Часть I
Синергетика.
Информационно-волновая
теория структур и систем
Глава 3
Математическое
описание изолированной структуры
Математическое
моделирование самоорганизующихся структур и систем начато с простейшего случая,
который легко реализуется на компьютере.
Введено
понятие автономной динамической структуры с конечным числом возможных
состояний.
Переход из
одного момента времени в другой характеризуется некоторым многозначным отображением одного состояния в
другие. В рамках этого отображения переход из одного возможного состояния в
другое, определяемый функцией, осуществляющей это отображение, характеризуется
некоторым числом, которое будем называть вероятностью перехода. Тогда, если
каждому моменту внутреннего времени сопоставить некоторое распределение
вероятностей возможных состояний, то соответствующее распределение вероятностей
состояний системы можно определить в любой другой момент времени как в прошлом,
так и в будущем. Такая бифуркационная система названа автономной. Для этой
системы, в случае конечного числа возможных состояний, может быть построен
наложенный на собственное время граф бифуркационных событий с соответствующими
этим событиям относительными вероятностями. Тем самым, вводится автономный
вектор вероятности состояний, изменяющийся по наперед заданному закону,
определяемому не зависящей от местного времени матрицей перехода.
Изучение
свойств таких систем эквивалентно изучению свойств одного из частных случаев
марковских процессов [9].
Рассмотрены
частные случаи автономных бифуркационных систем с конечным числом возможных
состояний и осуществлена их классификация.
Изучение динамики модели бифуркационной системы с конечным числом возможных состояний позволяет предложить её в качестве основного элемента нового типа компьютера, который мы назвали целостным.
Такой
компьютер должен включать в себя триаду элементов, являющихся, как это было
показано нами в [6], необходимыми составляющими любой самоорганизующейся
транспортно-информационной системы.
Поле
/ \
Собственно
структура ----- Контроллер
Целостный
компьютер должен иметь квазифрактальную структуру - целостными должны быть не только
компьютер, но и его элементы, а также иерархия его подсистем и систем, которые
формируются из компьютеров этого типа.
Собственно
структурой целостного элемента такого компьютера может стать бифуркационный
элемент - компьютерная реализация динамики автономной бифуркационной системы с
двумя возможными состояниями.
Контроллером
элемента целостного компьютера является внутренний механизм, вырабатывающий
значение величины распределения вероятности между двумя состояниями элемента.
Кроме того,
должен существовать генератор действительных чисел, который может моделировать
поле элемента.
Перечислим
некоторые из задач, которые могут быть решены при помощи целостного компьютера.
1. Математическое моделирование
стохастических процессов, в частности, марковских цепей.
2. Описание цепочки
бифуркационных событий, при реализации каждого из которых компьютер может с
определенной вероятностью выйти на некоторый детерминированный алгоритм,
завершающийся очередным бифуркационным событием. Тем самым возникает
возможность создания компьютерной модели бифуркационного процесса.
3. Моделирование некоторых
аспектов самоорганизации сложных динамических систем (например, режимов
самоорганизованной критичности).
4. Изучение динамики
размножающихся систем и процессов.
5. Анализ генезиса устойчивых
статистических распределений в
транспортно-информационных системах, а также моделирование явления эволюции
реальных структур и систем.
Если ввести в рассмотрение внешнее время как непрерывно изменяющийся
параметр, то всякая автономная структура, несмотря на потенциальную
бесконечность, имеет начало и конец, а следовательно, какой-то период
существования и тем самым отличается от рассмотренной выше идеальной модели,
имеющей потенциально бесконечное время существования.
Простейший,
наиболее схематический вид описания этого свойства реальных структур состоит в представлении динамики структуры в
виде двух чисел 0 и 1, где 0
соответствует отсутствию структуры, а 1 - ее существованию. До момента 
структуры не существовало. Мера существования
заданной структуры, равнялась нулю. В момент произошло рождение структуры, которая
просуществовала до момента времени 
,
после которого она исчезла. Даже такое простейшее рассмотрение позволяет ввести
ряд понятий.
1. Момент рождения структуры
.
2. Момент разрушения -
исчезновения структуры .
3. Срок жизни структуры 
.
Если процесс
существования структур рассматривать как непрерывный во времени, то в моменты
возникновения и разрушения структур в природе должны происходить качественные
изменения (ведь рождается (или исчезает) нечто существенное). При простейшем
рассмотрении можно считать, что рождение и исчезновение структуры происходят
мгновенно. Это достаточно сильное допущение, хотя во многих случаях
действительно происходит очень быстрое формирование новых структур и разрушение
старых. Не зря в человеческом языке существуют такие слова, как катастрофа,
кризис, взрыв, революция и т.д. Однако, как бы быстро ни происходило в
некоторых случаях формирование новых структур, всё равно это процесс, имеющий
ту или иную протяжённость во времени. В некоторых случаях процесс формирования
структур может оказаться достаточно длительным. Какие же изменения в
рассмотренном нами подходе можно ввести, если учесть указанные обстоятельства?
Вместо мгновенного формирования структуры и мгновенного её разрушения
необходимо ввести какие-то конечные периоды возникновения и разрушения
структуры
. Это вполне естественное допущение влечёт за собой ряд
следствий.
Первое
следствие состоит в том, что возникает вопрос, а что же происходит со
структурой в эти периоды? Существует она или нет? Ответ на этот вопрос совсем
не тривиален. По-видимому, в периоды рождения и разрушения про структуру нельзя
с полной определённостью сказать ни то, что она существует, ни то, что её нет.
Если всё же считать процесс формирования структуры непрерывным и в момент 
структура отсутствует- 0, а в момент 
структура
существует-1, то точки траектории структуры на временном отрезке 
, можно соединить плавной кривой. Значения величин функции,
описываемой этой кривой, можно интерпретировать как меру существования
(зрелости) структуры. В период рождения нельзя сказать, что структура не
существует, но ещё нельзя сказать что структура уже полностью оформлена.
Попытаемся решить эту задачу с другой стороны.
Мера, характеризующая произвольную структуру, может быть получена, например,
как объём многообразия, определяемого обобщёнными координатами внутреннего
пространства. Этот объём может меняться в процессе существования структуры.
Если структуры нет, то нет и многообразия, ее описывающего. В процессе
существования (функционирования) структуры существует какой-то промежуток
времени, когда многообразие, описывающее структуру, имеет максимальный объём.
Если объём многообразия, описывающего структуру в любой момент времени,
поделить на его максимальное значение, то получим в наиболее естественном
случае некоторую кривую зависимости этой относительной величины от времени,
начинающуюся с нуля и плавно выходящую на единицу.
Рассмотрим
некоторые общие закономерности, связанные с этапом рождения структуры. Как
следует из той информации, которую мы получаем при изучении природы, можно
рассматривать несколько способов рождения новых структур.
а) Появление новой структуры
(волны) вследствие объединения или самоорганизации нескольких однородных
структур (квантов).
б) Появление новой структуры
в результате деления структуры на две и более частей.
в) Появление новой структуры
или нескольких новых структур вследствие потери устойчивости структуры,
существовавшей до их образования
г) Рождение новой структуры
в результате полного или частичного слияния двух родственных структур с
возможным переходом затем к многократному использованию второго способа.
д) Рождение новой структуры
путем излучения структур более высоких классов.
е) В качестве отдельного
способа может рассматриваться целенаправленное формирование новых структур
структурами более высокого класса.
Способы рождение новых
структур в биологии описаны, например, П. Тейьяром де Шарденом.[10,с. 90].
Большинство описанных
способов приводит к необходимости
анализа процесса формирования новых структур как бифуркационного изменения
старых, уже существовавших ранее систем и структур . Тем самым, процесс
появления и разрушения структур включается в цепочку превращений одних структур
в другие [6].
Во многих
случаях мы считаем, что структуры после своего появления начинают изменять
значения обобщённых координат, не меняя, например, числа обобщённых координат
приближенно описывающего их многообразия.
В качестве примеров можно привести:
а) рост амплитуды
поверхностной морской волны при приближении её к берегу;
б) рост парового пузырька
или паровой каверны при увеличении скорости движения тела;
в) рост кристаллов в
растворе;
г) рост атомного гриба;
д) рост живого организма;
е) рост числа научных
исследований в новой отрасли знаний.
Процессы
такого роста могут значительно отличаться друг от друга, однако во многих
случаях они обладают некоторыми общими особенностями. Если для структур такого
типа может быть введён какой-либо один параметр, интегрально определяющий меру
структуры (параметр цeлого), то в некоторых
случаях можно не только выделить общий механизм формирования таких структур, но
и найти простейшие математические модели, которые приближенно описывают этот
механизм и которые позволяют моделировать количественные и качественные
закономерности роста структур в данном случае.
В [6]
показано, что при анализе динамических структур и систем можно ввести
комплексную волновую функцию (вектор-матрицу), описывающую динамическую систему
(структуру), реальная и мнимая части которой связаны с мерой, характеризующей
её внутреннее фазовое пространство и вероятностными характеристиками
бифуркационных событий, в которых структура участвует.
Эти обстоятельства позволяют рассматривать в качестве
математической основы для исследования
структур на первом этапе цепочку голоморфных функций комплексной переменной [11].
Эта переменная может быть названа комплексным параметром целого структуры (или
комплексным параметром Планка).
В соответствии
с высказанной гипотезой на следующем шаге рассмотрения в качестве области
определения комплексной меры, описывающей возможные совокупности состояний, в
которых может находиться динамическая система, принято поле комплексных чисел
(поле действительных чисел рассматривается как частный случай этой более общей
области рассмотрения ).
Подробно
исследована цепочка линейных отображений комплексного переменного, и изучены
характерные особенности этой динамической системы. Показано, что при
определённых условиях в пределе большой частоты итераций динамика такой системы
становится эквивалентной динамике, описываемой комплексным линейным
дифференциальным уравнением. Получено общее решение этого уравнения в виде
экспоненциальной функции от времени. Возможна такая интерпретация природных
явлений, что обычное внешнее время - время взаимодействия является лишь линейным приближением к реальному
(экспоненциальному) времени динамической структуры (касательной к
экспоненциальной кривой в единице). Тогда реальным временем, определяющим
динамику структуры, может явиться не линейное время, а экспоненциальное время.
В этом случае главную роль в анализе динамики структур играют не
экспоненциальные, а степенные функции. Вполне возможно, что это частично
объясняет вездесущность степенных функций при изучении самоорганизующихся
структур.
Аналогичный
подход к волновой функции позволяет ввести в рассмотрение экспоненты от
степенных функций, общие свойства которых и возможные области их применения в
настоящее время ещё мало изучены.
Замена
параметров времени и волновой функции позволила осуществить цепочку
трансформаций линейной системы [12]. В данном частном случае проявилось
основное структурное свойство математических моделей (а следовательно, и
структуры природных объектов, которые они описывают). Если применить к
математическим исследованиям основную триаду Р.Г.Баранцева [13-18 ]
Интуицио
/ \
Рацио
-------- Эмоцио,
то она может быть отображена
на некоторое трёхмерное абстрактное пространство, обобщёнными координатами
которого являются
Континуальность
(Мощность)
/ \
Размерность
---------- Иерархия
(Число переменных) (Степень нелинейности)
Рассмотрим первоначально
движение по оси континуальности.
В начале
этой оси можно расположить числа 0 и 1, связь которых с реальными объектами
была установлена нами ранее. Следующими на этой шкале располагаются конечные
множества (которые могут быть взаимно однозначно отображены на конечную
совокупность целых чисел). Далее на шкале континуальности расположены счетные
бесконечные множества (натуральный ряд чисел, бесконечные последовательности,
совокупность рациональных чисел и т. д.). Ещё далее множества, обладающие
мощностью континуума (иррациональные числа, действительные числа, комплексные
числа, конечномерные матрицы и т.д.). Дальнейшее продолжение шкалы лежит в
области определения мощности совокупности подмножеств множества мощности
континуума [19].
Аналогичным
образом можно перемещаться по оси размерности. Размерность – понятие,
характеризующее число одновременно рассматриваемых переменных. Величина
размерности может пробегать ту же совокупность значений, что и величина
континуальности – от нуля и единицы до континуального множества координат, и,
возможно, далее .
Анализ
иерархической координаты математики начнем с линейных отображений. Линейная
функция может быть определена на любой точке плоскости, формируемой двумя
первыми координатами: мощностью и размерностью. Однако, уже анализ цепочек
линейных отображений, подобный кратко описанному нами ранее для множества
комплексных чисел выводит на следующий уровень иерархии. Цепочка линейных
отображений, определяемых заданной функцией, порождает некоторый процесс,
являющийся моделью потенциально бесконечной структуры. Эта последовательность
порождает новый, сначала дискретный (принимающий последовательно целые
значения) параметр времени, который при помощи предположения о гладкости
рассматриваемых функций может быть преобразован в континуальный параметр. На
этом уровне в математике появляются системы линейных дифференциальных
уравнений, решениями которых оказываются экспоненциальные отображения. Этот
процесс, с теми или иными особенностями, происходит над всей плоскостью
континуальность - размерность и именно его изучению посвящена большая часть
математических исследований.
Второй этаж
иерархии формируется из первого путем взятия обобщенных экспонент от линейных
операторов, действующих на первом этаже. Аналогично, переход от второго этажа к
первому можно рассматривать как обобщённое логарифмирование функций и
операторов, действующих на втором этаже.
Операции,
выполненные нами при выводе степенных дифференциальных уравнений первого
порядка, указывают на возможность рассмотрения связи между собой функций,
находящихся на втором уровне иерархии. Эта связь - степенная. В этом случае мы
оказываемся в области математики, которая названа А. Д. Брюно [20] степенной
геометрией, включающей в себя в качестве частных случаев ряд интенсивно
развивающихся в настоящее время разделов современной математики. Изучение
конечных сумм и интегралов по показателям степени от степенных мономов одной
или многих действительных и комплексных переменных представляет собой проблему,
далеко не исчерпанную современной математикой (смотри, например, [11], [20],
[21], [22], [23], [24], [4], [25], [26], [27], [28], [29], [31]). Уже на этом
уровне, особенно при анализе функций с комплексными показателями степени,
появляются многозначные (и даже бесконечнозначные ) отображения, лежащие пока
ещё вне основной магистрали математических исследований.
Особую роль в
классических исследованиях играют полиномиальные функции, которые, являясь
частным случаем степенных полиномов, аппроксимируют гладкие многообразия.
Именно в анализе полиномиальных функций нескольких переменных лежат основы
теории особенностей гладких отображений и теории катастроф [21], [25-29].
Однако, произвольные
степенные функции и соответствующие им дифференциальные уравнения начали
изучаться сравнительно недавно [20], хотя
многочисленные примеры исследования динамики нелинейных процессов,
происходящих в самоорганизующихся структурах и транспортно-информационных
системах свидетельствуют о том, что степенные функции встречаются повсеместно
[20], [31], [32], [33], [77].
В связи с
развитием голоморфной динамики [11], теории множеств Жюлиа и Фату [25],
фрактальной геометрии [27] начались интенсивные исследования в области перехода
со второго этажа на третий, где многозначность функций, графы, дробная
размерность, вероятность реализации того или иного значения функции оказываются
наиболее существенными особенностями исследуемых объектов. Вся интенсивно
развивающаяся теория случайных процессов также относится к третьему уровню
иерархии. Именно на третьем уровне иерархии исследователей ждут неожиданности и
открытия.
При
исследовании динамики комплексного параметра целого нами введена одна из
возможных модификаций комплексных чисел, использование которой позволяет, если
это необходимо, рассматривать степенные функции комплексного переменного с
комплексными показателями степени как однозначные функции, а следовательно,
применить к их исследованию аппарат функционального анализа [32].
Выполненные
исследования позволили, в частном случае, построить цепочку связанных между
собой комплексных математических моделей динамики размножения и роста живых
субъектов, начиная от изолированной клетки и кончая популяцией организмов, в
частности, человеческой популяцией, подробности построения которой изложены в
четвёртой главе второй части настоящей монографии. Сделана первая попытка
идентификации реальной и мнимой частей комплексного параметра целого [6 ]
человеческой популяции как целостной системы.