Часть I
Синергетика.
Информационно-волновая
теория структур и систем
Глава 4
Классификация
волн, вихрей, структур и систем
Мера,
описывающая детерминированную систему
или систему, участвующую в бифуркационных процессах, в промежутках между
бифуркационными событиями, обычно бывает распределена по некоторому внутреннему
многообразию, размерность которого определяется числом обобщённых координат, которые
приняты для описания внутренней динамики системы. Аналогично может выглядеть
также описание динамики структуры в вероятностном пространстве. Поэтому в
современной теории динамических систем часто рассматривают динамику автономной
структуры как движение точки гладкого многообразия определяемого конечным (или
бесконечным) числом переменных.[38], [28 ], [29]. Переменные 
, (
). описывают изменение обобщенных координат, где может быть одной
переменной, но может являться некоторой совокупностью конечного или
бесконечного числа переменных (как действительных, так и комплексных). Эти
переменные формируют вектор состояния 
.
Внешняя
динамика системы, как и в дискретном случае и в случае одной комплексной
переменной, рассмотренных нами ранее, для детерминированных систем определяется
изменением вектора состояния системы 
во времени.
В большинстве
интересных случаев в первом приближении состояние изучаемого объекта в тот или
иной момент времени может быть задано точкой в некотором измеримом множестве 
, в частности , в 
- мерном многообразии. В этом случае говорят, что изучаемому
объекту соответствует некоторая -мерная динамическая система, а множество всех точек,
соответствующих различным состояниям называется - мерным фазовым пространством. Введём, как и ранее, в
рассмотренных выше частных случаях, понятие состояния системы 
, под которым понимается значение вектора в момент времени 
. Если предполагать время непрерывным, то совокупность
состояний данной системы в различные моменты времени формирует линию, называемую
фазовой траекторией системы. Если фазовое пространство системы -- мерное гладкое многообразие, то фазовая траектория системы
- гладкая кривая и для ее описания (а также для описания пучка траекторий,
начинающихся из различных точек фазового пространства) может быть использовано
соотношение [29]
Частным
случаем такого описания является система
дифференциальных уравнений.
Одним из
наиболее простых случаев динамической системы является гармонический осциллятор,
фазовое пространство которого двумерно. Фазовая плоскость колебательной системы
описывается эллипсами. В действительности, в большинстве практически
встречающихся устойчивых макроскопических систем обычно имеется диссипация,
связанная с существованием неучтённых идеальной моделью обобщённых параметров,
и поэтому фазовая траектория таких систем по спирали стремится к положению
равновесия. Устойчивое положение равновесия системы является простейшим
примером аттрактора динамической системы с континуальным фазовым пространством.
Аттрактором является также устойчивый предельный цикл, соответствующий
автоколебательному движению системы. Аттрактором может быть и гладкий тор.
Аттрактор называется странным, если он отличается от конечного объединения гладких
многообразий
Динамика
детерминированных конечномерных систем в настоящее время развивается бурными
темпами, изучаются все более сложные типы аттракторов и их бифуркационные
трансформации как в действительных, так и комплексных многообразиях [2], [7], [11],
[20], [24], [25], [26]-[29], [51-53].
Следующим
этапом является исследование бесконечномерных волновых движений, динамических
структур и транспортно-информационных систем.
Существует
ряд учебников и монографий, посвященных результатам теоретических исследований
волновых движений [39-48]. Однако, в большинстве из них отсутствует определение
понятия "волна". Наиболее общее из известных нам определение волны
дано в монографии [46]: "...в самом
общем случае мы определим волну как пространственно-временную эволюцию
некоторого состояния." Это определение характеризует основное свойство
волны, которое остается неизменным, независимо от типов волн, которые мы
рассматриваем, а именно то, что при описании волновых движений мы следим не за
частицами среды, в которой распространяется волна, а за параметрами или
совокупностью параметров, которые описывают состояние среды, и которые остаются
постоянными или слабо меняются в точках, которые мы считаем принадлежащими к
волне.
Это общее
определение явилось следствием интенсивного развития в последнее время
исследований нелинейных явлений в различных областях знаний и обнаружения
волновых свойств у таких нелинейных процессов и структур, которые ранее не
считались волновыми. В [43.C.9] говорится:
"Отечественная школа нелинейных колебаний и волн, основоположником которой
по праву считается Л. И. Мандельштам, рассматривает общую теорию структур в
неравновесных средах как естественное развитие и обобщение на распределенные
системы идей и подхода классической теории нелинейных колебаний. Еще в 30-х
годах Л. И. Мандельштам сформулировал программу создания нелинейной культуры,
включающей надежный математический аппарат и физические представления,
адекватные новым задачам, нелинейную интуицию, выработанную на нелинейных
задачах". Там же указано, что Л. И. Мандельштам предупреждал о ненужности
на определённом этапе исследований строгих определений всех понятий в
нелинейной науке. Мы полностью присоединяемся к его мнению и считаем, что в
настоящее время пока нет необходимости в абсолютно точном определении понятия
"волна" (так же как и понятия структура. система, процесс, явление,
событие). В последние годы исследования нелинейных процессов привели к
зарождению и развитию новой науки-синергетики [7], [43-44],[49], [50] - науки о
самоорганизации материи. Как показали многочисленные исследования, при изучении
вопросов, связанных с формированием новых структур, на первый план выступают их
характерные волновые черты: независимость их пространственных и временных
параметров от начальных условий и геометрических размеров системы.
В рамках
синергетической парадигмы нами предложена классификация волновых движений,
структур и систем, опирающаяся на их общие волновые свойства, в рамках которой
удалось проследить за характером влияния нелинейности на переход классических
линейных волновых движений в динамические структуры и сложные
самоорганизующиеся транспортно-информационные системы [54-60]. Тем самым сделан
первый шаг к исследованию классификационной координаты мирового графа.
В качестве
первого класса рассматриваются все волны относительно малой амплитуды,
математическое описание которых может быть дано в виде совокупности решений
линейных волновых уравнений в частных производных.
Ко второму
классу, названному умеренно-нелинейными волнами, отнесены различные формы
ударных волн в сплошных средах, солитоны, а также скачки тех или иных
параметров в однородной среде и границы раздела сред. Особым подклассом
умеренно-нелинейных волн могут считаться режимы с обострением, подробно
изученные школой А.А. Самарского - С.П. Курдюмова [31].
К третьему
классу, названному вихревыми ударными волнами, отнесены вихревые структуры,
формируемые в районе фронта умеренно нелинейных волн. На основании анализа
экспериментальных исследований формирования вихревых структур, решения ряда
модельных задач и определения условий самопересечения волновых фронтов и границ
удалось установить основные закономерности трансформации умеренно-нелинейных
волн в вихревые структуры [61-62].
Пространственность
взаимодействия линейных волн и волновых фронтов приводит также к возникновению
«каустик», районов значительного увеличения их амплитуды. Классификация
каустик, как показано В.И. Арнольдом и другими исследователями, сродни
классификации особенностей гладких отображений [63], что возвращает к специфике
динамических систем с конечным числом степеней свободы.
Наряду с этим
потеря устойчивости волнового фронта может в особых самоподдерживающихся
критических условиях приводить к множественному формированию структур различной
природы, масштаб которых значительно меньше масштаба потерявшего устойчивость
волнового фронта. Такой режим, названный режимом самоорганизованной
критичности, в настоящее время интенсивно изучается. Статистические
распределения масштабов формирующихся при этом структур часто имеют степенной
характер [29].
Несмотря на
то, что сформировавшиеся в условиях самоорганизованной критичности структуры
могут представлять собой волны или структуры более низких классов сложности,
сам процесс самоорганизованной критичности обладает некоторыми особенностями,
присущими пятому классу предлагаемой нами классификации –
транспортно-информационным системам.
К четвертому
классу, названному грибовидными структурами, отнесены структуры мультипольной
природы, формирующиеся из вихревых
структур и вторичных умеренно-нелинейных волн – вихревых пелен. Различные
модификации и комбинации структур такого типа составляют основу практически
всех объектов живой и неживой природы.
К пятому
классу отнесены сложные самоорганизующиеся системы, названные нами
транспортно-информационными и
являющиеся, в основном, результатом трансформации и взаимодействия грибовидных
структур [60].
Несмотря на
то, что четвертый и пятый классы структур и систем встречаются и в неживой
природе, наиболее широко они распространены в биологических субъектах. Поэтому
общие закономерности их динамики оказываются важными не только для физики и
химии, но и, главным образом, для биологии и наук о человеке и обществе [64].