Образная математика

Образная математика

Антонов В.М.

Липецк

Наряду с числовой, матричной и векторной математиками может существовать образная математика, единицей информации которой является сплошной образ. Сплошным образ становится тогда, когда размеры его пикселей стремятся к нулю. Образная математика удобна для теоретического исследования нервных систем (включая мозг) живых существ и технических систем, действующих по тому же принципу.

Под образной договоримся понимать такую математику, в которой единицей информации выступает не число (или символ, его заменяющий), не матрица чисел и не вектор, а сплошной образ; сплошным образ становится тогда, когда размеры его пикселей стремятся к нулю. В общем случае образ можно представить в виде диапозитива. Начала образной математики представлены в [1].

Образная математика может существовать сама по себе; у неё – свои законы, которые ещё предстоит выяснить. Но уже сейчас можно говорить о том, что действия в ней отличаются от действий числовой математики существенным образом: вместо сложения, вычитания, умножения, деления, возведения в степень, извлечения корней, логарифмирования, дифференцирования, интегрирования и прочих операций с числами, должны появиться операции как с отдельными образами (например усиление, ослабление, суммация, насыщение, разбавление, негативизация, разделение, расширение, сжатие, поднятие и опускание уровней, изменения контрастности, пропорциональное изменение, аккомодация, изменение во времени и прочее), так и совместной обработки (активация пассивного образа активным, просветление одного образа другим (сложение образов), затемнение (вычитание), нормирование, приведение одного образа к другому, определение степени сходства образов и другие). Новыми будут не только процедуры математических операций, но и приборные средства для их реализации. Прикладные направления образной математики будут осуществляться в различных областях человеческой деятельности, особенно там, где требуется минимум затрат для решения сложных задач, где программное обеспечение невыполнимо вследствие неограниченного роста числа учитываемых видов информации. Особой областью применения прикладной образной математики являются теоретические исследования живых и технических нервных систем (обучаемых систем управления).

Определимся с обозначениями и символами. Образы будем обозначать прописными (большими) латинскими буквами, а скаляры – строчными (малыми).

[…] – символ пакета образов, например [B,C] – пакет диапозитивов B и C.

() – символ активации пассивного образа активным, например просвечивание пакета [B,C] активным образом U (потоком света): .

(=) – символ результата активации, например появление светового образа D на выходе из пакета [B,C] при просвечивании его активным образом U: .

(}) – символ суммации активного образа и превращение его в скаляр, например или в упрощенном виде: .

() или () – символ усиления или ослабления образа в результате умножения его на скаляр; если скаляр больше единицы – усиление, если меньше – ослабление.

(+), (-) – символы сложения и вычитания образов; при сложении – просветление образа; при вычитании – затемнение.

Конкретные обозначения:

- образ очувствления в j-ой ситуации;

- образ состояния мозга (живого или технического) в той же ситуации; синаптический образ;

- образ питания; в живых нервных системах – образ напряжения рецепторной среды;

- скалярная величина сигнала управления.

В наглядном оптическом примере образы и представляются как диапозитивы; образ – как поток света, направляемый на них, а сигнал управления – в виде суммарного светового потока на выходе.

Пример.

Проследим за ходом обучения мозга (живого или технического) в образном представлении в соответствии с биогидравлической моделью [2]. Согласно этой модели, сенсорная информация, идущая от рецепторов, проходит параллельным потоком через мозг как через фильтр, и сразу же направляется к соответствующей мышце (исполнительному органу); у каждой мышцы – свой фильтр; действуют мышцы независимо друг от друга; проводимости фильтра образуют синаптический образ; он формируется автоматически в процессе обучения; порядок его формирования будет рассмотрен ниже.

Фактический сигнал управления e_f на отдельную мышцу (на отдельный исполнительный орган) в j-ой ситуации перед дообучением определится как

(1)

где C_j_-1 - синаптический образ, сложившийся в предыдущей ситуации.

Погрешность сигнала управления Δe_j равна разности требуемого сигнала управления в той же ситуации e_j и фактического сигнала e_f:

(2)

В биогидравлической модели нервных систем [2] корректирующий образ состояния мозга ΔC_j (коррекция синаптического образа) определяется погрешностью Δe_j и образом текущей ситуации B_j:

(3)

где k – коэффициент пропорциональности; скалярная величина.

При безошибочном обучении в рассматриваемой ситуации корректирующий образ ΔC_j полностью устраняет погрешность Δe_j:

. (4)

Подставим (3) в (4) и получим

Корректирующий образ выглядит теперь как

, (5)

где - удельный образ очувствления:

(6)

Окончательно синаптический образ C_j после обучения в j-ой ситуации определится в результате просветления на величину ΔС_j:

(7)

Выражения (1), (2), (5) и (7) представляют собой дискретный алгоритм естественного обучения в образном представлении. По своему виду они напоминают выражения того же алгоритма в пиксельной форме [1].

Рассмотрим пошаговый ход теоретического обучения мозга (живого или технического) в двух ситуациях, которым соответствуют образы очувствления B₁ и B₂. Считаем, что в первой ситуации требуемый сигнал управления – e₁, а во второй - e₂; исходное состояние синаптического образа C(0) – нулевое.

1.1. Цикл 1-ый, шаг 1-ый, ситуация 1-ая, образ B₁.

Фактический сигнал управления перед актом обучения определится как

Погрешность сигнала управления составит

Корректирующий образ состояния мозга, формирующийся во время акта обучения, имеет вид:

После завершения обучения на 1-ом шаге 1-го цикла сформируется следующий синаптический образ:

1.2. Цикл 1-ый, шаг 2-ой, ситуация 2-ая, образ B₂.

Все действия повторяются.

где S₁₂ – коэффициент (скалярная величина), определяемый выражением

. (8)

Это выражение в ходе обучения будет регулярно повторяться, поэтому оно заслуживает особого внимания. Анализируя его физическую суть можно прийти к выводу, что S₁₂ есть коэффициент приведения образа 1-ой ситуации к образу 2-ой.

На этом первый цикл обучения завершён.

2.1. Цикл 2-ой, шаг 1-ый, ситуация 1-ая, образ B₁.

где

(9)

Скалярная величина S₂₁ может считаться коэффициентом приведения образа B₂ 2-ой ситуации к образу B₁ 1-ой ситуации.

2.2. Цикл 2-ой, шаг 2-ой, ситуация 2-ая, образ B₂.

где S₁₂₁ – коэффициент (скалярная величина), определяемый выражением

(10)

Физический смысл данного выражения заключается в том, что оно отражает степень сходства образов обеих ситуаций. Численные значения коэффициентов приведения S₁₂, S₂₁ и степени сходства образов S₁₂₁ могут быть определены методами, изложенными в [1]. Трактовка выражения (8) в оптическом варианте такова: в числителе – суммарный поток света, проходящий сквозь пакет диапозитивов обоих образов при подаче на них нормированного просвечивающего потока; в знаменателе – суммарный поток света, проходящий сквозь пакет из двух одинаковых диапозитивов образа 1-ой ситуации при том же просвечивающем потоке. Выражение (9) отличается тем, что в знаменателе – пакет из двух одинаковых диапозитивов образа 2-ой ситуации. Степень сходства образов определяется как произведение обоих коэффициентов приведения S₁₂ и S₂₁.

3.1. Цикл 3-ий, шаг 1-ый, ситуация 1-ая, образ B₁.

3.2. Цикл 3-ий, шаг 2-ой, ситуация 2-ая, образ B₂.

И так далее.

Уточним обозначения: - фактический сигнал управления (скаляр) после обучения последовательно в ситуациях 1-ой, 2-ой, 1-ой, 2-ой, 1-ой и при предъявлении образа B₂ 2-ой ситуации; - погрешность сигнала управления при тех же условиях; - коррекция синаптического образа; - синаптический образ мозга после обучения последовательно в ситуациях, образы которых указаны в скобках.

Анализ проведённого теоретического обучения показывает, что трёх циклов достаточно для того, чтобы выявить основные закономерности обучения. Так появляется удельный образ очувствления (6), выявляются коэффициенты приведения образов одного к другому (8) и (9) и степень сходства двух образов (10). Погрешность сигнала управления в каждом последующем цикле определяется погрешностью в той же ситуации предыдущего цикла , умноженной на степень сходства образов :

. (11)

Такое соотношение называется функцией последования. Учитывая то, что степень сходства двух образов всегда меньше единицы, выражение (11) свидетельствует о сходимости процесса обучения: каждая последующая погрешность сигнала управления будет меньше предыдущей. Исключение составляют только те образы, степень сходства которых равна единице, а такие образы (и их ситуации) можно охарактеризовать как противоречивые: нельзя требовать различные сигналы управления в полностью схожих ситуациях. Из выражения (11) следует и то, что, чем меньше степень сходства образов, тем стремительнее будет уменьшаться погрешность сигнала управления и тем успешнее будет проходить обучение. Обучение завершается, очевидно, тогда, когда погрешность окажется меньше допустимого значения.

Теоретическое обучение в двух ситуациях на основе образной математики позволяет выявить результирующий синаптический образ обученного мозга после циклов обучения:

Также могут быть определены и другие показатели процесса обучения. Все закономерности, выявленные с помощью образного представления информации в нервных системах, ничем не отличаются от пиксельных закономерностей, представленных в [1].

Резюме. Наряду с числовой, матричной и векторной математиками может существовать образная математика, единицей информации которой является сплошной образ. Сплошным образ становится тогда, когда размеры его пикселей стремятся к нулю. Образная математика удобна для теоретического исследования нервных систем живых существ (включая мозг) и технических систем, действующих по тому же принципу.

Ссылки

[1]. Антонов В.М. Обучаемые системы управления/ Липецк, ЛГТУ, 1998.- 415 с.

[2]. Антонов В.М. Биогидравлическая модель нервных систем/ Ж. Мехатроника, автоматизация, управление. №5 – 2004.