с.
6. Басина Г. И., Басин М. А. СПб.: Синергетика. Эволюция и ритмы Человечества. Норма. 2003. 260 с.
7. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Основы методологии. СПб: Норма. 2006. 56 с.
8. Басина Г. И., Басин М. А. Синергетика. Вселенная резонансов. СПб: Норма. 2008. 144с.